Происхождение тригонометрии

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Главной проблемой тригонометрии было вычисление по известным данным о треугольнике (длинам сторон, величине углов) остальных его характеристик. Нам будет намного проще описать ее раннюю историю, если мы сперва резюмируем главные черты тригонометрии современной, которая по большей части является не более чем переработанной в XVIII в. областью науки, унаследованной от древних греков, если не от более ранних ученых. Краткое изложение обозначит рамки, в пределах которых мы можем описывать идеи математиков древности, не увязая в недоказуемых и со временем забытых концепциях.

ТРИГОНОМЕТРИЯ: ПЕРВЫЕ ШАГИ
Тригонометрия основана на ряде особых функций, из которых основными считаются синус, косинус и тангенс. Они применимы к углу, традиционно представленному греческой буквой θ (тета), и могут быть определены в терминах прямоугольного треугольника, чьи три стороны a, b и c соответственно называются прилежащим и противолежащим катетами и гипотенузой.

Тогда:

синус тета равен sin θ = b/c,

косинус тета равен cos θ = a/c,

тангенс тета равен tan θ = b/a.

Получается, что значения этих трех функций для заданного угла θ определяет геометрия треугольника (одинаковый угол может быть у треугольников разных размеров). Но геометрия подобных треугольников подразумевает, что коэффициент подобия между ними не зависит от их размера. Однако когда эти функции были вычислены и занесены в таблицы, с их помощью стало легко «решать» треугольник (вычислять все его стороны и углы) по величине θ. Взаимоотношения между тремя функциями были описаны множеством красивых формул. В частности, теорема Пифагора заключает в себе следующее:

sin² θ + cos² θ = 1.

Судя по всему, тригонометрия ведет происхождение от астрономии, где относительно просто измерить углы, но очень трудно – невообразимые расстояния. Греческий астроном Аристарх в своем труде, датируемом примерно 260 г. до н. э., «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», определил, что Солнце удалено от Земли на расстояние, от 18 до 20 раз большее, чем расстояние от Земли до Луны. (Точная цифра ближе к 400, но Евдокс Книдский и Фидий доказывали, что верное число – 10.) Его объяснение было таково: когда Луна достигает половины полного размера, угол между направлениями от наблюдателя к Солнцу и Луне равен примерно 87° (в современных единицах). Используя свойства треугольников, что равнозначно тригонометрической оценке, он определил (в современных единицах), что величина sin 3° лежит между ¹/₁₈ и ¹/₂₀, что приводит к оценке соотношения расстояний до Солнца и до Луны. Сам метод был верен, не хватало точности наблюдений: точный угол равен 89,8°.

Положение Солнца, Луны и Земли, когда освещена половина Луны

Первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх примерно в 150 г. до н. э. Вместо современной функции синуса он использовал очень близкое понятие, что с геометрической точки зрения было совершенно естественным. Представьте себе круг с двумя радиусами, которые образуют угол θ. Конечные точки радиусов на окружности можно соединить прямой, называемой хорда. Также их можно принять как конечные точки дуги окружности.

Дуга и хорда, соответствующие углу θ

Гиппарх составил таблицу соответствующих длин дуг и хорд для углов разной величины. Если радиус круга равен 1, то длина дуги равна θ в радианах. Простые геометрические построения демонстрируют, что длина хорды в современной нотации равна 2sin ^θ/₂. Итак, мы видим, что вычисления Гиппарха очень близко подводят нас к таблице синусов, хотя они и не были представлены именно в таком виде.

Назад: Тригономерия

Дальше: Астрономия