«В бесконечность и дальше!» – таков был лозунг Базза Лайтера, бесстрашного космического рейнджера из мультфильма «История игрушек». Эта фраза вызывает смех, ибо абсурдна: куда уж дальше бесконечности? Если что-то бесконечно велико, то может ли существовать что-то большее? Такие вопросы кажутся безумными, и математики до поры до времени предпочитали их не задавать. Но в конце XIX века Георг Кантор набрался смелости и стал искать ответ. Интуиция подсказывает, что нет ничего больше бесконечности.

Оказывается, здесь интуиция нас подводит.

В математике все сложное объяснимо через простое. Если быть достаточно скрупулезным, то комплексные числа можно определить с помощью действительных, действительные – с помощью рациональных, рациональные – с помощью целых и т. д. Все здание математики покоится на фундаментальной концепции множества.

Множество – это просто набор объектов. Например, {1, 2, 5} – множество, состоящее из трех чисел. Оно совпадает с множеством {1, 5, 2}, потому что порядок чисел в данном случае не важен. Кроме того, объект либо входит, либо не входит во множество. Входить во множество два раза нельзя. Множество {1, 1, 2, 5} совпадает с множеством {1, 2, 5}, второе появление числа 1 избыточно.

Если элемент входит в некоторое множество, математики используют значок ∈. Например, выражение 2∈ {1, 2, 5} следует понимать так: «Число 2 входит во множество, состоящие из чисел 1, 2, 5». Перечеркнутый значок показывает, что элемент не входит во множество; например: 3∉ {1, 2, 5}.

Число элементов, входящих во множество A, мы обозначаем |A|. Например, |{1, 2, 5}| = 3. Число |A| называют мощностью множества A.

Мощность такого рода множеств, как {1, 2, 5}, конечна. Однако мощность множества ℤ (все целые числа) бесконечна, как и мощность множества ℝ (все действительные числа).

Как сравнить размеры двух множеств? Простейший способ – пересчитать их элементы. Например, и у множества {1, 2, 5}, и у множества {3, 8, 11} мощность равна 3, стало быть, они равновелики.

Другой способ установить, что мощность множеств совпадает, – построить взаимно однозначное соответствие между их элементами. Иными словами, нам не обязательно перебирать все элементы, достаточно ввести правило, по которому мы сопоставляем элемент из одного множества с каким-либо элементом из второго. Вот взаимно однозначное соответствие между множествами {1, 2, 5} и {3, 8, 11}:

Впрочем, когда элементов мало, поиски взаимно однозначного соответствия обременительны и не приносят большой пользы.

Разберем более запутанный пример. Представьте себе, что в некоторый клуб входит семь человек (для удобства будем называть их по номерам: 1, 2, 3, …, 7).

Клубу разрешили послать трех членов на ежегодную национальную конференцию. Есть много способов выбрать трех человек из семи. Пусть A – множество всех возможных групп по три человека:

Здесь мы под «123» подразумеваем, что на конференцию поедут члены клуба под номерами 1, 2 и 3.

На следующий год членов клуба оповещают, что они могут отправить на конференцию четырех человек. Пусть B – множество всех групп по четыре человека:

Итак, A – множество групп по три человека, B – множество групп по четыре человека.

Совпадают ли их мощности?

Если внимательно пересчитать все элементы, выяснится, что мощности этих множеств совпадают. Но выписывать все возможности одну за одной – нудная и не застрахованная от ошибок работа.

Гораздо проще показать, что эти множества равновелики, если найти взаимно однозначное соответствие между их элементами. В голову приходит следующая мысль. Допустим, члены клуба решают, что на вторую конференцию больше не поедут те, кто побывал там в первый год. Тогда каждую группу по три человека из первого множества можно сопоставить с другой группой по четыре человека из второго множества. Например, если 1, 4 и 5 поехали на конференцию в первый год, то на следующий год поедут 2, 3, 6 и 7. Или: 145 ↔ 2367.

Выпишем все возможности:

Это взаимно однозначное соответствие показывает, что A и B равновелики.

Вы можете выписать все элементы множеств полностью и убедиться, что их количество совпадает (хотя взаимно однозначное соответствие избавляет нас от этой нудной работы). Перечень всех элементов вы найдете в конце главы.

Подытожим: у нас есть два способа доказать, что конечные множества имеют равные мощности: пересчитать их элементы или найти между ними взаимно однозначное соответствие. Однако, если множество содержит бесконечно много элементов, первый метод перестает работать: ни одно число не подходит на роль мощности ℝ (множество действительных чисел). Таким образом, нам остается лишь найти взаимно однозначное соответствие, чтобы показать, что мощности двух бесконечных множеств совпадают. Вот пример.

