В этом разделе мы будем исследовать влияние различных факторов на распределение капитала с помощью различных показателей. Если в предыдущих разделах мы просто продемонстрировали технику формирования портфеля в заданный момент времени из ограниченного и заранее определенного количества комбинаций, то теперь мы рассмотрим функционирование полноценной торговой стратегии на длительном временном интервале.

Процесс формирования портфеля будем моделировать по исторической базе цен акций и их опционов за период 2002–2010 гг. В качестве базовых активов для построения опционных комбинаций будем использовать акции из списка S&P 500. Будем использовать дневные цены закрытия на акции и соответствующие им последние котировки спроса и предложения опционов (в качестве текущей цены опциона принимается середина спреда).

Обозначим через S = {s₁, s₂…, s_m} множество всех рассматриваемых акций. Двигаясь по истории из прошлого в будущее, будем каждый день T строить для каждой акции s_i из S множество опционных комбинаций по следующим правилам. Определим три ближайшие даты экспирации опционов. Для каждой даты экспирации, отстоящей от T на определенное количество торговых дней в будущее, возьмем множество всех опционов пут и колл на акцию s_i, имеющих страйки, удаленные от текущей цены акции не более чем на 10 %. Материалом для формирования портфеля будет множество коротких комбинаций типа стрэддл и стрэнгл, построенных с соблюдением следующих условий. При построении стрэнглов допускаются только те варианты, для которых страйк пута меньше страйка колла. Стрэддлы и стрэнглы состоят из равного числа опционов пут и колл.

В результате для каждого дня прошлого и каждой из трех ближайших экспираций получается широкий набор опционных комбинаций. Для каждой из них подсчитаем значение математического ожидания прибыли по логнормальному распределению. Выберем те комбинации, у которых значение этого критерия больше 1 % от объема инвестиций. Будем строить портфель из элементов этого множества путем распределения $100 000 (объем средств, выделенных на первом этапе процесса управления капиталом). Капитал будем распределять по одному из семи показателей, описанных в предыдущих разделах:

1) эквивалент позиции в акциях;

2) обратно пропорционально премии;

3) математическое ожидание прибыли на основе логнормального распределения;

4) вероятность получения прибыли на основе логнормального распределения;

5) дельта;

6) асимметрия;

7) VaR.

На дату экспирации будем фиксировать прибыль или убыток каждого портфеля.

Сравнительный анализ этих показателей будет фокусироваться на следующем вопросе: насколько портфели, сформированные с помощью различных показателей, отличаются друг от друга с точки зрения их доходности. Другими словами, в какой степени доходность портфеля зависит от показателя, с помощью которого распределялся капитал между элементами портфеля.

В предыдущем разделе для того, чтобы выразить степень различия портфелей с точки зрения их внутренней структуры, мы использовали коэффициент вариации весов отдельных элементов портфеля. Поскольку вес портфеля всегда положителен, c применением коэффициента вариации не возникает проблем. Однако в этом разделе мы будем сравнивать различные методы распределения капитала на основе реализовавшейся прибыли портфеля, которая может быть отрицательной (убыток). Поскольку в данном случае коэффициент вариации – вычисляемый как отношение стандартного отклонения (всегда положительно) к среднему (положительно или отрицательно) – может оказаться отрицательной величиной, его применение для оценки изменчивости (степени различия портфелей) невозможно. Поэтому нам придется выражать изменчивость с помощью стандартного отклонения, не нормированного на величину среднего.

Чем чреват такой отказ от нормировки? Из практики известно, что во многих случаях стандартное отклонение имеет положительную корреляцию со средним. В таких случаях тренды, наблюдаемые в динамике изменчивости (или другие зависимости), могут по существу быть трендами среднего, а не изменчивости. Нормировка же позволяет устранить этот недостаток. Поэтому, прежде чем приступить к нашим исследованиям (в которых мы вынуждены отказаться от нормировки), необходимо установить, существует ли в нашем случае взаимозависимость между средним и стандартным отклонением. Использование ненормированного стандартного отклонения будет допустимо только в том случае, если такой зависимости не существует.

Для того чтобы установить, существует ли прямая зависимость между средним и стандартным отклонением, мы рассчитали их значения на каждую дату создания портфелей. Среднее и стандартное отклонение вычислялись по величине прибыли семи портфелей, сформированных по семи разным показателям. На основе полученных данных мы провели регрессионный анализ, результаты которого представлены на рис. 4.4.1. Как следует из рисунка, прямая зависимость между средним и стандартным отклонением в данном случае не наблюдается. Более того, существует слабо выраженная обратная зависимость. Несмотря на то что обратная зависимость статистически значима (t = 18,4, p < 0,001), ее влиянием можно пренебречь в силу того, что коэффициент детерминации имеет очень низкое значение (R2 = 0,05). Таким образом, в нашем исследовании допустимо использовать в качестве меры изменчивости стандартное отклонение, не нормированное на величину среднего.

