Книга: Путеводитель для влюбленных в математику
Назад: Глава 13 Треугольники
Дальше: Глава 15 Окружности

Глава 14
Пифагор и ферма

Страшила из книги «Волшебник страны Оз» так и не обрел мозги, но получил диплом. Он с гордостью продемонстрировал свой усовершенствованный интеллект, сформулировав абсолютно исковерканную теорему Пифагора: «Сумма квадратных корней из двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню из третьей стороны».
На самом деле теорема Пифагора ничего не говорит о равнобедренных треугольниках. Она увязывает длины сторон прямоугольного треугольника (один из углов в этом треугольнике прямой, то есть равен 90°).

 

 

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника (то есть сторон, образующих прямой угол) буквами a и b, а длину гипотенузы (стороны напротив прямого угла) – буквой c.
Теорема Пифагора гласит:
a² + b² = c².
Вот словесная формулировка (несомненно, именно это и намеревался сказать Страшила):
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Наше доказательство будет базироваться на рассечении большой фигуры на малые: мы сгруппируем несколько прямоугольных треугольников в одну фигуру, посчитаем сначала ее площадь, а потом сумму площадей образующих ее фрагментов и – вуаля! – докажем теорему Пифагора.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c так, чтобы они образовали квадрат со стороной a + b:

 

 

Очевидно, что площадь квадрата равна (a + b) ² = a² + 2ab + b².
Теперь рассечем большой квадрат на пять составных частей: малый квадрат со стороной c и четыре треугольника; сложим треугольники попарно в два прямоугольника со сторонами a и b:

 

 

Общая площадь этих фигур – c² + 2ab.
Очевидно, что площадь большого квадрата равна площади составляющих его частей:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab.
Когда мы вычтем из обеих частей тождества 2ab, теорема Пифагора будет доказана.
Вот другое доказательство, тоже основанное на рассечении некой геометрической фигуры.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат c × c:

 

 

Общая площадь этой фигуры с². Посчитайте самостоятельно сумму площадей треугольников и малого квадрата в центре. Ответ вы найдете в конце главы.
Еще одно доказательство на основе рассечения геометрической фигуры придумал Джеймс Гарфилд, 20-й президент Соединенных Штатов.
Сгруппируем три прямоугольных треугольника, два одинаковых поменьше и один побольше, чтобы они образовали трапецию:

 

 

Посчитайте сначала площадь трапеции, а затем сумму площадей образующих ее треугольников. Ответ – в конце главы.
Абсолютная величина комплексного числа
Вычислить абсолютную величину числа означает лишить его минуса, если оно отрицательное. Например, | – 5 | = 5. Иными словами, число –5 включает 5 единиц.
Более точное определение абсолютной величины:

 

 

Например, |12 | = 12, | – 7 | = 7, |0 | = 0.
Вот геометрическая интерпретация: абсолютная величина числа x – это расстояние между точкой с координатой x и точкой с координатой 0 на числовой оси:

 

 

Абсолютная величина показывает, насколько число удалено влево или вправо от нуля; знак числа (плюс или минус) не играет роли.

 

 

Как мы распространим идею абсолютной величины на комплексные числа? Что значит |3 + 4i|? Мы не можем сказать, отрицательно или положительно число 3 + 4i. Эти термины неприменимы к комплексным числам. Наша цель – выяснить, насколько комплексное число удалено от нуля. Для этого нам необходима геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительное число задает точку на числовой прямой; комплексное задает точку на плоскости. Например, комплексное число 3 + 4i можно изобразить геометрически, если отложить три единицы вправо и четыре единицы вверх от начала координат, как показано на рисунке.
Теперь подумаем, что значит расстояние от точки 3 + 4i до начала координат. На рисунке оно обозначено отрезком с двумя стрелочками на концах. Это – не что иное, как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 3 и 4. Пусть c – длина данной гипотенузы, тогда по теореме Пифагора
с² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Таким образом, Вывод: |3 + 4i| = 5.
В общем случае комплексное число a + bi задает точку с координатой a по горизонтали и координатой b по вертикали. Отрезок, соединяющий эту точку с началом координат, представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами длиной a и b. Если мы обозначим длину гипотенузы буквой c, то получим в соответствии с теоремой Пифагора:

 

 

Необходимо отметить, что эта формула работает как для комплексных, так и для действительных чисел. Например, если мы хотим вычислить абсолютную величину числа –4 сложным путем, представим его в комплексном виде: – 4 + 0i. Подставив a = –4 и b = 0 в формулу (A), мы получим:

 

Пифагоровы тройки
Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то гипотенуза равна 5. Все это целые числа. Вот другой пример: если длины катетов 5 и 12, то длина гипотенузы –