Как мы помним, буквой ℤ обозначается множество целых чисел:

Введем обозначение ℤ⁺ для множества положительных целых чисел:

Совпадают ли мощности ℤ и ℤ⁺?

Есть искушение сказать, что ℤ содержит вдвое больше элементов, чем ℤ⁺ и потому «в два раза более бесконечно». Однако мощности данных множеств совпадают. Почему? Мы покажем это с помощью взаимно однозначного соответствия.

Составим два перечня. Первый будет включать все положительные целые числа, а второй – вообще все целые числа, и положительные, и отрицательные, но в необычном порядке. Сопоставляя числа в первом и втором перечне, мы выстроим взаимно однозначное соответствие. Это показано в таблице.

Таким образом, мощности ℤ и ℤ⁺ равны, что, в принципе, и неудивительно – ведь оба эти множества бесконечны.

Выстроив взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств, мы показали, что мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают, что они, так сказать, «одинаково бесконечны». Пришло время для вопроса поинтереснее: совпадают ли мощности ℤ⁺ и ℝ? Да, разумеется, оба бесконечны. Впрочем, лучше не утверждать наверняка, пока мы не выстроим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Сейчас мы убедимся, что это невозможно.

Итак, мы должны сопоставить каждый элемент первого множества с элементом второго множества и убедиться, что каждый элемент второго множества сопоставлен с элементом первого. Как же доказать, что это невозможно? Мы покажем, что попытки выстроить все элементы ℤ⁺ и ℝ в пары обречены на провал, потому что кое-какие элементы ℝ окажутся пропущены. А теперь к делу!

Допустим, мы все-таки нашли взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и ℝ. Тогда все элементы можно занести в таблицу такого рода:

Все целые положительные числа занесены в левую колонку, все (вроде бы) действительные числа занесены в правую колонку. Сейчас мы убедимся: как ни заполняй правую колонку, будут действительные числа, которые туда не попадут.

Но прежде нам придется отвлечься на одну досадную техническую проблему. Некоторые действительные числа в десятичной системе счисления записываются двумя способами. Например, число 1/4. С одной стороны, мы можем записать его как 0,25. С другой стороны, можно записать и так: 0,24999999999999… Ряд девяток уходит в бесконечность. 0,25 тоже можно записать с бесконечным количеством нулей на конце. Таким образом,

Примем решение вносить в таблицу запись числа с нулями на конце. Это никак не влияет на доказательство, мы просто договариваемся о форме записи.

Итак, вернемся к доказательству. Представим, что перед нами уже лежит таблица с колонками целых положительных и действительных чисел. Поищем действительное число, ускользнувшее из правой колонки.

Для начала подчеркнем первую цифру после запятой в первой колонке, вторую цифру после запятой во второй колонке и т. д.:

Выпишем подчеркнутые цифры в ряд: 3, 8, 7, 3, 6… С помощью этого ряда создадим новое число. Начнем его с нуля, поставим десятичную запятую и дальше будем двигаться по ряду подчеркнутых цифр с двумя условиями:

(A) Если подчеркнута цифра 3, пишем 7.

(B) Если подчеркнута не цифра 3, пишем 3.

Как это работает с нашим рядом?

Первая цифра 3. Выполняется условие (A). Мы получаем 0,7___.

Вторая цифра 8. Выполняется условие (B). Мы получаем 0,73___.

Третья цифра 7. Снова выполняется условие (B). Получаем 0,733___.

Четвертая цифра снова 3, по правилу (A) ставим семерку: 0,7337___.

Пятая цифра 6, по правилу (B) ставим тройку: 0,73373___.

Продолжая двигаться вдоль ряда подчеркнутых цифр, мы получим число x. В нашем примере число x = 0,73373…, а остальные цифры заполняются согласно условиям (A) и (B).

Вот процесс выстраивания x в пошаговом виде:

Число x зависит от нашей таблицы. Другая таблица даст другое x. Мы утверждаем, что в любой таблице x, выстроенное таким образом, не встречается в правой колонке; следовательно, взаимно однозначное соответствие между целыми положительными и действительными числами невозможно.

