Алгебраическая символика

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Итальянские математики эпохи Возрождения сделали немало важных алгебраических открытий, но их система записи всё еще была далека от совершенства. На развитие символов современной алгебры ушла не одна сотня лет.

Первым, кто предложил использовать символы для обозначения неизвестных величин, был Диофант Александрийский. Его «Арифметика», написанная примерно в 250 г., изначально содержала 13 книг, шесть из которых дошли до нас в виде позднейших копий. Труд посвящался решению алгебраических уравнений как с целыми, так и с рациональными числами – дробями вида ^p/_q, где p и q – целые числа. Нотация Диофанта сильно отличается от той, которой мы пользуемся сейчас. И хотя «Арифметика» – единственный из дошедших до нас трудов на эту тему, есть некоторые свидетельства того, что Диофант был частью более широкой традиции, а не просто отдельной фигурой.

Арабские математики Средневековья изобрели весьма изощренные методы решения уравнений, но излагали их на бумаге не с помощью символов, а с помощью слов.

Переход к использованию символов состоялся во времена Возрождения. Первым из великих алгебраистов, применившим символы, был Франсуа Виет. Большинство своих результатов он сумел записать с помощью символов, но те существенно отличались от современных. Однако именно он предложил буквы алфавита в качестве обозначения как известных, так и неизвестных. Чтобы избежать путаницы, он рекомендовал согласные B, C, D, F, G… использовать для известных величин, а гласные A, E, I… для неизвестных.

ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО (он же Иеронимус Карданус, он же Жером Кардан) 1501–1576

Джероламо Кардано был незаконным сыном миланского стряпчего Фацио Кардано и молодой вдовы Клары Мичери, вынужденной одной растить троих детей. Дети умерли от чумы в Милане, пока Клара рожала Джероламо в Павии. Фацио был способным математиком и передал Джероламо увлечение этим предметом. Джероламо против воли отца пошел изучать медицину в университете Павии: Фацио хотел, чтобы он тоже стал юристом.

Еще студентом Кардано был выбран ректором университета (по местной традиции ректор избирался из студенческой среды) в Падуе, куда он переехал, с перевесом в один голос. Едва успев получить наследство после смерти отца, Кардано промотал все деньги в азартные игры: карты, кости и даже шахматы. Он не расставался с кинжалом и однажды ударил им в лицо противника, которого заподозрил в мошенничестве.

В 1525 г. Кардано получает диплом медика, однако ему пришлось покинуть пост в Миланской коллегии врачей – возможно, из-за скандальной репутации. Он практиковал медицину в деревне Сакка и женился на Лючии Бандарини, дочери капитана местного ополчения. Практика не приносила дохода, и в 1533 г. Кардано снова увлекся азартными играми, и на этот раз проигрыш оказался серьезнее: пришлось заложить драгоценности жены и кое-что из фамильной мебели.

Кардано снова повезло: к нему перешло место отца, преподавателя математики в школе Пиатти. По совместительству он продолжал практиковать медицину, и несколько чудесных выздоровлений заметно укрепили его репутацию врача. В 1539 г., после нескольких неудачных попыток, его снова приняли в коллегию врачей. Он начал публиковать учебные тексты по разным темам, в том числе по математике. Кардано написал замечательную автобиографию «О моей жизни» – альманах, составленный из глав на разные темы. Будучи на вершине славы, он получил вызов в Эдинбург, к одру архиепископа Сент-Эндрюса Джона Гамильтона. Гамильтон страдал от жестокой астмы. Но его состояние резко улучшилось после вмешательства Кардано, и медик покинул Шотландию, став богаче на 2000 золотых крон.

Он стал профессором в университете в Падуе, и всё шло прекрасно, пока его старший сын, Джамбаттиста, не женился тайком на Брандонии Серони, «никчемной, бесстыжей женщине», по оценке самого Кардано. Вместе со своей родней она публично унижала и издевалась над Джамбаттистой, и он отравил ее. Несмотря на все старания Кардано, его сына казнили. В 1570 г. Кардано был обвинен в ереси за то, что посмел составить гороскоп Иисуса Христа. Его посадили в тюрьму, затем отпустили, но лишили права преподавать в университете. Он переехал в Рим, где неожиданно получил отпущение грехов у папы и снова был принят в коллегию врачей.

