Книга: Большой роман о математике. История мира через призму математики
Назад: 12 Язык математики
Дальше: 14 Бесконечно малые величины
13
Мировой алфавит
«Философия написана в этой огромной книге, которая всегда открыта перед нашими глазами – я имею в виду Вселенную. Но мы не сможем ее понять до тех пор, пока не научимся понимать ее язык и символы, из которых она состоит. Она написана на языке математики, а его символы – это треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без помощи которых человек не сможет постичь ее смысл».
Эти слова, входящие с число самых известных в истории науки, были написаны в 1623 г. самим Галилео Галилеем в его книге под названием «Пробирщик» (итал. Il Saggiatore).
Галилео Галилей, несомненно, был одним из самых деятельных и талантливых ученых всех времен. Итальянского ученого часто называют основоположником современной физики. Надо сказать, что список его открытий поистине впечатляет. Он создал первый телескоп, открыл существование колец Сатурна, солнечные пятна, фазы Венеры и основные четыре спутника Юпитера. Один из самых известных сторонников гелиоцентрической системы мира, сформулированной Коперником, он описал принцип относительности движения, который теперь носит имя Галилея, и был первым, кто экспериментально изучал падающие тела.
В «Пробирщике» описывается тесная связь между физикой и математикой. Галилео Галилей был одним из первых, кто заметил эту зависимость. Необходимо отдельно отметить, что он пошел в хорошую школу, где в возрасте 19 лет ему преподавал основы математики Остилио Риччи, один из учеников Тартальи. Для ученых последующих поколений алгебра и геометрия окончательно стали языком, на котором говорит мир.
Необходимо иметь четкое представление о природе этой взаимозависимости между математикой и физикой. Потому что, конечно же, мы уже неоднократно видели с самого начала нашей истории, что математика всегда использовалась, чтобы изучить и понять мир. Однако в XVII в. произошло нечто новое. До этого времени математические модели оставались на уровне человеческих конструкций, созданных по аналогии с физическими объектами. Когда землемеры из Месопотамии использовали геометрию для измерения прямоугольного поля, оно было размечено человеком. В природе нет правильных прямоугольников – их расчерчивают люди. Аналогично этому, когда географы проводят триангуляцию местности для составления карты, полученные треугольники наносятся искусственно.
Сейчас же речь идет о совсем другой задаче, не просто об описании окружающего мира с математической точки зрения! Да, некоторые ученые эпохи Античности уже пытались сделать это раньше. Например, Платон, который, как вы помните, проводил параллель между пятью правильными многогранниками и четырьмя стихиями и космосом. Эта идея была гордостью пифагорейцев, хотя на самом деле их теории редко носили серьезный научный характер. Построенные на чисто метафизических соображениях и не подтвержденные экспериментально, почти все они в конечном счете были опровергнуты.
В XVII в. ученые пришли к выводу, что сама природа в различных своих проявлениях управляется точными математическими законами, которые могут быть выявлены экспериментальным путем. Одним из наиболее ярких достижений этого периода, несомненно, стало открытие закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном.
В своей работе «Математические начала натуральной философии» (от лат. Philosophiae naturalis principia mathematica) английский ученый впервые доказал, что падение тел на Землю и вращение звезд на небе можно объяснить одним явлением: все объекты Вселенной притягиваются друг к другу. Эту силу практически невозможно обнаружить для мелких предметов, но она становится огромной в случае, если речь идет о планетах или звездах. Земля притягивает объекты, поэтому они падают. Земля притягивает Луну и, в какой-то степени можно сказать, что Луна падает тоже. Но поскольку Земля круглая и Луна движется на высокой скорости, она непрерывно падает рядом с Землей, вращаясь по кругу! Аналогичным образом планеты вращаются вокруг Солнца.
Ньютон не только открыл закон притяжения, но и вывел математическую формулу для определения величины силы, с которой объекты притягивают друг друга. Любые два тела притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс, разделенному на квадрат расстояния между ними. Что, используя символы Виета, можно записать следующим образом:
В этой формуле буква F обозначает интенсивность силы, m1 и m2, соответственно, массы двух тел, сила притяжения между которыми определяется, и d – расстояние между ними. Число G обозначает постоянную, равную 0,0000000000667. Ее малая величина объясняет то, что у небольших объектов сила притяжения незначительна, а у обладающих гигантской массой планет и звезд – ощутима. Задумайтесь над тем, что всякий раз, когда вы поднимаете что-то, ваша мышечная сила больше, чем сила притяжения Земли!
С появлением этой формулы физические проблемы стали математическими задачами. Так, стало возможным вычислять траектории небесных тел и, в частности, прогнозировать события! Для того чтобы определить дату следующего затмения, достаточно найти значение неизвестных алгебраического уравнения.