Начнем с самого верха. Очевидно, число x не идентично первому числу в правой колонке, и вот почему. Первая строка 1 ↔ Y₁. Если первая цифра Y₁ после запятой – тройка, то первая цифра числа x после запятой – семерка; но если первая цифра Y₁ после запятой – не тройка, то первая цифра числа x после запятой, напротив, – тройка. Ситуация выглядит так:

Таким образом, Y₁ и x не совпадают. Какая бы цифра ни стояла после запятой в Y₁, первая после запятой цифра x другая. Следовательно, в первой строке таблицы x мы не найдем.

Двигаясь вниз по таблице, мы обнаружим, что во второй строке x тоже нет. Но если соответствие между ℤ⁺ и ℝ взаимно однозначное, где-нибудь в правой колонке число x просто обязано возникнуть. Иными словами, x появляется в строчке k, где слева стоит целое положительное число k, то есть k ↔ Y_k = x. Но мы все время будем сталкиваться с одной и той же проблемой. Какая цифра стоит в числе Y_k на позиции k после запятой? Если тройка, то на соответствующей позиции в x обнаружится семерка; если не тройка, то на соответствующей позиции в x как раз тройка. Это выглядит так:

Эта проверка показывает, что x в правом столбце отсутствует. Мы, конечно, можем выстроить новую таблицу и поместить x на первую позицию. Но, если применить к новой таблице алгоритм с правилами (A) и (B), мы обнаружим, что в ней отсутствует некое число x'.

Вывод: всякая таблица будет ущербной! Таким образом, взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и ℝ построить невозможно.

Мы доказали, что мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают. И дело тут не только в том, что оба множества бесконечно велики, а еще в том, что мы построили биекцию.

ℤ⁺ и ℝ тоже содержат бесконечное число элементов, но биекция между ними неосуществима. Так как любое целое положительное число – действительное, можно сказать, что ℝ «больше» ℤ⁺. Целых положительных чисел недостаточно, чтобы по одному сопоставить их со всеми действительными.

Мощность конечного множества – это число. Мощность множества A = {1, 3, 7, 9} равна четырем: |A| = 4. Но как зафиксировать мощность бесконечного множества? До выкладок Кантора математики довольствовались красивым символом ∞. Есть искушение написать: |ℤ⁺| = ∞ и |ℝ| = ∞, а затем сделать ошибочное заключение, что |ℤ⁺| = |ℝ|. Символ ∞ не передает всех особенностей, присущих мощностям бесконечных множеств.

Кантор решил исправить это и разработал новую систему чисел за пределами конечных. Такие числа называются трансфинитными и могут отразить мощность бесконечных множеств.

Мы выяснили, что ℤ⁺ – «наименьшее» бесконечное множество. Что это означает? Предположим, X – бесконечное множество. Между X и ℤ⁺ может быть биекция, а может и не быть. Но математики показали, что всегда есть взаимно однозначное соответствие между ℤ⁺ и некоторой частью множества X: либо ℤ⁺ и X равновелики, либо ℤ⁺ равновелико с частью множества X. Грубо говоря, либо ℤ⁺ и X имеют одинаковый размер, либо X больше.

Множества мощности ℤ⁺ называют счетными. Это самые маленькие бесконечные множества. Кантор ввел символ для обозначения их мощности: Мощности ℤ и ℤ⁺ совпадают, потому Так как ℝ обширнее, чем ℤ⁺, логичным будет записать: Величина обозначает мощность бесконечного множества, и это не обычное число. Его называют трансфинитным числом, причем  – наименьшее из трансфинитных чисел.

Мощности бесконечных множеств описывает целая вселенная трансфинитных чисел. Множества мощностью больше называют несчетными, и математики показали, что есть новый «уровень бесконечности», на ступень выше Мы можем доказать, что существует множество X, которое обладает двумя свойствами:

1.

2. Нет множеств с мощностью между |X| и

Таким множествам присвоили мощность Иначе говоря, и между этими двумя величинами нет других трансфинитных чисел.

Существует целая последовательность трансфинитных чисел. Она выглядит следующим образом: и т. д. Иерархия подразумевает, что есть трансфинитное число, превышающее любое א_k. Наименьшее трансфинитное число, превышающее любое א_k, мы обозначаем א_ω, и есть бесконечно много еще больших чисел!

Где в этой схеме находится ℝ? Мы выяснили, что Но можем ли мы определить мощность ℝ в точности? Сколько всего действительных чисел?

