Безусловно, простейший способ записать число один – это цифра 1. Но вы можете столкнуться с тем фактом, что уходящая в бесконечность десятичная дробь 0,999999… представляет собой другой способ записи того же числа. В главе 3 мы присмотримся к этому обстоятельству повнимательнее.

Привычная нам десятичная система счисления удобна и работает отменно, почти без перебоев. Она хорошо подходит для записи целых чисел. 235 – это компактный способ сказать «две сотни, три десятка и пять единиц». Или, на языке математики:

Для некоторых дробных величин десятичная система счисления также чрезвычайно эффективна. Возьмем число 3/4. В десятичной системе его можно записать так: 0,75. Эта запись означает:

Десятичная дробь 0,75 в точности равна 3/4.

Тем не менее если мы предпримем попытку записать 2/7 в виде десятичной дроби, то потерпим фиаско. Если мы попробуем разделить два на семь с помощью калькулятора, то получим неприглядное 0,28571429, причем это будет лишь приближенное значение, не равное в точности 2/7.

Такие числа, как 3/8, могут быть представлены в виде десятичной дроби, потому что знаменатель в них легко представить в виде одной из степеней десятки: 3/8 = 375/1000. Но нельзя найти целое число A, для которого выполнялось бы условие:

так как это подразумевает 2 × 10ⁿ = 7 × A. Ни одно целое число A не подходит в качестве решения уравнения, потому что левая сторона не делится на 7, а правая сторона делится. Представить 2/7 в качестве десятичной дроби невозможно. Если только не…

Идея десятичной дроби с бесконечным числом символов содержит в себе один подвох, и сейчас мы выясним, какой именно. Вернемся к началу главы: что означает 0,99999… и почему оно равно 1?

Для начала давайте представим 0,999999… не как одно число, а как ряд чисел, где каждое следующее – это предыдущее с приделанной справа цифрой 9. Вот как выглядит такой ряд:

и так далее ad infinitum. Ясно, что элементы ряда (*) постоянно возрастают. Каждый следующий элемент пусть ненамного, но больше предыдущего.

Докажем два факта:

1. Все элементы возрастающего ряда (*) меньше 1.

2. Тем не менее для любого числа x, которое меньше 1, рано или поздно отыщется элемент ряда (*), превышающий x.

Представим элементы ряда (*) в виде обыкновенных дробей:

Есть компактный способ записать эти дроби. Знаменатели представляют собой степени десяти: 10¹, 10², 10³ и т. д. Каждый числитель на единицу меньше соответствующего ему знаменателя. Перепишем ряд снова:

Очевидно, что n-ный элемент ряда будет выглядеть так:

Легко убедиться, что все члены ряда (*) меньше 1, потому что числитель всякий раз оказывается меньше знаменателя.

Теперь докажем второе утверждение: если число x меньше 1, рано или поздно найдется элемент ряда (*), превышающий x.

Так как x меньше 1, разность (1 – x) положительна. Даже если x невероятно близок к единице, разница между ними будет мизерная, но положительная. Умножим (1 – x) на одну из степеней десяти:

Так как разность (1 – x) положительна, это произведение будет больше 1, если 10ⁿ достаточно велико:

Раскроем скобки:

перенесем 1 в левую часть, а 10ⁿx в правую:

поделим обе части на 10ⁿ:

Что мы выяснили? С одной стороны, все элементы интересующего нас возрастающего ряда меньше 1. С другой стороны, какое бы число x меньше единицы мы ни взяли, рано или поздно возникнет элемент ряда, превышающий x (а последующие будут нарастать и все больше удаляться от x).

Наш ряд неуклонно приближается к 1. Математики говорят, что этот ряд стремится к 1. Или, что то же самое, 1 представляет собой предел ряда.

Значение десятичной дроби с конечным числом символов – это сумма определенного количества десятых, сотых, тысячных и т. д. Например:

К сожалению, язык десятичных дробей с конечным числом символов слишком скуден, чтобы выразить, например, 2/7. Поэтому нам необходимо расширить лексикон.

Значение десятичной дроби с бесконечным числом символов равно пределу ряда, где на каждой ступени элемент прирастает на одну цифру. Это сложно, однако дает нам возможность выражать все числа, используя десятичную систему счисления.

Нужно приложить определенные усилия, чтобы увидеть в бесконечной десятичной дроби предел ряда. Попробуем посмотреть проще.

Вернемся к знакомому нам 0,999999… Пусть:

Умножим обе части равенства на 10:

Вычтем (A) из (B):

Теперь поделим обе части на 9 и убедимся, что X = 1. Готово! Все оказалось просто.

Этот фокус можно повторить для любой периодической десятичной дроби. Например:

Умножим обе части на 100 (чтобы цифры встали в строй):

и вычтем (C) из (D):

Таким образом, Y = 27/99 = 3/11.

Вот видите! Зачем утруждать себя «сходимостями» и «пределами»? Но с бесконечными последовательностями нужно быть осторожнее. Представим себе сумму:

Умножим обе части равенства на 2:

и привычно вычтем (E) из (F):

Стало быть, Z = –1? Что за абсурд?

Где мы допустили оплошность? Мы ушли в беспредел. Алгоритм, позволяющий установить значение 0,9999999… и 0,2727272727…, дал сбой, когда мы взялись за ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16… Во всех трех случаях речь шла о бесконечной последовательности. В чем разница? Ответ: в сходимости. Не понимая толком, что такое сходимость ряда, мы запросто придем к выводу, что сумма положительных чисел может быть отрицательным числом. Операции с выражениями (A) и (B), а также (C) и (D) математически корректны, потому что мы имеем дело со сходящимися последовательностями.