Книга: Магия математики: Как найти x и зачем это нужно
Назад: Высшая точка тригонометрии
Дальше: Тригонометрия и окружность
Тригонометрия и треугольники
Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих корней: trigon и metria, сочетание которых буквально означает «измерение треугольника».
Равнобедренный прямоугольный треугольник. Как следует из названия, один из его углов равен 90°, а два других равны между собой, то есть по 45° (не забыли, что сумма углов треугольника равна 180°?). Если предположить, что длина каждого катета составляет 1, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна √(1² + 1²) = √2. И, кстати, такое же соотношение сторон – 1: 1: √2, – будет у каждого равнобедренного прямоугольного треугольника (посмотрите на рисунок).
Треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, а все углы – по 60°. Если мы разделим такой треугольник на две конгруэнтные части (как показано ниже), у нас получатся два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если длины всех сторон изначального треугольника равны 2, будут равны и 2 гипотенузы каждой из его прямоугольных половинок. Длины меньших катетов при этом составят 1, а бо́льших, как следует из теоремы Пифагора, – √(2² + 1²) = √3. Эта пропорция – 1: √3: 2 – также будет справедлива и в отношении любого треугольника с углами в 30°, 60° и 90° (это просто, как 1, 2, √3). В частности, при гипотенузе длиной 1 длины катетов составят 1/2 и √3/2.
Отступление
Единство (a, b, c), в котором a, b и c суть положительные целые величины, а a² + b² = c², называют Пифагоровой тройкой. Самая простая из таких троек (и наименьшая по значению величин) – (3, 4, 5). Общее же их количество неограниченно: просто увеличиваем треугольник сначала до (6, 8, 10), затем до (9, 12, 15) и т. д., до скольки угодно, хоть до (300, 400, 500). Но есть куда более интересный и остроумный способ создания таких троек. Возьмите два любых положительных числа m и n, где m > n. Допустим, чтоa = m² – n²
b = 2mn
c = m2 + n2
Обратите внимание: a² + b² = (m² – n²)² + (2mn)² = m4 + 2m²n² + n4, что равно (m² + n²)² = c², поэтому тройка (a, b, c) является пифагоровой. Например, если m = 2, а n = 1, получим (3, 4, 5); (m, n) = (3, 2) даст (5, 12, 13); (m, n) = (4, 1) – (15, 8, 17); (m, n) = (10, 7) – (51, 140, 149) и т. д. Самое интересное, что с помощью этого метода можно создать абсолютно любую пифагорову тройку (доказательство можно найти в любой книге по теории чисел).
Вся тригонометрия основана на двух очень важных функциях – синусе и косинусе. Возьмем треугольник ABC (вроде того, что изображен чуть ниже) и обозначим длину гипотенузы буквой c, а длины катетов, лежащих напротив ∠A и ∠B, – буквами a и b соответственно.
Синус угла ∠A (который в прямоугольном треугольнике должен быть острым) будем искать по формуле
Косинус этого угла – по формуле
Имейте в виду, что любой прямоугольный треугольник с углом A будет пропорционален нашему изначальному треугольнику, поэтому значения синуса и косинуса A от размеров треугольника не зависят.
Еще одна не менее популярная в тригонометрии функция – тангенс. Для угла A он представляет собой
в прямоугольном треугольнике –
Для всех этих формул есть свои специальные «запоминалки». Один мой знакомый, например, любил повторять: «Сильно противный Глеб, который прилег на гриб, так противно прилег». Здесь «СИльно» означает синус, все «ПРОТИВное» – противолежащий катет, «КОторый» – косинус, «ПРИЛег» – прилежащий катет, «ТАк» – тангенс, а слова, начинающиеся с буквы «г» – гипотенузу (то есть получаем подсказку насчет синуса, потом косинуса, а потом и тангенса).
Итак, в треугольнике с длинами сторон 3, 4 и 5 имеем
А что с углом B? Аккуратно подсчитаем и получим
то есть синус B будет равен косинусу A, а косинус B – синусу A! Волшебного в этом абсолютно ничего нет: просто сторона, противолежащая ∠A, является прилежащей к ∠B, и наоборот – сторона, прилежащая к ∠A, является противолежащей ∠B. Гипотенуза же у этих двух углов так и вовсе одна на двоих.
