Различают два типа дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) имеют дело с неизвестной функцией y от одной переменной х, а также с различными производными от y, такими как dy/dx или d²y/d²x. До сих пор приведенные здесь примеры дифференциальных уравнений относились к обыкновенным. Гораздо более сложной, но и более важной для математической физики является идея дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Это уравнения, содержащие неизвестные функции от двух и более переменных, таких как f(x, y, t), где x и y – координаты на плоскости, а t – время. ДУЧП содержат эту функцию в выражении с частными производными относительно каждой переменной. Новое выражение используется для описания производных от одних переменных с учетом других, а все остальные остаются неизменными. Таким образом, ∂x/∂t показывает скорость изменения x во времени, а y остается константой. Это называется частной производной, отсюда и термин «дифференциальные уравнения в частных производных».

Эйлер представил ДУЧП на суд ученых в 1734 г., а д’Аламбер опубликовал ряд работ по ним в 1743 г., но большинство ранних исследований проходило за закрытыми дверями. Первый большой прорыв случился в 1746 г., когда д’Аламбер вернулся к старой проблеме – колебаниям струны. Иоганн Бернулли обсуждал численный метод конечных элементов в 1727 г., учитывая колебания конечного числа точечных масс, расположенных равноудаленно друг от друга вдоль невесомой струны. Д’Аламбер рассматривает непрерывную струну с однородной плотностью, применяя вычисления Бернулли для n масс и предполагая, что число n стремится к бесконечности. Таким образом, непрерывная струна рассматривалась как бесконечное множество бесконечно малых сегментов, соединенных вместе.

Исходя из результатов Бернулли, основанных на открытом Ньютоном законе движения, и сделав некоторые упрощения (например, что размер колебаний небольшой), д’Аламбер пришел к формуле ДУЧП:

где y = y (x, t) описывает форму струны в момент времени t как функцию горизонтальной координаты x. Здесь a – константа, определяемая по натяжению и плотности струны. В продолжение научного спора д’Аламбер доказал, что общее решение для ДУЧП имеет вид:

где f периодична, причем период вдвое длиннее струны, и f – нечетная функция, т. е. f(–z) = –f(z). Эта формула удовлетворяет естественному граничному условию, что концы струны неподвижны.