 

 

Все три числа снова оказались целыми. Но так везет не всегда. Если длины катетов – 2 и 3, то длина гипотенузы а это иррациональное число.
Если три положительных целых числа a, b, c являются длинами сторон прямоугольного треугольника, их называют пифагоровой тройкой. Простейшие примеры: 3, 4, 5 и 5, 12, 13. А как насчет других? Как их отыскать? Удивительно, но факт: ключ к пифагоровым тройкам лежит в области комплексных чисел!
Прежде чем погрузиться в детали, посмотрим, как комплексное число z = 2 + i связано с пифагоровой тройкой 3, 4, 5:
• Шаг 1. Вычислим z²:
z² = (2 + i) × (2 + i) = (4–1) + (2 + 2) i = 3 + 4i.
• Шаг 2. Вычислим |z²|:

 

 

Вычисления на шаге 2 показывают, что числа 3, 4 и 5 представляют собой пифагорову тройку. Отрезок на комплексной плоскости, соединяющий начало координат и точку 3 + 4i, – это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4, ее длина равна 5.
Повторим процедуру с комплексным числом z = 3 + 2i. Посчитаем z² и абсолютную величину этого числа:

 

 

Мы нашли пифагорову тройку: 5, 12, 13!
Еще один пример, и мы поймем принцип. Возьмем число z = 5 + 2i. Возведем его в квадрат и посчитаем абсолютную величину получившегося числа:

 

 

Мы нашли еще одну пифагорову тройку: 20, 21, 29.
Давайте подумаем, как это работает, вернувшись к первому примеру: z = 2 + i. Заметим: Мы возвели z в квадрат и посчитали абсолютную величину получившегося числа: Подытожим:

 

 

Таким образом, |z²| = |z|².
Всегда ли так? Разумеется, тождество выполняется для действительных чисел (например, |(–4)²| = |16 | = |–4 |²), но доказательство этого факта для комплексных чисел потребует некоторых алгебраических выкладок (проделайте их самостоятельно и сверьтесь с решением в конце главы).
Вернемся к процедуре поиска пифагоровых троек. Начнем с комплексного числа z = x + yi, где x и y – целые числа. Абсолютная величина z может не быть целым числом, но оно представляет собой квадратный корень из целого числа: Абсолютная величина z² непременно будет целым числом: |z²| = |z|² = x² + y². Найдем z²:
z² = (x + yi) × (x + yi) = (x² – y²) + (2xy) i.
Пусть a = x² – y², b = 2xy, c = x² + y². Тогда |a + bi| = c; следовательно, a² + b² = c².
Последний пример: пусть z = 7 + 4i. Его квадрат равен 33 + 56i, абсолютная величина этого числа равна

 

 

Еще одна пифагорова тройка: 33, 56, 65.
Я продемонстрировал процедуру поиска пифагоровых троек. Возникает естественный вопрос: все ли пифагоровы тройки можно найти подобным образом? Да, но доказательство этого факта довольно сложное, так что, если вам интересно, я рекомендую обратиться к литературе по теории чисел.
Великая теорема Ферма
Мы рассмотрели тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению теоремы Пифагора. Они лишь косвенным образом связаны с миром прямоугольных треугольников. Сейчас мы полностью перенесемся за пределы геометрии и подумаем о решениях уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ.
Легко найти тройки целых чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a + b = c. В предыдущем разделе я рассказал о способе поиска троек целых чисел, удовлетворяющих уравнению a² + b² = c². Сейчас нам предстоит перейти к более высоким степеням: можем ли мы найти тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению a³ + b³ = c³, или a⁴ + b⁴ = c⁴, или a⁵ + b⁵ = c⁵ и т. д.?
Вот два неинтересных решения уравнения a³ + b³ = c³:
5³ + 0³ = 5³; 5³ +(–5)³ = 0³.
Куда сложнее найти тройки целых чисел, не равных нулю, которые являются решениями уравнения a³ + b³ = c³. Такие решения называются нетривиальными.
Этот вопрос в 1637 году заинтересовал Пьера Ферма. На полях «Арифметики» Диофанта он сформулировал следующее утверждение: уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет нетривиальных целочисленных решений при n ≥ 3. Он записал по-латыни знаменитые слова:
Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
Это утверждение известно как великая теорема Ферма, хотя сомнительно, что Ферма мог доказать ее. Потребовалось три столетия, прежде чем Эндрю Уайлс нашел доказательство и опубликовал его в середине 1990-х. Он показал, что теорема Ферма верна и уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет нетривиальных целочисленных решений при n ≥ 3.

 

Назад: Глава 13 Треугольники
Дальше: Глава 15 Окружности