На протяжении всего периода исследования уровень изменчивости прибыли варьировал в довольно широком диапазоне (рис. 4.4.2). В определенные периоды изменчивость была очень высокой. Это означает, что в такие периоды способ распределения капитала имел большое влияние на прибыль портфеля. В то же время в другие периоды наблюдалась низкая изменчивость, что свидетельствует о том, что выбор определенного показателя для распределения капитала внутри портфеля не оказывал заметного влияния на доходность портфеля.

Таким образом, мы установили, что при определенных обстоятельствах выбор способа распределения капитала может оказывать заметное влияние на результаты работы торговой системы, а при других условиях может быть совершенно не важным. Поэтому необходимо установить, от чего зависит степень влияния, оказываемого выбором способа распределения капитала. Иначе говоря, какие факторы делают решение о выборе того или иного показателя, используемого для формирования портфеля, значимым и важным. Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы исследуем влияние трех факторов (исторической волатильности, времени создания портфеля и количества разных базовых активов в составе портфеля) на изменчивость прибыли портфелей, отличающихся друг от друга способом распределения капитала.

Для того чтобы установить, влияет ли уровень волатильности рынка на изменчивость прибыли портфелей, сформированных по разным показателям, мы рассчитали величину исторической волатильности индекса S&P 500 для каждой даты создания портфеля (расчет делался на 120-дневном историческом горизонте). Все данные по изменчивости прибыли были сгруппированы и усреднены по уровням исторической волатильности индекса S&P 500. При группировке в качестве дискрета (шага) использовался 1 % волатильности. Например, в одну группу вошли и были усреднены все стандартные отклонения, соответствующие тем датам создания портфеля, когда историческая волатильность находилась в диапазоне от 22 до 23 %. Соответственно, стандартные отклонения, относящиеся к тем датам, когда историческая волатильность находилась в диапазоне от 23 до 24 % вошли в следующую группу. И так далее.

Результаты анализа представлены на рис. 4.4.3. Существует прямая зависимость между уровнем волатильности и изменчивостью прибыли портфелей, формируемых на основе различных показателей. Если в период, предшествующий созданию портфеля, рынок был относительно спокоен (низкая историческая волатильность в момент создания портфеля), то выбор способа распределения капитала не оказывал существенного влияния на прибыльность стратегии (низкое значение стандартного отклонения). Если же на момент формирования портфеля волатильность была высокой, то изменчивость прибыли, реализованной на дату экспирации, оказывалась достаточно большой. Это означает, что при формировании портфеля в периоды экстремального рынка выбор способа распределения капитала оказывает решающее влияние на результативность торговли.

Интересно также отметить, что паттерн распределения данных на плоскости регрессии указывает на наличие условной гетероскедастичности (conditional heteroskedasticity) в этом анализе. Это следует из того, что разброс точек на низких уровнях независимой переменной (историческая волатильность) намного меньше, чем разброс точек на ее высоких уровнях. Из этого следует, что изменчивость прибыли портфелей в периоды волатильного рынка может быть не только большой (как мы отметили выше), но и достаточно умеренной (как вытекает из свойств условной гетероскедастичности).

На протяжении всего исследуемого периода портфели создавались каждый торговый день на ближайшую дату экспирации и на две последующие даты. Это означает, что все сгенерированные портфели можно разбить на группы, отличающиеся друг от друга по количеству дней от момента формирования портфеля до даты истечения опционов. Если рассмотреть все стандартные отклонения в пределах каждой такой группы, то это позволит проследить зависимость изменчивости прибыли портфелей от числа дней, остающихся до экспирации.

Из рис. 4.4.4 следует, что изменчивость прибыли портфелей, сформированных по разным показателям тем больше, чем больше дней остается до экспирации в момент создания портфеля. Это означает, что, если портфель создается незадолго до экспирации, разница в прибыли между портфелями, сформированными на основе разных показателей, не существенна. С другой стороны, если для формирования портфеля используются далекие опционы, то способ распределения капитала влияет существенно на будущую прибыль.

Практический вывод, следующий из этого наблюдения, достаточно важен, если разработчик стратегии ориентируется на торговлю только ближайшими опционными контрактами. Такой тип стратегий достаточно широко распространен среди трейдеров в силу того, что ближайшие контракты наиболее ликвидны и имеют наибольшую скорость временного распада (тету). При разработке автоматизированных систем, ориентированных на торговлю ближайшими опционными контрактами, выбор определенной системы распределения капитала не оказывает большого влияния на показатели доходности. Поэтому можно не тратить время и вычислительные ресурсы на поиск оптимальной системы распределения капитала.