В последующие десятилетия с помощью формулы Ньютона сделаны значительные открытия. Из закона всемирного тяготения вывели, что Земля слегка придавлена со стороны полюсов, что было впоследствии подтверждено геометрами, измерившими каждый меридиан с помощью триангуляции. Одним из наиболее впечатляющих успехов применения ньютоновской теории считается расчет времени возвращения кометы Галлея.
Со времен эпохи Античности ученые замечали случайное появление комет на небе. Две школы давали различное толкование этому явлению. Последователи Аристотеля полагали, что кометы – атмосферные явления, происходящие относительно близко к Земле, в то время как пифагорейцы считали, что это своего рода планеты, то есть более удаленные объекты. Когда Ньютон опубликовал «Математические начала натуральной философии», споры все еще продолжались, и ученые двух школ продолжали дискутировать по этому вопросу.
Один из способов доказать, что кометы – это далекие звезды, обращающиеся вокруг Солнца, – найти определенную закономерность: вращающийся объект должен возвращаться в одну и ту же точку с регулярной периодичностью. К сожалению, в начале XVIII в. еще не удалось обнаружить никакую закономерность такого рода. Но затем, в 1707 г., британский астроном, друг Ньютона Эдмунд Галлей заявил, что, возможно, кое-что обнаружил.
В 1682 г., когда Галлей впервые наблюдал комету, увиденное не показалось ему чем-то очень необычным. За год во время своего пребывания во Франции до этого астроном встретился с Кассини I в Парижской обсерватории. Кассини I обсуждал с ним свое предположение о периодичности возвращения комет. Затем Галлей погрузился в астрономические архивы, в которых были описаны два других случая появления кометы: в 1531 и 1607 гг. Кометы появлялись в 1531, 1607 и 1682 гг., то есть каждый раз ровно через 76 лет. А что если это была одна и та же комета? Галлей утверждает, что комета вернется в 1758 г.!
Пятьдесят один год неизвестности! Ожидание было невыносимо долгим. Другие ученые воспользовались этим, чтобы уточнить прогноз Галлея. В частности, было сделано предположение, что гравитационное притяжение двух таких планет-гигантов, как Юпитер и Сатурн, может несколько изменить курс кометы. В 1757 г. астроном Жером Лаланд и математик Николь-Рейн Лепот занимались расчетами, основанными на модели, разработанной Алекси Клеро, которая, в свою очередь, основывалась на уравнениях Ньютона. Они долго и кропотливо на протяжении нескольких месяцев делали расчеты, чтобы окончательно предсказать прохождение кометы рядом с Солнцем в апреле 1759 г. с возможной погрешностью не более чем на месяц.
А затем произошло невероятное событие. Комета прилетела снова, и весь мир увидел ее в небе, что было триумфом Ньютона и Галлея. Она прошла рядом с Солнцем 13 марта во временном интервале, который правильно вычислили Клеро, Лаланд и Лепот. Галлей, к сожалению, не дожил до возвращения кометы, которой было впоследствии дано его имя, но теория гравитации и благодаря этому применение математики в физике получили поразительное по своей силе и красоте подтверждение.
Ирония судьбы в том, что Галилео Галилей, помимо своей идеи о постижении мира с помощью математики, говорил в «Пробирщике» об атмосферном происхождении комет! Его книга была ответом математику Орацио Грасси, который за несколько лет до этого защищал противоположную точку зрения. Известность Галилея и полемический стиль сделали его книгу бестселлером своего времени, но ни слава, ни успех не являются подтверждением истины. «И все-таки она вертится», – мог бы ответить Грасси Галилею.
Помимо ошибки Галилея этот пример ярко иллюстрирует устойчивость научного процесса, который происходит в это время. Научные выводы не зависят от ранее выдвинутых авторитетными учеными мнений, даже если речь идет о Галилео Галилее. Факты – упрямая штука. Реальная природа комет, как и всех других физических объектов мира, не зависит от идей, которые люди вкладывают в них. В эпоху Античности, когда признанный ученый допускал ошибку, его многочисленные ученики, как правило, без колебаний следовали его курсу, ставя во главу угла авторитет ученого. Зачастую нескольких столетий недоставало для того, чтобы опровергнуть неверное знание с помощью элементарного эксперимента. Тот факт, что заблуждение Галилея было опровергнуто в течение всего лишь нескольких десятилетий, является признаком высокого уровня компетентности научного сообщества!