Так как ∠A + ∠B = 90°, мы можем сделать вывод, что для любого острого угла справедливо следующее:
sin (90° – A) = cos A cos (90° – A) = sin A
То есть если в треугольнике ABC ∠A равен 40°, то при ∠B = 50° sin 50° = cos 40°, а cos 50° = sin 40°. Другими словами, косинус данного угла (40°) равен синусу дополнительного (50°).
Кроме синуса, косинуса и тангенса в тригонометрии есть еще три элементарные функции. Используются они, правда, не так часто, как уже известные нам, но почему бы не упомянуть и их? Это секанс, косеканс и котангенс, и смысл их заключается в том, что
Приставка «ко-» означает здесь те же отношения дополнения, что и в паре «синус – косинус», а именно: для любого острого угла прямоугольного треугольника sec (90° – A) = csc A, а tan (90° – A) = cot A.
Чтобы найти косинусы, тангенсы и все остальное, достаточно знать значение синуса одного из углов, это очевидно. Но ведь и его (скажем, sin 40°) тоже надо как-то найти, правда? Самый простой способ – воспользоваться калькулятором: просто включаем его и узнаем, что sin 40° = 0,642…. Откуда это значение берется, мы узнаем чуть позже.
Некоторые значения тригонометрических функций встречаются в расчетах настолько часто, что лучше всего их просто запомнить. Вернемся к треугольнику с углами 30°, 60° и 90° и вспомним про соотношение его сторон – 1: √3: 2. Получается, что
Стороны же треугольника с углами 45°, 45° и 90° имеют соотношение 1: 1: √2, следовательно
sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2
А так как tan
запомнить придется только то, что tan 45° = 1 и что tan 90° определить невозможно, потому что cos 90° = 0.
запомнить придется только то, что tan 45° = 1 и что tan 90° определить невозможно, потому что cos 90° = 0.С такими знаниями пора вернуться к подножию нашей горы. Только сначала давайте остановимся у первого попавшегося дерева и попробуем рассчитать его высоту.
Предположим, что мы не дошли до ствола 3 метра и что угол между землей под нашими ногами и верхушкой дерева составляет 50°, как изображено на рисунке. (Определить угол, кстати, можно либо с помощью приложения, которое в наши дни есть на многих смартфонах, либо посредством простого устройства, называющегося клинометр, которое легко собирается из транспортира, соломинки для питья и канцелярской скрепки.)
Обозначим высоту буквой h. То есть
Следовательно, h = 3 tan 50°. Последний, если верить калькулятору, равен 1,19…. Получаем 3(1,19…) ≈ 3,57, что и является высотой дерева.
Теперь пойдем к горе – испытаем первый из наших математических методов. Сложность его в том, что мы даже примерно не сможем прикинуть расстояние до центра подножья – то есть вместе с высотой горы мы получаем уравнение с двумя неизвестными. Предположим, что мы измерили угол от точки, в которой находимся, до вершины и получили 40°, потом отошли на 300 метров дальше и получили уже 32° (см. рисунок). Что нам теперь с этой информацией делать?
Способ 4 (метод тангенсов): Обозначим высоту горы h, а расстояние до центра ее подножья в изначальной позиции – буквой x (то есть x это длина отрезка CD). Калькулятор говорит, что в треугольнике BCD tan 40° ≈ 0,839, следовательно
что можно представить как h = 0,839x. В треугольнике ABC имеем
что дает нам h = 0,625(x + 300) = 0,625x + 187,5.
Так как h в обоих случаях есть величина одинаковая, мы имеем полное право эти два уравнения соединить:
0,839x = 0,625x + 187,5
Решается это как x = 187,5/(0,214) ≈ 876. Значит, h приблизительно соответствует 0,839(876) ≈ 735, что и будет высотой горы.
Назад: Высшая точка тригонометрии
Дальше: Тригонометрия и окружность