В соответствии с алгоритмом базовой маркет-нейтральной стратегии (модификация которой используется в настоящем исследовании) все портфели формируются таким образом, что количество попадающих в портфель комбинаций (и, соответственно, количество базовых активов) не предопределено и может сильно меняться от портфеля к портфелю. Поскольку число разных базовых активов, включенных в состав портфеля, отражает в значительной степени уровень его диверсификации, логично предположить, что в малодиверсифицированных портфелях выбор способа распределения капитала оказывает большее влияние на будущую прибыль, чем в портфелях с высоким уровнем диверсификации. По аналогии с предыдущими исследованиями мы сгруппировали все данные по количеству базовых активов, вошедших в состав портфеля. Поскольку исходным материалов для формирования портфелей были акции из индекса S&P 500, то максимальное количество базовых активов, которые потенциально могут войти в портфель, не превышает 500. Хотя теоретически минимальное количество базовых активов равно 1, по факту ни один из созданных портфелей не содержал меньше 12 акций.

Данные, представленные на рис. 4.4.5, подтверждают, что наши предположения оправдались. Существует ярко выраженная обратная зависимость изменчивости прибыли от числа базовых активов. Более того, эта зависимость не линейна. В общем виде можно утверждать, что изменчивость прибыли тем меньше, чем больше базовых активов входит в состав портфеля. Это означает, что прибыли портфелей почти не отличаются друг от друга (то есть не зависят от способа распределения капитала), когда портфель состоит из комбинаций, относящихся к большому количеству базовых активов. Если же в портфель не диверсифицирован и в него входит мало базовых активов, то способ распределения капитала может оказывать существенное влияние на будущую прибыль.

Нелинейность зависимости, показанной на рис. 4.4.5, позволяет сделать определенные количественные выводы. При росте числа базовых активов от нескольких десятков до сотни, изменчивость прибыли падает очень быстрыми темпами. Однако дальнейший рост числа базовых активов уже не приводит к существенному снижению изменчивости. Это означает, что если торговая стратегия основывается на создании больших сложных портфелей, содержащих комбинации на 100 и более базовых активов, то затраты времени и вычислительных ресурсов на поиск оптимального способа распределения капитала могут быть неоправданными. С другой стороны, если портфель содержит относительно мало базовых активов, то даже небольшое изменение их числа может кардинальным образом повлиять на прибыль, если была выбрана неоптимальная методика распределения капитала.

Итак, мы установили, что степень влияния способа распределения капитала на реализовавшуюся прибыль зависит от трех факторов. Выше мы визуально исследовали каждый из этих трех факторов по отдельности. Поскольку все факторы оказывают одновременное воздействие на вариабельность прибыли, необходимо провести статистический анализ, учитывающий их одновременное влияние. Это даст возможность убедиться в том, что визуально установленные зависимости достоверны, а также позволит количественно выразить меру их влияния. Статистическим тестом, наиболее подходящим для этих целей, является множественная регрессия и Analysis of Variance (ANOVA). Эти тесты основываются на допущении, что зависимость между исследуемой переменной и каждой из независимых переменных линейна. В нашем случае это условие выполняется для двух из независимых переменных (рис. 3.4.4 и 3.4.5), но не выполняется для третьей (рис. 3.4.6). Поэтому прежде, чем приступить к статистическому анализу, необходимо преобразовать значения переменной «количество базовых активов» с помощью логарифмической трансформации (это позволит приблизить зависимость, представленную на рис. 4.4.5 к линейной форме).

Результаты построения множественной регрессии, приведенные в таблице 4.4.1, демонстрируют, что коэффициенты, выражающие влияние исторической волатильности, количества дней до экспирации и количества базовых активов, оказались статистически значимыми на очень высоком уровне достоверности. Вероятность того, что отличие расчетных значений этих коэффициентов от нуля было получено случайно, крайне низка (менее 0,1 %). Традиционные методы интерпретации множественной регрессии позволяют составить следующую формулу для прогноза изменчивости прибыли:

Следует относиться с большой осторожностью к интерпретации и использованию этой формулы. В частности, из таблицы 4.4.1 следует, что параметр intercept (значение, принимаемое зависимой переменной при условии, что значения всех независимых переменных равны нулю) является статистически значимым на высоком уровне достоверности (то есть его отличие от нуля неслучайно). Это означает, что стандартное отклонение прибыли портфелей при условии, что значения всех трех независимых переменных равны нулю, составляет 893,11 (величина intercept). Однако в исследуемом случае такая трактовка абсурдна, поскольку ни одна из трех переменных не может принимать нулевое значение. Следовательно, в данном случае экстраполяция абсолютно недопустима. Поэтому приведенный в таблице 4.4.1 анализ может использоваться не для прогноза степени вариабельности прибыли портфеля в зависимости от выбранного способа распределения капитала, а только для выявления статистической достоверности влияния каждого из анализируемых факторов.