Вообразите: вы переступаете порог великолепного сооружения. За огромными воротами – мраморная лестница, ведущая в дивные палаты. Но стоит вам открыть дверь в подвал, как картина резко переменится. Там вы обнаружите ржавые трубы, искрящую проводку, бьющий в глаза электрический свет и разбитый пол, а может, и скопища тараканов. Подвал ужасен, но здания наверху без него не было бы.

Это хорошая метафора для сооружения под названием «математика». Как мы уже говорили в начале главы, все объекты в математике (от чисел до кругов) можно определить через другие объекты, попроще. Рано или поздно мы дойдем до самого дна и обнаружим объект, через который объясняются все другие. Это и будет множество.

Мы определили множество как набор объектов, но не сказали, что такое набор (в общем-то, это просто другое слово вместо «множества»), и не задались вопросом, какого рода объекты мы собираем вместе (и даже не дали определение объекта). Как нам выпутаться из этой ситуации?

Вначале математики относились к ней довольно беззаботно. Говорили просто: есть такая штука – множество и есть свойство «быть элементом множества», которое обозначают символом, а раз так, то можно двигаться дальше. Но все это рано или поздно приводит к затруднениям.

Первое множество, приходящее нам в голову, – пустое множество. Там нет никаких элементов, и мы обозначаем его символом ∅. Мощность пустого множества равна нулю, и утверждение x ∈ ∅ ложно для любого x (потому что внутри ∅ ничего нет).

Дальше нам приходит в голову, что множества можно характеризовать через свойства их элементов. Например, множество четных чисел задают следующим образом:

Форма записи {x | свойства x} определяет множество всех объектов, обладающих указанными свойствами.

А дальше возникает уйма сложностей.

В начале XX века философ и математик Бертран Рассел размышлял о множестве A = {x | x – такое множество, что x ∉ x}.

Это множество всех множеств, чьими элементами не являются они сами. Например, пустое множество удовлетворяет условию: ∅ ∉ ∅, потому что пустое множество не содержит элементов. Таким образом, ∅ ∈ A.

Дальше Рассел задал роковой вопрос: входит ли множество A во множество A?

• Если ответ «да», то A∈A. Но тогда не выполняется условие попадания во множество A: оно не должно быть элементом самого себя.

• Если ответ «нет», то A∉A. Тогда выполняется условие попадания во множество A, и оно является элементом самого себя.

Если A∈A, то A∉A. Если A∉A, то A∈A. Но не может же такого быть, что A и входит, и не входит в A! Что-то пошло не так.

Одно из решений этого противоречия заключается в том, что множества A просто не существует. Нет его, и все тут.

После работ Рассела подход к теории множеств претерпел существенные изменения. Четкие, ясные, применимые на практике правила закрепили, как формировать множества и какие операции с ними можно совершать. Определение множества и ∈ входит в свод правил непрямым образом. Мы не объясняем, что́ это; мы просто описываем, как оно себя проявляет. Мы говорим, что есть такие вещи, как множества, у них есть определенные свойства, а еще есть правила, по которым мы с ними работаем. Эти правила не позволили парадоксу Рассела вздыбить свою безобразную голову, и противоречий больше не возникало.

Но вернемся к вопросу: сколько всего действительных чисел? Мы знаем, что мощность множества положительных целых чисел равна И мы знаем, что Следует ли из этого, что Иными словами, существуют ли множества, чья мощность больше, чем ℤ⁺, но меньше, чем ℝ? Кантор верил, что но не мог найти доказательство; свое предположение он назвал континуум-гипотезой. Многие ученые заинтересовались этим вопросом. В 1900-е годы немецкий математик Давид Гильберт составил перечень важнейших математических проблем наступающего XX века. Доказательство (или опровержение) континуум-гипотезы вошло в его перечень первым номером.

Эту главную для Гильберта проблему разрешили неожиданным образом. Короткий, но исчерпывающий ответ звучит следующим образом: «Может быть и так, и этак».

Ну и ну! Математику ценят за то, что на все вопросы (обычно) находится точный ответ. «Может быть и так, и этак» разрушает определенность. Как с этим жить?

Работы Курта Гёделя (1940-х годов) и Пола Коэна (1960-х) показали, что общепринятые правила аксиоматической теории множеств неполны и потому не позволяют ответить на поставленный вопрос. Точнее говоря, эти математики продемонстрировали: нельзя ни доказать, ни опровергнуть то, что существуют множества, чья мощность больше, чем ℤ⁺, но меньше, чем ℝ. Другими словами, можно принять или допущение или допущение Дальше мы получим две разные математические системы. Обе корректны, просто непохожи друг на друга.