В июне 2010 года мы с Татьяной Николаевной выступили, каждый со своим докладом, на большой международной математической конференции «Topology and its Applications», состоявшейся в Греции, в городе Нафпактос (Nafpaktos). Рассказали наши новые результаты. Здесь надо отметить, что уже около года Таня готовила докторскую диссертацию. Идею, что ей уже давно пора защищаться, высказали сразу несколько математиков, знакомых с ее исследованиями и заявившими, что результаты вполне соответствуют докторскому уровню.

Организатором этих популярных топологических конференций в Греции является профессор Ставрос Димитриос Илиадис, рис. 3.196, известный греческий математик, яркий специалист по общей топологии, имеющий давние и тесные связи с мехматом МГУ. Мы с ним давние друзья, он неоднократно бывал у нас дома. Мы обсуждали с ним самые разные темы и идеи. Илиадис учился в МГУ, сохранил тесные научные контакты с мехматом, несколько раз приезжал к нам в МГУ на вре́менную работу, на стажировки, читал лекции, руководил студентами.

Рис. 3.196. Слева направо – Богатый Семен Антонович с женой Светланой, А. Т. Фоменко и Ставрос Илиадис, 2010 год. Нафпактос, Греция.

В самом конце года, 24 декабря 2010 года, Таня успешно защитила докторскую диссертацию по специальности геометрия и топология, на Диссертационном Совете мехмата МГУ, рис. 3.197. Работа была представлена к защите кафедрой общей топологии и геометрии нашего факультета, заведующим которой в то время являлся д. ф.м.н., профессор В. В. Федорчук. Надо сказать, что Таня работает не на мехмате, а на факультете ВМК (Вычислительной Математики и Кибернетики) в МГУ.

Рис. 3.197. Т. Н. Фоменко на защите докторской диссертации 24 декабря 2010 года. Мехмат МГУ.

Кафедра Общей Математики на факультете ВМК, возглавляемая известным академиком Владимиром Александровичем Ильиным, также активно поддержала представление её диссертации к защите. Надо сказать, что В. И. Ильин, рис. 3.198, не только выдающийся математик и интересный человек, но и автор нескольких сборников стихов, посвященных самым разнообразным проблемам жизни и научного творчества. На протяжении многих лет наши отношения были самыми теплыми и уважительными.

Рис. 3.198. Академик Ильин Владимир Александрович. 2012 год.

Докторская защита прошла блестяще, голосование было единогласным.

Работы Татьяны Николаевны, вошедшие в диссертацию, посвящены теории неподвижных точек и совпадений отображений топологических пространств. Исследуются проблемы, связанные с существованием неподвижных точек и совпадений, их минимизации, а также их аппроксимации. Построена теория введенного ранее Татьяной Николаевной индекса эквивариантности отображений (перестановочных с действиями конечной группы) так называемых когомологических сфер. Далее, получены результаты в известной проблеме минимизации множества неподвижных точек эквивариантного отображения полиэдра относительно действия конечной группы. Эта тематика связана с известной теорией Нильсена.

Следующая группа результатов относится к решению задачи о частичной минимизации множества совпадений двух отображений многообразий в положительной коразмерности, то есть когда размерность прообраза больше, чем размерность образа. Наконец, Татьяной Николаевной был открыт общий итерационный принцип, позволяющий по заданному неотрицательному функционалу на метрическом пространстве построить процесс поиска, последовательного приближения к нуль-подпространству этого функционала, с оценкой расстояния до него на каждом шаге аппроксимации.

Оппонентами выступили известные ученые: член-корреспондент РАН (позднее он стал академиком РАН), профессор Сергей Владимирович Матвеев, доктор физико-математических наук, профессор Арам Владимирович Арутюнов, доктор физико-математических наук, профессор Владимир Алексеевич Смирнов. Внешний отзыв от кафедры алгебры и топологических методов анализа Воронежского университета был подписан заведующим кафедрой доктором физико-математических наук, профессором Виктором Григорьевичем Звягиным.

Оценка диссертации во всех отзывах и выступлениях во время защиты была очень высокой.

Вот, например, резюме отзыва С. В. Матвеева.

«1. Выведены общие формулы, связывающие степень эквивариантных (относительно действий конечной группы G) отображений когомологических сфер одинаковой размерности с индексами эквивариантности ограничений этих отображений на подмножества неподвижных точек группы G. Найдены достаточные условия для равенства степеней эквивариантных отображений целочисленных когомологических сфер с действиями компактной не вполне связной группы, существенно более слабые, чем аналогичные условия в предшествующих работах для случая евклидовых сфер.

2. Доказано далекое обобщение классической теоремы Нильсена о минимизации множества неподвижных точек на случай эквивариантных (относительно действия конечной группы) отображений компактного полиэдра в себя.