Результаты ANOVA, представленные в таблице 4.4.1, подтверждают, что общая модель множественной регрессии также статистически достоверна на высоком уровне достоверности. Вместе с тем необходимо отметить, что значение коэффициента детерминации достаточно невелико (R² = 0,2). Это означает, что все три исследованных фактора объясняют лишь 20 % дисперсии зависимой переменной. Логично предположить, что оставшиеся 80 % дисперсии объясняются, помимо неизбежной случайной ошибки, многими факторами, составляющими суть торговой стратегии. Поэтому относительно небольшое значение коэффициента детерминации вполне объяснимо и не является удивительным.

В этом разделе мы сравним между собой различные показатели с точки зрения равномерности распределения капитала внутри портфеля. Предположим, что в соответствии с торговой стратегией имеется сумма M, выделенная на первом этапе реализации системы управления капиталом. Допустим, что существует n комбинаций – кандидатов на включение в портфель. В каждую из этих комбинаций может быть инвестирована доля w от капитала M. Теоретически могут существовать два предельных случая при распределении капитала. Вся сумма M может быть инвестирована в единственную комбинацию; при этом все прочие комбинации получают нулевую часть капитала (то есть вовсе не включаются в портфель). Другой предельный случай – это равномерное распределение средств, когда каждая комбинация получает одинаковую долю капитала равную M/n.

На практике оба эти сценария встречаются крайне редко. Обычно капитал распределяется неким промежуточным образом, когда потенциально более привлекательные комбинации получают больше капитала, чем менее привлекательные. Привлекательность определяется с помощью специальных показателей, семь из которых были подробно рассмотрены в разделах 4.3.1 и 4.3.2. Портфели, в которых большая часть капитала распределена между несколькими комбинациями, мы будем называть «концентрированными». А портфели, в которых доля капитала, инвестированного в разные комбинации приблизительно одинакова, будем называть «равномерными».

Степень концентрированности капитала является важным показателем для сравнения между собой различных способов распределения капитала. Дело в том, что уровень диверсификации портфеля чрезвычайно важен для управления и контроля рисков. Ранее мы оценивали диверсификацию портфеля по количеству базовых активов, включенных в его состав (рис. 4.4.5). Однако, даже если портфель состоит из комбинаций, относящихся к большому количеству базовых активов, он может тем не менее быть слабо диверсифицированным, если большая часть капитала сконцентрирована в комбинациях, относящихся к одному (или нескольким) активам. Если же капитал распределен более-менее равномерно между комбинациями, относящимися к разным базовым активам, то такой портфель является более диверсифицированным и, соответственно, менее рискованным.

Ранее мы выражали степень концентрированности капитала путем расчета коэффициента вариации весов различных комбинаций, входящих в состав портфеля (раздел 4.3.2, таблица 4.3.2). Поскольку сейчас мы обрабатываем большой массив данных (6448 портфелей для каждого из семи показателей распределения капитала) целесообразно будет ввести другой, более удобный и статистически более обоснованный показатель. Назовем его «индекс концентрированности портфеля».

Продемонстрируем расчет индекса концентрированности на примере данных таблицы 4.3.2 и двух показателей, математического ожидания прибыли и дельты. На основе каждого из этих двух показателей был сформирован портфель, состоящий из 20 комбинаций. Данные портфели отличаются друг от друга только набором весов w, в соответствии с которыми распределяется капитал между комбинациями. Для каждого портфеля отсортируем все комбинации по весу инвестированного в них капитала. Рассчитаем кумулятивную пропорцию капитала для двух комбинаций с наибольшим весом, затем для трех комбинаций и так далее до 20-й комбинации. Построим функцию зависимости кумулятивной пропорции от пропорции комбинаций в портфеле (отношение числа комбинаций, для которых было рассчитано данное значение кумулятивной функции к общему количеству комбинаций в портфеле). Например, для портфеля, сформированного по показателю «математическое ожидание прибыли», три комбинации с наибольшими весами имеют суммарный вес 0,34 (значение функции кумулятивной пропорции). Соответствующее этому весу значение пропорции комбинаций в портфеле равно 3/20 = 0,15. Это означает, что 34 % капитала сосредоточено в 15 % комбинаций.

На рис. 4.4.6 показаны две функции кумулятивной пропорции, соответствующие показателям «математическое ожидание прибыли» и «дельта» (данные взяты из таблицы 4.3.2). Используя эти функции, можно рассчитать, в каком проценте комбинаций (от общего числа комбинаций в портфеле) сосредоточено 50 % капитала. Это и будет значением индекса концентрированности портфеля. Для показателя «математическое ожидание прибыли» индекс равен 0,25, а для дельты он равен приблизительно 0,42. Это означает, что при распределении капитала по матожиданию прибыли 50 % капитала оказалось вложенным в 25 % комбинаций, а при формировании портфеля по показателю дельты половина капитала была вложена в 42 % комбинаций. Следовательно, в данном примере использование показателя «математическое ожидание прибыли» приводит к более концентрированному распределению капитала и, соответственно, созданию менее диверсифицированного портфеля.

