Глава 14
Алеф-n-плекс

Волшебники пытаются разобраться не только с кажущейся нелепостью «квантов», обобщающих в их понимании все сложности физики и космологии, но и со взрывоопасным философским/математическим понятием бесконечности. Они заново открыли на свой лад одно из величайших откровений математики XIX века – о том, что бесконечностей может быть много, и одни из них больше, чем другие.

Если это звучит глупо, значит, так оно и есть. Тем не менее такова правда – причем происходит это самым естественным образом.

О бесконечности главное понять две вещи. Несмотря на то, что ее часто сравнивают с числами вроде 1, 2 или 3, сама оно числом в общепринятом смысле этого слова не является. Думминг Тупс верно говорит, что нельзя начать с единицы и досчитать до нее. И во-вторых, даже если брать только математику, в ней существует множество понятий, на которые вешают ярлыки со словом «бесконечность». Если спутать их значения, получится ерунда.

А еще – простите, все-таки три вещи, – бесконечность зачастую следует понимать как процесс, а не как объект.

Но – ой, уже четыре, – математики имеют привычку превращать процессы в объекты.

Ах да, и – ну ладно, пять вещей, – один из типов бесконечностей все-таки является числом, пусть и несколько необычным.

Волшебники пытаются осмыслить не только математику бесконечности, но и ее физику. Конечна ли или бесконечна вселенная Круглого мира? Правда ли, что любое событие в любой бесконечной вселенной не только может, но и должно случиться? Может ли существовать бесконечная вселенная, полностью состоящая из стульев… неподвижная, неизменяемая и ужасно неинтересная? Мир бесконечности либо парадоксален, либо кажется таковым, но мы не должны допускать, чтобы даже мнимые парадоксы нам мешали. Если мы не будем забивать себе ими голову, то сможем проложить путь между этими парадоксами и добиться от бесконечности серьезной помощи нашему мышлению.

Философы обычно различают два «оттенка» бесконечности, которые называют «актуальным» и «потенциальным». Актуальная бесконечность – это объект, который бесконечно велик – настолько, что до недавних пор имел сомнительную репутацию. Куда более почитаемым оттенком считается потенциальная бесконечность, возникающая в тех случаях, когда какой-либо процесс ясно дает нам понять, что может длиться столько, сколько мы захотим. Самый простой пример такого процесса – это счет: 1, 2, 3, 4, 5… Разве мы можем когда-нибудь досчитать до «самого большого возможного числа» и остановиться? Дети часто об этом спрашивают, поначалу думая, что самое большое число, которое они знают, это и есть самое большое вообще. Так, сначала им кажется, что самое большое число – шесть, потом – сто, потом – тысяча. Вскоре после этого они понимают, что если досчитать до тысячи, все равно останется еще шаг до тысячи одного.

Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман в своей книге «Математика и воображение» представили миру гугол – число, имеющее вид единицы со ста нулями. При этом не забывайте, что, например, в миллиарде всего девять нулей: 1 000 000 000. А гугл выглядит так:

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

и он настолько велик, что нам пришлось разбить его на три строки. Название ему придумал девятилетний племянник Каснера, а позже оно стало названием интернет-поисковика Google™.

Но при всей своей величине гугл определенно не равен бесконечности. Придумать число, которое будет больше его, очень просто:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

Достаточно добавить 1. Еще более впечатляющим образом можно придумать число, большее гуглплекса (идея названия тоже принадлежит племяннику), который представляет собой 1 с гуглом нулей. Не пытайтесь записать его: вселенная для этого слишком мала (если только вы не станете писать шрифтом субатомного размера), а время ее существования слишком коротко, не говоря уже о продолжительности вашей жизни.

Гуглплекс – пусть и чрезвычайно огромное, но совершенно определенное число. В нем нет никакой неясности. И он, несомненно, не равен бесконечности (достаточно добавить 1). Тем не менее он достаточно велик для большинства задач, включая те, что возникают в астрономии. Каснер и Ньюман заметили, что «как только люди начинают говорить о больших числах, они теряют контроль. Думая, что ноль это ничто, они добавляют к числу много нулей, считая, будто почти ничего этим не меняют». Такая фраза вполне могла бы принадлежать самому Наверну Чудакулли. Они также писали, что в конце 1940-х в одной известной научной статье сообщалось, будто для начала ледникового периода нужен миллиард в миллиардной степени снежных кристаллов. «Это, – продолжали они, – весьма удивительно и крайне глупо». Миллиард в миллиардной степени это 1 с девятью миллиардами нулей. Более разумное в данном случае число – это 1 с 30 нулями, что невообразимо меньше, но все равно больше, чем на банковском счету Билла Гейтса.

Какой бы ни была бесконечность, это не обычное число, которое можно сосчитать. Если бы самым большим возможным числом было, скажем, n сиксиллиардов, то все равно n сиксиллиардов плюс один было бы больше. И даже если бы это число было более сложным, например, n сиксиллиардов два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи семьсот пятьдесят восемь… то что, если мы назовем n сиксиллиардов два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи семьсот пятьдесят девять?

