Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса
Назад: Великая теорема Ферма
Дальше: Глава 15. Геометрия на резиновом листе

Абстрактная математика

Развитие всё более абстрактного подхода в математике представляется естественным следствием роста разнообразия ее областей. Когда математика по большей части имела дело с числами, алгебраические символы служили не более чем простой заменой им. Но по мере развития математики росли и символы сами по себе, всё больше обретая самостоятельную жизнь. Смысл их становился всё менее важным по сравнению с правилами, по которым с ними можно было манипулировать. Но даже эти правила не были под запретом: традиционные законы арифметики, например коммутативный, далеко не всегда справлялись с новым контекстом.
И не только алгебра стала абстрактной. И анализу, и геометрии тоже пришлось сфокусироваться на более отвлеченных понятиях, причем по тем же причинам. Поворотным временем в изменении общего подхода стал период с середины XIX до середины XX в. Потом начался период консолидации, когда математики старались сбалансировать противоречия между требованиями абстрактного формализма и прикладной науки. Абстракция и обобщения шли рука об руку, но абстракция также способна и затенять значение математики. По крайней мере, больше не возникало споров о необходимости абстракции как таковой: подобные методы доказали свою важность в решении множества давних задач, таких как Великая теорема Ферма. И то, что еще вчера казалось не более чем отвлеченными играми разума, завтра могло запросто стать жизненно важной областью науки или источником хорошего дохода.
ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ
Поля Галуа создали надежный фундамент для системы кодирования, которая широко используется в различных коммерческих предложениях, особенно для CD и DVD. Всякий раз, слушая музыку или смотря видео, вы используете абстрактную алгебру.
Эти методы получили название кодов Рида – Соломона, в честь Ирвинга Рида и Густава Соломона, открывших их в 1960 г. Эти коды с исправлением ошибок, основанные на многочленах, с коэффициентами в конечных полях, применяются при кодировании данных, таких как музыка или видеосигналы. Известно, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в различных точках. Идея состоит в вычислении многочлена в более чем n точках. Если здесь нет ошибок, любое подмножество из n точек восстановит тот же самый многочлен. Если это не так, то, исходя из предположения, что количество ошибок не слишком велико, мы всё еще сможем вывести нужный многочлен.
На практике данные представлены в виде кодированных блоков с 2m – 1 m-байтных символов в каждом, где байт – двоичный символ: 0 или 1. Чаще всего выбирается значение m = 8, потому что многие старые компьютеры работают в байтах – последовательностях из восьми битов. Тогда число символов в блоке равно 255. Один обычный код Рида – Соломона содержит 223 байта закодированных данных в каждом 223-байтном блоке, и оставшиеся 32 байта отводятся на символы четности, в которых указано, должны ли определенные комбинации цифр в данных быть нечетными или четными. Такой код может исправлять до 16 ошибок в одном блоке.
Назад: Великая теорема Ферма
Дальше: Глава 15. Геометрия на резиновом листе