Используя эту методику, мы рассчитали значения индекса концентрированности для каждого из 6448 портфелей, сформированных на исследуемом историческом периоде с помощью одного из семи показателей. Для того чтобы сравнить степень концентрированности капитала при формировании портфеля с помощью разных показателей, мы построили частотное распределение индекса концентрированности для каждого отдельно взятого показателя (рис. 4.4.7).

Когда капитал распределялся по показателям, не связанным с оценкой доходности и риска, распределение значений индекса концентрированности портфеля имеет вид, близкий по форме к нормальному (два верхних графика рис. 4.4.7). При распределении капитала обратно пропорционально премии приблизительно в 8 % случаев половина капитала оказалась вложенной в 16–17 % комбинаций. Когда портфель формировался по принципу эквивалентности позиции в акциях, в 7%случаев половина капитала была сконцентрирована в 15–20 % комбинаций. Экстремальные случаи, когда половина капитала была вложена в 1–3 % комбинаций были крайне редки (не более 2 % от общего количества сформированных портфелей).

Для тех портфелей, которые формировались с помощью показателя «математическое ожидание прибыли», распределение индекса концентрированности явно ненормально (левый средний график рис. 4.4.7). Чаще всего (9–11 % случаев) капитал был сконцентрирован в 1–2 % комбинаций. Портфели, в которых половина капитала была распределена в более 15 % комбинаций, были крайне редки (менее 4 % случаев).

При формировании портфеля по показателю «вероятность получения прибыли» распределение индекса концентрированности напоминает по форме равномерное распределение (правый средний график рис. 4.4.7). С частотой приблизительно равной 6 %, половина капитала инвестировалась в 3 % комбинаций, 4 % комбинаций и так далее до порядка 15 % комбинаций. По определению равномерное распределение характеризуется одинаковой частотой исходов для всех значений исследуемой переменной. Однако в данном случае распределение не является полностью равномерным, поскольку значения индекса концентрированности, лежащие в диапазоне от 15 % комбинаций и выше, встречаются с убывающей частотой.

В тех случаях, когда капитал внутри портфеля распределялся по дельте (нижний левый график рис. 4.4.7) и по коэффициенту асимметрии (не показан на рисунке) распределение индекса концентрированности напоминает по форме распределение, полученное для показателя «вероятность получения прибыли». Это указывает на относительную равномерность распределения капитала между комбинациями. Зато при формировании портфеля по другому показателю, выражающему оценку риска, по VaR, распределение имеет вид нормального (нижний правый график рис. 4.4.7), что свидетельствует о меньшей степени концентрированности капитала в пределах портфеля.

Подводя итоги, можно разделить семь показателей, использованных для распределения капитала внутри портфеля, на три условные группы (по степени концентрированности портфелей):

1. Показатели, использование которых приводит к созданию высококонцентрированных портфелей. В таких портфелях относительно большая доля капитала инвестируется лишь в несколько комбинаций. В нашем исследовании таким показателем является «математическое ожидание прибыли».

2. Показатели, которые приводят к формированию портфелей со средней степенью концентрации капитала. В этих портфелях большая часть капитала инвестируется в порядка 15 % от общего числа комбинаций, входящих в состав портфеля. К таким показателям можно отнести премию, эквивалент позиции в акциях и VaR.

3. Показатели, использование которых приводит к созданию портфелей с приблизительно равномерным распределением капитала между комбинациями. В нашем исследовании к таким показателям относятся «вероятность получения прибыли», «дельта» и «коэффициент асимметрии».

Во всех рассмотренных выше примерах весовая функция φ(C) вычислялась для каждой комбинации C по значениям того или иного показателя, рассчитанного для этой комбинации. Говоря формальным языком, φ(C) это сложная функция вида φ(C) = f(x(C)), где x(C) – определенный показатель, выбранный для распределения капитала. До сих пор мы полагали, что весовая функция принимает значения показателя, то есть рассматривали частный случай φ(C) = x(C). В этом случае вес каждой комбинации в составе портфеля прямо пропорционален значению показателя, соответствующего данной комбинации (графически зависимость веса от показателя является прямой линией). Однако мы не обязаны ограничиваться частным случаем линейной зависимости и можем допустить в принципе любой вид весовой функции, соответствующий торговой идее и параметрам стратегии.