3. Предложен эффективный способ частичной минимизации множества совпадений двух отображений одного гладкого многообразия в другое многообразие меньшей размерности. В отличие от предыдущих работ, минимизирующие гомотопии предъявляются.

4. Предложен общий метод поиска нулей функционалов на метрических пространствах (метод каскадного поиска), с помощью которого получен ряд новых важных результатов о существовании и аппроксимации общих прообразов точек и подпространств, общих неподвижных точек, а также совпадений для конечных наборов однозначных и многозначных отображений метрических пространств.

5. Доказаны сильная и слабая устойчивости предложенного метода каскадного поиска как относительно малых изменений начальных данных, так и относительно малых возмущений соответствующих функционалов…

Полученные автором результаты являются новыми и представляют собой существенное продвижение в теории неподвижных точек. Совокупность разработанных ею теоретических положений и результатов можно квалифицировать как новое научное достижение…». (Конец цитаты).

В других отзывах также подчеркивается, что решены трудные топологические задачи, имеющие важные приложения. Исследования Тани уже развиваются другими математиками.

Вот яркое выступление профессора А. В. Чернавского. «Я был в свое время оппонентом по кандидатской диссертации теперешнего диссертанта и с тех пор с интересом наблюдал за ее математической деятельностью. Эта деятельность распадается на три периода, посвященные разным темам, которые однако довольно естественно переходили один в другой. Это эквивариантные отображения, теория совпадений и каскадный поиск. В широком плане всех их можно отнести к большому разделу топологии – теории неподвижных точек с ее ответвлениями. Татьяна Николевна вышла из хорошо известной Воронежской школы, для которой тематика неподвижных точек, степени, индексов и поисков топологических подходов к этим вопросам была одной из основных. Здесь нужно вспомнить прежде всего М. А. Красносельского, но главным образом замечательный семинар Ю. Г. Борисовича, в котором диссертант начинала работу и была одним из самых активных его участников. Непосредственно к работе в этом семинаре примыкает первая часть ее диссертации, в которой развиваются идеи индекса эквивариантного отображения, использования спектральной последовательности Бореля и др.

В дальнейшем диссертант по крайней мере два раза меняла направление своих исследований, но Воронежская школа видна и в последующих ее работах, например, в уверенном обобщении на многозначные отображения теорем последней части. Важно отметить, что начиная по крайней мере три раза новую для себя тематику, Татьяна Николевна каждый раз находила свое достаточно неожиданное продолжение имеющейся теории. Это относится и к переходу к конечным группам в теории Смита, и к «морсовскому» подходу в теории совпадений, и к многозначным каскадам в задаче приближения к прообразам с его устойчивостью и др. Вторая черта диссертации, которую нужно отметить – успешное использование разных методов: алгебраической топологии в тематике эквивариантных отображений, методов геометрической топологии многообразий в задаче совпадений и чисто теоретико-множественного, метрического метода в построении каскадного поиска. Наконец, хочется также сказать, что диссертант не только проявила эрудицию в обращении к разнообразным задачам, но и показала умение проводить достаточно трудные доказательства, связанные с хитроумными построениями. На меня особенное впечатление произвела третья глава с нетривиальным использованием морсовской техники. Считаю диссертацию Т. Н. Фоменко заметным событием в указанной области, и присуждение ей ученой степени доктора физико-математических наук вполне оправданным». (Конец цитаты).

Большая мехматская аудитория 1408 на 14-м этаже, где проходила защита, была почти полностью заполнена народом. Надо сказать, что такое бывает далеко не на всех защитах. На данном заседании кроме диссертации Тани защищалась также докторская работа алгебраиста И. В. Аржанцева. Первой защищалась Фоменко, вторым – Аржанцев.

Мы сильно волновались. Надеялись на положительный результат, но поскольку кроме многих друзей и нас также есть много врагов, то, естественно, опасения были. Однако защита прошла великолепно, все выступавшие подчеркивали важность полученных результатов и то, что их автор безусловно заслуживает присуждения ученой степени доктора физико-математических наук. На само́й защите я не был, поскольку, как член Диссертационного Совета счел неуместным в данном случае свое участие в голосовании и вообще свое присутствие. Сидел дома и нетерпеливо ждал звонка от Тани. Когда, наконец, она позвонила, как будто камень с души свалился.

Сразу же после защиты, в тот же вечер, мы пригласили около двух десятков коллег и друзей на ужин в одно из университетских кафе. На следующий день было много телефонных звонков от знакомых, узнававших об успешной защите. Примерно через два с половиной месяца, 11 марта 2011 года Таню утвердил Президиум ВАКа. Так она стала доктором физико-математических наук. Вскоре она получила должность профессора на факультете ВМК.