Любопытно, что первые труды по тригонометрии были гораздо сложнее, чем большая часть материала, преподаваемого сегодня в школе, и снова благодаря астрономии (и позже навигации). Здесь мы имеем дело с естественным пространством, которое представляет собой не плоскость, а сферу. Небесные тела можно представить расположенными на воображаемой гигантской сфере. И самым точным представлением о небе будет его внутренняя поверхность, окружающая наблюдателя: на таком расстоянии действительно может показаться, что они лежат на этой сфере.

Как следствие, астрономические вычисления связаны с геометрией сферы, а не плоскости. Соответственно, и требования к ним определяются не плоскостной геометрией и тригонометрией, а геометрией и тригонометрией сферы. Одной из самых ранних работ на эту тему считают сочинение Менелая «Сферика» примерно 100 г. н. э. Пример одной из его теорем, не имеющей аналогов в геометрии Евклида, таков: если два треугольника имеют одинаковые углы, то они конгруэнтны – т. е. совпадают как по размеру, так и по форме (по Евклиду они подобны: имеют одну форму, но, возможно, разные размеры). В сферической геометрии сумма углов треугольника превышает 180°. Например, треугольник, чьи вершины лежат на Северном полюсе и двух точках экватора, разнесенных на 90°, явно имеет три прямых угла, т. е. их сумма равна 270°. И чем больше размеры треугольника, тем больше сумма его углов. Фактически эта сумма минус 180° пропорциональна общей площади треугольника.

Эти примеры показывают, что геометрия сферы имеет свои характеристики и необычные черты. То же относится и к сферической тригонометрии, хотя и здесь основными остаются стандартные тригонометрические функции. Меняются только формулы.