Например, разработчик торговой системы может протестировать вариант, при котором комбинации, имеющие высокие значения показателя, получают значительно большую долю капитала, чем им следовало получить при пропорциональном распределении капитала. Соответственно, комбинации с более низкими значениями показателя получают непропорционально меньшую долю капитала. Этого можно добиться путем трансформации линейной весовой функции в выпуклую функцию.

Противоположный сценарий может состоять в том, что в комбинации, имеющие высокие значения показателя, инвестируется меньшая доля капитала, чем при пропорциональном распределении капитала. В таком случае непропорционально большая доля капитала инвестируется в комбинации с низкими значениями показателя. Для достижения такого результата следует трансформировать линейную весовую функцию в вогнутую функцию.

Можно разработать множество математических вариантов решения данной задачи. Продемонстрируем здесь наиболее простой и технически легко реализуемый вариант трансформации линейных функций в вогнутые и выпуклые. Для этого представим весовую функцию в следующем виде:

где x_i – значение показателя для i-й комбинации,

x_min – значение показателя для комбинации с наименьшим значением показателя,

x_max – значение показателя для комбинации с наибольшим значением показателя.

В дальнейших рассуждениях мы будем полагать y_min = x_min, y_max = x_max. В этом случае, если принять степенной показатель в формуле 4.4.1 равным 1, то весовая функция приобретает вид f(x) = x_i, то есть превращается в простую линейную функцию. Для всех n > 1 данная функция является выпуклой (обозначим ее f+(x)), а для всех 0 < n < 1 эта функция будет вогнутой (обозначим ее f–(x)).

Рассмотрим примеры вычисления значений выпуклой и вогнутой весовых функций (для n = 2 и n = 0,5, соответственно) для показателя «математическое ожидание прибыли». Воспользуемся данными, приведенными в таблице 4.3.2, для портфеля, состоящего из 20 акций. Минимальное значение показателя равно 0,0003, а максимальное значение составляет 0,0191. Вычислим значение выпуклой весовой функций для акции AAPL:

Используя степенной показатель n = 0,5, получим для этой же акции значение вогнутой функции: f–(x) = 0,01373. Воспользовавшись формулой 4.3.5, можем рассчитать веса этой комбинации в составе портфеля. Если капитал будет распределяться по выпуклой функции, то вес комбинации AAPL составит 0,082, а если по вогнутой, то 0,072.

Вычислив аналогичным способом значения обеих функций для всех 20 акций, получим два варианта распределения капитала – по выпуклой и вогнутой весовым функциям. На левом графике рис. 4.4.8 показаны значения двух трансформированных весовых функций и оригинальной линейной функции, послужившей исходным материалом для их расчета. Особенностью выпуклой функции является то, что все ее значения (за исключением экстремумов) меньше, чем значения исходной линейной функции. Для вогнутой функции справедливым будет обратное утверждение – все ее значения (за исключением экстремумов) больше, чем значения исходной линейной функции.

Для наших целей крайне важными будут характеристики чувствительности трансформированных функций к изменениям исходной весовой функции. Ниже мы опишем свойства выпуклой и вогнутой функций по отдельности для низких и высоких значений ее аргумента (исходной, нетрансформированной функции). Эти описания базируются на визуальном анализе левого графика рис. 4.4.8, а также на производных функции 4.4.1. Полагая y_min = x_min, y_max = x_max, производные выпуклой (n = 2) и вогнутой (n = 0,5) функций имеют вид:

На относительно высоких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции больше, чем на низких интервалах значений исходной функции. Другими словами, разница в значениях трансформированной функции между комбинацией с наибольшим значением показателя и комбинацией со вторым по величине значением показателя больше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или низким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на высоких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции больше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующим образом. Обозначим через x(C_i) значение показателя i-й комбинации. Пусть портфель состоит из m комбинаций {C₁, C₂…, C_m}. Причем x(C_m) > x(C_m – 1), x(C_m – 1) > x(C_m – 2) и так далее. Тогда для выпуклой функции соблюдаются неравенства:

На низких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции меньше, чем на высоких интервалах значений. Разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со вторым по величине значением показателя и комбинацией с первым (самым низким) значением показателя меньше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или высоким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на низких интервалах значений исходной функции приращение значений выпуклой функции меньше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующими неравенствами:

На высоких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции меньше, чем на низких интервалах значений исходной функции. Другими словами, разница в значениях трансформированной функции между комбинацией с наибольшим значением показателя и комбинацией со вторым по величине значением показателя меньше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или низким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на высоких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции меньше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующим образом:

На низких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции больше, чем на высоких интервалах значений. Разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со вторым по величине значением показателя и комбинацией с первым (самым низким) значением показателя больше, чем разница в значениях трансформированной функции между комбинацией со средним или высоким значением показателя и комбинацией с предыдущим значением показателя. Кроме того, на низких интервалах значений исходной функции приращение значений вогнутой функции больше, чем приращение значений самой исходной функции. Формально это можно выразить следующими неравенствами:

В тот момент, когда все значения трансформированной функции определены, расчет весов производится по формуле 4.3.5. Правый график рис. 4.4.8 показывает веса, рассчитанные по весовым функциям, представленным на левом графике этого рисунка (данные взяты из таблицы 4.3.2; исходная весовая функция – показатель «математическое ожидание прибыли»; выпуклая и вогнутая функции рассчитаны по формуле 4.4.1 при n = 2 и n = 0,5 соответственно). Прямая линия на графике демонстрирует веса, соответствующие нетрансформированной весовой функции.

Из графика следует, что при распределении капитала по выпуклой функции четыре комбинации с наибольшими значениями показателя имеют больший вес, чем при формировании портфеля по исходной весовой функции (эти комбинации располагаются в интервале высоких значений исходной функции, где кривая выпуклой функции проходит над прямой линией, соответствующей исходной функции). Для одной из комбинаций веса, полученные по выпуклой и исходной функциям, совпадают (эта комбинация располагается в точке пересечения исходной и выпуклой функции). Остальные комбинации при распределении капитала по выпуклой функции имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале низких значений исходной функции, где кривая выпуклой функции проходит ниже линии исходной функции).

В том случае, когда капитал распределялся по вогнутой функции, пять комбинаций с наибольшими значениями показателя имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале высоких значений исходной функции, где кривая вогнутой функции проходит под прямой линией, соответствующей исходной функции). Остальные 15 комбинаций имеют меньший вес, чем при формировании портфеля по исходной функции (эти комбинации располагаются в интервале низких значений исходной функции, где кривая вогнутой функции проходит выше линии исходной функции).

Из приведенного описания следует важный вывод: портфели, создаваемые с помощью выпуклой функции, представляют более агрессивный подход к распределению капитала, поскольку комбинации с высокими значениями показателя получают непропорционально больше капитала (а комбинации с низкими значениями – непропорционально меньше), чем при формировании портфеля по исходной весовой функции. Обратное утверждение справедливо для вогнутой функции, отражающей более консервативный подход к распределению капитала.

Кроме того, при использовании выпуклой функции распределение капитала внутри портфеля является более концентрированным (несколько комбинаций получают большую часть капитала). Формирование портфеля по вогнутой функции приводит к более равномерному распределению капитала между элементами портфеля. Следовательно, портфели, создаваемые с помощью выпуклой функции, являются менее диверсифицированными, чем портфели, соответствующие вогнутой функции. Это также является указанием на то, что первый подход более агрессивен, чем второй.

Смоделируем на периоде 2002–2010 гг. две торговые стратегии, аналогичные по всем параметрам той, что была описана в разделе 4.4.1, за исключением принципа распределения капитала. В одном случае будем распределять капитал по выпуклой функции (формула 4.4.1, n = 2), в другом случае – по вогнутой функции (формула 4.4.1, n = 0,5). В качестве показателя для формирования портфеля будем использовать математическое ожидание прибыли.

Всего на протяжении периода моделирования было построено 6448 портфелей для выпуклой функции и столько же – для вогнутой. Начнем со сравнения прибылей и убытков, получаемых при использовании этих двух функций для распределения капитала. Для этого рассмотрим зависимость между прибылью портфеля, получаемой при распределении капитала с помощью трансформированной весовой функции, и прибылью, получаемой при формировании портфеля на основании исходной весовой функции.

Распределение точек в двумерной системе координат (рис. 4.4.9) позволяет сделать выводы об эффекте применения трансформированных весовых функций. Для наглядности мы построили на плоскости регрессии линию «безразличия» с коэффициентом наклона равным 1. Прибыль портфелей, расположенных на этой линии одинакова при распределении капитала по исходной и по трансформированной весовой функции. Если использовать вертикальную ось для значений прибыли, получаемой при распределении капитала по трансформированной весовой функции, а горизонтальную ось – для прибыли по исходной функции, то точки, расположенные выше линии безразличия, обозначают портфели, для которых применение трансформированной функции привело к увеличению прибыли или уменьшению убытка (по сравнению с тем, что было бы, если бы капитал распределялся по исходной функции).

Когда капитал распределялся по выпуклой весовой функции (левый график рис. 4.4.9) и портфель оказался прибыльным (как для трансформированной, так и для исходной весовой функции), то большинство точек располагались выше линии безразличия. Это означает, что использование выпуклой функции при формировании портфеля позволило увеличить прибыль. Однако в тех случаях, когда портфель был убыточным (для обоих видов весовой функции), то большинство точек располагались ниже линии безразличия. Это означает, что при неблагоприятном исходе убытки портфелей, сформированных по выпуклой функции, больше убытков портфелей, построенных с помощью исходной функции.