Он предсказал день своей смерти и постарался доказать свою правоту, совершив самоубийство. Несмотря на всё пережитое, он до самого конца оставался оптимистом.

В XV в. появились первые примитивные символы, прежде всего буквы p и m для сложения и вычитания: plus и minus. Это скорее были сокращения, чем символы. Но и символы + и – появились примерно в то же время. Они пришли из области коммерции, точнее, от немецких купцов, обозначавших перевес или недовес. Математики быстро тоже стали ими пользоваться: первые письменные свидетельства относятся к 1481 г. Уильям Отред ввел символ × для умножения и был безжалостно (и справедливо) раскритикован Лейбницем за то, что его очень легко спутать с буквой x.

ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИОФАНТА И СОВРЕМЕННЫЕ

В 1557 г. английский математик Роберт Рекорд в своей книге «Точильный камень остроумия» ввел символ = для равенства, используемый по сей день. Он писал, что ему в голову не приходило ничего лучше, чем две параллельные линии равной длины. Правда, у него они были намного длиннее, чем те, которые ставим мы, что-то вроде:

. Виет сперва писал вместо равенства слово «aequalis», но позже заменил его символом ~. Рене Декарт использовал другой символ – ∞.

Современные символы > и < для «больше» и «меньше» пришли к нам благодаря Томасу Хэрриоту. Круглые скобки () появились в 1544 г., а квадратные [] и фигурные { } изобрел Виет примерно в 1593 г. Декарт использовал символ квадратного корня √, представляющего стилизованную букву r для обозначения корня; для кубического корня он использовал символ √с.

Чтобы наглядно показать разницу между символами нашего времени и периода Возрождения, приведу цитату из «Великого искусства» Кардано:

5p: R m:15

5m: R m:15

25m: m:15 qd. est 40.

В современных символах получится:

Итак, здесь мы видим p: и m: для плюса и минуса, R для квадратного корня и qd. est для латинского выражения «что есть». Кардано писал

qdratu aeqtur 4 rebus p: 32

там, где мы бы написали

x² = 4x + 32.

Он использовал разные сокращения, rebus и aeqtur, для неизвестного (предмета) и его квадрата. В остальных местах он использует R как неизвестное, Z для его квадрата и C для куба.

Влиятельной, хотя и малоизвестной фигурой был в свое время француз Никола Шюке, чья книга «Наука о числах в трех частях» («Le triparty еn la science des nombres»), вышедшая в 1484 г., описывала три главные математические темы: арифметику, корни и неизвестные. Его обозначение для корней очень похоже на символ Кардано, но он первым ввел надстрочное написание степени неизвестного. Он называл первые четыре степени неизвестного premier, champs, cubiez и champs de champs. Для того, что мы бы сейчас написали как 6x, 4x², 5x³, он использовал комбинации.6.1, 4.2 и.5.3. Он также применял ноль и отрицательные степени и писал.2.0 и.3.^1.m., где мы бы написали 2 и 3x^–1. Он использовал экспоненциальную запись (надстрочные символы) для степеней неизвестного, но не символы для самого неизвестного.

Это упущение исправил Декарт. Его запись уже очень близка к современной, за одним исключением. Там, где мы бы написали:

5 + 4x + 6x² + 11x³ + 3x⁴,

Декарт писал:

5 + 4x + 6xx + 11x³ + 3x⁴.

Как видите, xx используется вместо квадрата. Правда, время от времени Декарт тоже писал x². Ньютон обозначал степени неизвестного так же, как и мы, включая дроби и отрицательные показатели, например x³/² для квадратного корня из x³. А Гаусс окончательно отказался от xx в пользу x². И как только это совершил Гроссмейстер, все сочли своим долгом последовать его примеру.

Назад: Кубические уравнения

Дальше: Логика символов