Логика символов

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Алгебра началась как способ систематизации задач по арифметике, но ко времени Виета уже жила собственной жизнью. До Виета алгебраические символы и операции рассматривались только как способы записать и выразить арифметические процедуры: во главе угла оставались числа. Виет ввел четкое различие между тем, что он называл логикой символов и логикой чисел. С его точки зрения алгебраическое уравнение представляет целый класс (вид символов) арифметических выражений. Это была новаторская концепция. В труде 1591 г. «Введение в аналитическое искусство» он объясняет, что алгебра – метод оперирования общими формами, а арифметика имеет дело с конкретными числами.

Возможно, вам это покажется педантизмом, но различие с новой точкой зрения значительно. По Виету, алгебраическое вычисление, например (в нашем написании)

(2x + 3y) – (x + y) = x + 2y,

выражает путь действий с символьными обозначениями. Отдельные выражения 2x + 3y и т. д. – математические объекты сами по себе. Они могут быть прибавлены, вычтены, умножены и разделены даже без учета того, какие числа представляют. Но для предшественников Виета то же уравнение – не более чем численное соотношение, верное только тогда, когда конкретные числа подставлены вместо символов x и y. Так алгебра обрела самостоятельную жизнь как раздел математики, посвященный символьным выражениям. Это был первый шаг к ее освобождению от ярлыка приложения к арифметике.

ЧТО АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ
Главные «потребители» алгебры в современном мире – ученые, старающиеся представить законы природы в виде уравнений. Последние могут быть решены, чтобы выразить неизвестные величины с использованием известных. Техника стала настолько привычной, что никто не замечает, что использует алгебру.

Алгебра очень эффектно была приложена к археологии в сериале «Команда времени», когда несгибаемый телеархеолог решает выяснить, насколько глубок был средневековый колодец. Первой идеей было что-нибудь туда кинуть и измерить время до момента, когда предмет упадет на дно. Это заняло шесть секунд. Соответствующая алгебраическая формула такова:

s = ¹/₂gt²,

где s – глубина колодца, t – время падения предмета, а g – ускорение свободного падения, примерно 10 м/с². Поставив 6 вместо t, по формуле мы получим глубину около 180 метров.

Из-за неуверенности в формуле – хотя, как выясняется позже, команда времени вспомнила ее правильно – герои решили опустить в колодец связанные вместе три мерные ленты.

И глубина колодца на самом деле оказалась очень близкой к 180 метрам.

Алгебра покажется нам еще более полезной, если мы будем знать глубину и захотим вычислить время. Теперь нам предстоит решить уравнение для неизвестной t с заданной s и получить результат по формуле

Зная, что s = 180 м, например, мы можем предположить, что t равно квадратному корню из 360/10, или квадратному корню из 36, т. е. шесть секунд.

Назад: Алгебраическая символика

Дальше: Глава 5. Вечные треугольники