Регрессионный анализ позволяет количественно выразить описанные наблюдения и проверить их статистическую достоверность. Коэффициент наклона линии регрессии равен 1,19, а коэффициент линии безразличия по определению равен 1. В таблице 4.4.2 приведены данные, доказывающие, что полученная разница угловых коэффициентов статистически достоверна на очень высоком уровне. Следовательно, вывод о том, что использование выпуклой функции для распределения капитала приводит к созданию более агрессивного портфеля (с большим потенциалом прибыльности и с большим риском убытков), не случаен. При этом следует оговориться, что такого рода анализ допустим только в тех случаях, когда intercept линии регрессии (значение принимаемое зависимой переменной при условии, что значение независимой переменной равно нулю) близок к нулю. В нашем примере, хотя intercept ниже нуля на приблизительно $50 и его отличие от нуля статистически значимо (таблица 4.4.2), он тем не менее ничтожно мал по сравнению с общим диапазоном значений, принимаемых исследуемыми переменными. Поэтому влиянием intercept можно пренебречь и считать, что прибыль/убыток портфелей, формируемых с помощью выпуклой функции, приблизительно на 20 % больше аналогичных портфелей, построенных на базе исходной весовой функции (поскольку угловой коэффициент равен 1,19).

Когда капитал распределялся по вогнутой весовой функции (правый график рис. 4.4.9), картина оказалась диаметрально противоположной. Те портфели, которые оказались прибыльным (и для трансформированной, и для исходной весовой функции), располагались в большинстве случаев ниже линии безразличия. Однако, в тех случаях, когда для обоих видов весовой функции портфель был убыточным, большинство точек располагались выше линии безразличия. Это означает, что распределение капитала с помощью вогнутой функции приводит к снижению прибыли. В то же время использование вогнутой функции позволяет снизить размеры убытков при неблагоприятном исходе торговли.

Хотя значение коэффициента наклона линии регрессии (0,89) близко к 1, оно статистически достоверно отличается от 1 на очень высоком уровне значимости (таблица 4.4.2). Следовательно, использование вогнутой функции для распределения капитала приводит к созданию более консервативного портфеля (с меньшим потенциалом прибыльности и меньшим риском убытков).

В предыдущем разделе мы сравнили прибыльность двух торговых стратегий, отличающихся формой весовой функции, используемой для распределения капитала. Теперь мы сравним те же стратегии по степени концентрированности капитала. Ранее мы описали методику расчета индекса концентрированности портфеля и применили ее для сравнения различных показателей, используемых при распределении капитала (рис. 4.4.7). Эту же методику мы применим для целей настоящего анализа: рассчитаем значения индекса концентрированности для каждого из 6448 портфелей, сформированных на исследуемом историческом периоде для каждой из двух весовых функций.

Для того чтобы сравнить степень концентрированности капитала при формировании портфеля с помощью двух трансформаций весовой функции, мы построили частотное распределение индекса концентрированности. Ранее мы продемонстрировали, что в тех случаях, когда портфели формировались с помощью нетрансформированной весовой функции (основанной на том же показателе – «математическое ожидание прибыли») распределение индекса концентрированности было не нормальным и сильно смещенным в область низких значений индекса (левый средний график рис. 4.4.7). При использовании выпуклого варианта трансформированной весовой функции ненормальность распределения усилилась еще больше (рис. 4.4.10). С наибольшей частотой (>16 % случаев) половина капитала была сконцентрирована всего в 1 % комбинаций. Портфели, в которых половина капитала была распределена в более 15 % комбинаций, оказались еще более редкими (менее 2 % случаев).

Использование вогнутой весовой функции для распределения капитала внутри портфеля изменило принципиальным образом форму распределения индекса концентрированности капитала (сравни левый средний график рис. 4.4.7 и рис. 4.4.10). В этом случае трансформация весовой функции привела к почти равномерному распределению индекса концентрированности. С частотой приблизительно равной 4–6 % случаев половина капитала инвестировалась в 1 % комбинаций, 2 % комбинаций и так далее до порядка 18 % комбинаций.

Таким образом, мы показали, что распределение капитала с помощью выпуклой весовой функции приводит к созданию высококонцентрированных портфелей, в которых относительно большая доля капитала инвестируется в малое количество комбинаций. С другой стороны, использование вогнутой весовой функции способствует построению портфелей с гораздо более равномерным распределением капитала. Поскольку степень концентрированности капитала отражает уровень диверсификации портфеля, можно утверждать, что распределение капитала с помощью выпуклой функции обеспечивает создание менее диверсифицированных и более агрессивных портфелей, а применение вогнутой функции приводит к формированию более диверсифицированных и более консервативных портфелей.