Рассчитать путь кометы, которую уже видели ранее, весьма непросто, но открыть с помощью вычислений новое небесное тело, о котором совсем ничего не известно, – это задача совсем иного порядка. Среди основных прорывов в области астрономии, сделанных с помощью математики, следует отдельно выделить открытие планеты Нептун в XIX в. Восьмая и последняя планета Солнечной системы, она единственная обнаружена учеными не в результате наблюдений, а с помощью математических вычислений! Это открытие сделал французский астроном и математик Урбен Леверье.
Начиная с конца XVIII в. многие астрономы заметили отклонения в траектории движения Урана, на тот момент последней известной планеты. Траектория, по которой она двигалась, не в полной мере соответствовала закону всемирного тяготения. Этому могло быть только два объяснения: либо теория Ньютона была ложной, либо эти отклонения были следствием существования еще одной планеты. Исходя из наблюдений за траекторией Урана, Леверье начал вычислять положение этой гипотетической новой планеты. Ему потребовалось два года напряженной работы, чтобы получить результат.
Наступил момент истины. В ночь с 23 на 24 сентября 1846 г. немецкий астроном Иоганн Готтфрид Галле направил свой телескоп в направлении, которое сообщил ему Леверье, приложил глаз к окуляру и… увидел ее. Еле заметное голубоватое пятно, затерявшееся в глубине ночного неба. Планета была там, на расстоянии более четырех миллиардов километров от Земли!
Какое прекрасное опьяняющее чувство, какое ощущение всеобщей вселенской силы, какие еще непостижимые эмоции, должно быть, испытал в тот день Леверье, который на кончике пера, благодаря своим уравнениям, смог найти, поймать и практически контролировать этот титанический танец планет вокруг Солнца! Благодаря математикам небесные монстры, которых когда-то считали богами, в одночасье стали ручными, укрощенными, послушными и мурчащими под ласками алгебры. Можно легко представить себе состояние сильного волнения, которое охватило все мировое астрономическое сообщество в последующие дни, и даже сегодня любой астроном-любитель, установив свой телескоп в направлении Нептуна, почувствует, как мурашки пошли у него по спине.
Жизнь любой научной теории имеет свои фазы. Так, все начинается с гипотезы, сомнений, ошибок, прогресса и предположений. Затем наступает время доказывания, проведения опытов, в результате чего гипотеза или подтверждается, или окончательно отвергается. И тогда наступает самый желанный момент, когда теория имеет достаточно оснований, чтобы с ее помощью делать выводы об окружающем мире без эмпирического подтверждения. Момент, когда уравнения могут предшествовать полученному опыту и даже предсказывать не наблюдавшиеся ранее явления, которые могут оказаться совершенно неожиданными. Момент, когда теория превращается из открытия в первооткрывателя, который становится союзником, почти коллегой создавших ее ученых. Так, теория сформировалась, и наступило время открытия кометы Галлея и Нептуна. А еще время грандиозного открытия Эйнштейном 29 мая 1919 г. общей теории относительности, время бозонов Хиггса, обнаруженных в 2012 г., вывод о существовании которых сделан с помощью стандартной модели физики элементарных частиц, а также время гравитационных волн, обнаруженных впервые 14 сентября 2015 г.
Прежде чем получить признание, все великие научные открытия делаются с помощью математики, алгебраических уравнений и геометрических построений. Математика продемонстрировала свою невероятную силу, и сегодня ни одна серьезная теория физики не осмелится говорить на другом языке.
Кристаллография
Повсеместное использование математики также распространяется и на химию, где мы встречаемся со старым знакомым. В начале XIX в. французский минералог Рене Жюст Гаюи, уронив кусок известкового шпата, обнаружил, что он распадается на множество фрагментов, имеющих одинаковую геометрическую структуру. Форма элементов, на которые он распался, не были случайными, они имели плоские грани, образовывавшие определенные углы друг с другом. Обратив внимание на такое явление, Гаюи делает вывод, что известковый шпат, должно быть, сформирован из множества однотипных элементов, которые связаны между собой идентичным образом. Твердое тело, обладающее таким свойством, назвали кристаллом. Другими словами, кристалл под микроскопом представляет собой структуру атомов или молекул, которая повторяется во всех направлениях.Структура, которая повторяется? Это вам ничего не напоминает? Поразительно похоже на месопотамские узоры и арабские замощения полов. Узор – это повторяющаяся последовательность в одном направлении, замощение – в двух. Для изучения кристаллов необходимо использовать те же принципы, но на этот раз в трехмерном пространстве. Месопотамские ремесленники обнаружили семь видов узоров, а арабские мастера – семнадцать видов замощения. С помощью алгебраических структур теперь можно было доказать, что эти цифры окончательные и других типов нет. Эти же алгебраические структуры позволили рассчитать, что существует 230 видов замощения в трехмерном пространстве. Среди простейших видов можно выделить мощение кубами, шестигранными призмами или усеченными октаэдрами, графическое изображение которых приводится ниже.
