Прежде всего математики сосредоточились на поиске четких формул для решения частных типов самых простых дифференциальных уравнений. И в некотором смысле это было неудачным шагом: как правило, формул для таких типов уравнений просто не существует. В итоге внимание оставалось прикованным скорее к уравнениям, которые можно решить с помощью формул, нежели к тем, которые точно описывают законы природы. Хороший пример – дифференциальное уравнение движения маятника, принимающее форму:

с соответствующей константой k, где t – время, а θ – угол отклонения маятника (при θ = 0 он принимает вертикальное положение). Для этого уравнения не существует решения в виде классических функций (многочленных, экспоненциальных, тригонометрических, логарифмических и т. д.). Но есть решение с использованием эллиптической функции, найденное век спустя. Однако если предположить, что угол сколько угодно мал, и мы видим, что маятник совершает совсем небольшие колебания, sin θ становится практически равен θ, и чем меньше угол θ, тем точнее приближение. А значит, дифференциальное уравнение можно заменить таким:

в итоге получим формулу для решения:

для констант A и B, определяющих начальное положение и угловую скорость маятника.

Этот подход имеет ряд преимуществ: например, мы можем легко определить, что период колебаний маятника – время, необходимое на его полное движение, – равен 2π/k. Главный недостаток с точки зрения математики в том, что решение делается неверным, когда θ становится достаточно большим (и здесь большим окажется даже угол в 20°, если мы хотим получить точный ответ). Тут уже возникает вопрос строгости: имеем ли мы тут случай, когда точное решение для приблизительного уравнения не противоречит приблизительному решению для точного? Ответ положительный, однако это удалось доказать только в 1900 г.

Второе уравнение можно решить точно, потому что оно линейное – содержит только первую степень неизвестной θ и ее производную, а коэффициенты – константы. Функция, которая является прототипом решения для всех линейных уравнений, – экспонента y = e^x. Она удовлетворяет уравнению:

Таким образом, e^x – собственная производная. Это свойство – одна из причин того, что логарифмы именно по основанию е принимаются как натуральные. Соответственно производная натурального логарифма ln x равна 1/x, а интеграл от 1/x равен ln x. Любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами может быть решено с использованием экспоненциальных и тригонометрических функций (последние, как мы уже видели, на самом деле являются экспоненциальными, только замаскированы).