Древним грекам было известно, что колебание струны может давать много разных музыкальных нот в зависимости от расположения узлов, или неподвижных точек. Для основной частоты неподвижными остаются только точки крепления. Если у струны есть узел посередине, получается нота на октаву выше, и чем больше таких узлов, тем выше частота ноты. Более высокие колебания называют обертонами.

Колебания скрипичной струны представляют собой стоячие волны: форма струны в любой момент времени остается неизменной, за исключением того, что она либо растягивается, либо сжимается под прямым углом к своей длине. Наибольшее растяжение – это амплитуда волны, которая физически определяет тон ноты. Форма волны наглядно изображается в виде синусоиды, а их амплитуды соответствуют изменению синусоиды во времени.

В 1759 г. Эйлер развил эти идеи, перейдя от струн к барабанам. И снова он вывел уравнение волны, описывающее продольные колебания барабанной мембраны во времени. Физической интерпретацией этого явления была закономерность, по которой ускорение отдельно взятой точки барабанной поверхности пропорционально среднему натяжению, полученному в результате совместного воздействия на этот участок соседних точек. Барабан отличается от струны не только количеством измерений (его поверхность – двумерная плоская мембрана), но и гораздо более интересными границами. Собственно, они здесь вообще играют решающую роль. Границей поверхности барабана может быть любая замкнутая кривая, и ключевым условием является ее фиксированность. Вся остальная поверхность барабана может двигаться, однако его обод надежно закреплен.

Математики XVIII в. были способны решить уравнения для колебаний мембраны барабанов разной формы. И снова они обнаружили, что любое колебание может быть составлено из более простых, и это дает нам уникальный набор разных частот. Самым простым случаем считается прямоугольный барабан, простейшие колебания которого являются комбинацией синусоидальных волн в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Более сложный случай – круговой барабан, который приводит к новым функциям – так называемым функциям Бесселя. Амплитуды этих волн всё еще представляют собой синусоиды, меняющиеся во времени, но их пространственная структура намного сложнее.

Уравнение волны очень важно для науки. Волны возникают не только в музыкальных инструментах, но и в физике света и звука. Эйлер открыл трехмерный вариант уравнения, который приложил к звуковым волнам. Примерно веком позже Джеймс Клерк Максвелл получил такое же математическое выражение из своих уравнений, описывающих электромагнитные волны, и предсказал существование радиоволн.

Колебания поверхности круглого барабана, а также настоящей гитары