Трехмерные структуры, состоящие из кубов, шестигранных призм или усеченных октаэдров (слева направо). Такие структуры можно продолжать в пространстве до бесконечности
Элементы идеально стыкуются между собой, образуя структуру, которая может простираться до бесконечности во всех направлениях. Кто бы мог подумать, что отголоски геометрии, распознанные в узорах, нанесенных мастерами Месопотамии, в дальнейшем породят идею, лежащую в основе изучения свойств материи?Кристаллы встречаются повсеместно в нашей жизни. В качестве примеров можно привести поваренную соль, состоящую из множества мелких кристаллов хлорида натрия, или кварц, регулярные колебания которого под воздействием электрического тока являются неотъемлемой частью работы наших часов. Но будьте внимательны, слово «кристалл» иногда используется в повседневном языке некорректно.Так, хрустальные бокалы на самом деле не состоят из кристаллов в научном смысле этого слова.Если вы хотите полюбоваться на самые эффектные образцы, можете посетить минералогическую коллекцию. Так, одна из самых красивых коллекций в мире экспонируется в Университете Пьера и Марии Кюри в Париже.
Невероятная эффективность математизации мира, однако, не отвечает на следующий обескураживающий вопрос. Почему язык математики так идеально подходит для описания мира? Для того чтобы понять это, вернемся к формуле Ньютона.
Гравитационная сила в соответствии с формулой определяется с помощью двух действий умножения, деления и возведения во вторую степень. Простота этого выражения кажется маловероятным совпадением! Известно, что не все цифры могут быть выражены с помощью простых математических формул. Это касается, например, числа π и многих других. С точки зрения статистики сложные цифры еще более многочисленны, чем простые. Если взять случайное число, то будет гораздо больше шансов, что оно окажется нецелым. Аналогичным образом, вы с большей вероятностью столкнетесь с числом с бесконечным количеством знаков после запятой, чем с целым, а также скорее выбранное вами число не сможет быть выражено в виде формулы, чем будет вычисляться с применением элементарных действий.
Формула Ньютона удивительна еще и тем, что сила в ней определяется в зависимости от массы и расстояния между объектами. Это не просто постоянная величина, как, например, π. Независимо от массы двух тел и расстояния между ними, притяжение между ними всегда будет измеряться по этой формуле! До того момента, когда Ньютон сформулировал этот закон, логично было предположить, что определить силу притяжения с помощью математической формулы невозможно. И даже если допустить существование такой формулы, она могла бы оказаться невероятно сложной, включающей в себя не только умножение, деление и возведение во вторую степень.
К счастью, формула Ньютона оказалась проще! Удивительно, что природа так изысканно говорит на языке математики. Часто в истории оказывалось, что модели, разработанные математикой только из-за их красоты, спустя столетия после своего открытия находят применение в физических науках. И это касается не только силы тяготения. Электромагнитные явления, квантовые свойства элементарных частиц, релятивистская деформация пространства и времени – все это может быть удивительно лаконично выражено математическим языком.
Возьмем в качестве еще одного примера самую известную из всех формул: E = mc2. Это равенство, сформулированное Альбертом Эйнштейном, соотносит массу и энергию физических объектов. Здесь не будет приводиться доказательство этой формулы, так как сейчас у нас стоит другая цель. Но только задумайтесь: принцип функционирования нашей Вселенной, который, как правило, считается одним из самых захватывающих и непостижимых, выражается алгебраической формулой, состоящей всего из пяти символов! Какое чудо! Как правило, в этой ситуации вспоминают фразу Эйнштейна, которая подходит к подобным ситуациям: «Самое непостижимое в этом мире – это то, что он постижим». Остается домыслить, что постижим он с помощью математики. В 1960 г. физик Юджин Вигнер сформулировал это как «непостижимую эффективность математики».
Наконец, так ли хорошо мы знаем эти абстрактные объекты, цифры, фигуры, ряды и формулы, которые, как нам кажется, мы создали? Если математика действительно плод деятельности нашего мозга, зачем же мы тогда ищем ее проявления за пределами нашей головы? Откуда они берутся в окружающем нас мире? В самом ли деле они там есть? Или то, что мы видим, – это не более чем гигантская оптическая иллюзия? Представить себе, что математические объекты существуют вне человеческого разума, было бы равносильно тому, чтобы признать их реальными, даже если они являются чистой абстракцией. Что в таком случае вообще означает глагол «быть», если мы применяем его к бестелесным объектам?
Не надейтесь, что я смогу ответить хотя бы на один их этих вопросов.
Назад: 12 Язык математики
Дальше: 14 Бесконечно малые величины