К любому числу можно добавить единицу, и вы получите число, которое будет (не намного, но отличимо) больше его.

Счет может остановиться, только если у вас закончится воздух в легких, но оно не может остановиться из-за того, что закончатся числа. Хотя у бессмертного (или почти бессмертного), пожалуй, могут закончиться вселенные, в которых он попытается записать числа, или время, чтобы их произнести.

Если коротко, множество чисел бесконечно.

Замечательнее всего в этом утверждении то, что оно не подразумевает существования числа под названием «бесконечность», которое больше любого другого числа. Совсем наоборот: вся суть в том, что такого числа, которое было бы больше любого другого, не существует. И хотя счет вы в принципе можете вести бесконечно, при каждом отдельном шаге вы достигаете конечных чисел. «Конечный» здесь означает, что до него можно досчитать и окончить счет.

Как сказали бы философы, счет – это образец потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длиться вечно (или, по крайней мере, так кажется нашему наивному разуму, воспринимающему образы), но никогда этой «вечности» не достигает.

Развитие новых математических идей обычно следует некоторым закономерностям. Если бы математики строили дом, они бы начали со стен первого этажа, подвесив их в воздухе в футе над гидроизоляционным слоем… или тем уровнем, где он должен находиться. В доме не будет ни окон, ни дверей, только проемы соответствующего размера. Ко времени пристройки второго этажа качество кладки заметно улучшится, внутренние поверхности стен будут оштукатурены, двери и окна займут свои места, а пол станет достаточно прочным, чтобы по нему можно было ходить. Третий этаж будет просторным и совершенным, весь устланный коврами, заставленный огромным количеством мебели с интересным, но неподходящим дизайном, и с шестью видами обоев в каждой комнате… Чердак, наоборот, – скромным, но элегантным – минималистичный дизайн, ничего лишнего и все по делу. Тогда – и только тогда – они спустятся на нулевую отметку, чтобы выкопать фундамент, залить его бетоном, сделать гидроизоляцию и продлить стены вниз, пока те не встретятся с основанием.

В итоге получится вполне устойчивый дом. Но в процессе строительства бóльшую часть времени он будет выглядеть как нечто неправдоподобное. Но строители, увлеченные возведением стен к небесам и внутренним оформлением комнат, будут слишком заняты, чтобы это заметить, пока инспектора по строительству не ткнут их носом в недостатки конструкции.

Когда вспыхивает новая математическая идея, никто не может ее как следует понять – и это естественно, раз уж она новая. И никто особо не старается разобраться во всех логических тонкостях и понять ее смысл, пока не убедится, что она того стоит. Поэтому основной упор делается на том, что исследователи развивают эти идеи и смотрят, приведут ли они к чему-нибудь интересному. У математиков понятие «интересного», как правило, сопряжено с ответом на вопрос: «Смогу ли я развить ее дальше?» – но решающее значение имеет другой: «Какие проблемы она поможет решить?». Лишь получив на них удовлетворительные ответы, несколько дерзких и придирчивых душ спускаются в подвал и добавляют подобающий фундамент.

Математики применяли бесконечность задолго до того, как поняли, что это такое или как с ней правильно обращаться. В 500 году до н. э. Архимед, величайший греческий математик и серьезный претендент на место в тройке лучших математиков всех времен, вычислил объем сферы путем ее (мысленного) деления на бесконечное множество бесконечно тонких дисков – наподобие тончайше нарезанной буханки хлеба, – и их уравновешивания для сравнения их общего объема с объемом соответствующей фигуры, объем которой был известен ему заранее. Получив ответ благодаря этому поразительному методу, он посчитал по новой и обнаружил, как ему можно должным образом доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью он не знал бы даже, с чего начать, а его логичное доказательство не сдвинулось бы и с места.

Во времена Леонарда Эйлера – столь плодовитого деятеля, что его можно было бы назвать Терри Пратчеттом математики XVIII века, – многие из ведущих ученых увлекались «бесконечными рядами» – ставшими потом кошмарами школьников в виде сумм, не имеющих конца. Вот, например:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

где «…» означает «и так далее». Математики заключили, что если эта бесконечная сумма и складывается во что-нибудь разумное, то это просто число два. Если вы остановитесь в любой определенный момент, то у вас получится чуть-чуть меньше двух. При этом разница между двумя и вашим числом с каждым шагом будет уменьшаться. Сумма как бы подкрадывается к правильному ответу, но не добирает до нее, а вот недостающее число можно уменьшать столько, сколько хотите, добавляя новые слагаемые.

Ничего не напоминает? Это выглядит подозрительно похожим на один из парадоксов Зенона Элейского/Эфебского. Ведь именно таким образом стрела приближается к жертве, а Ахиллес – к черепахе. Именно так можно совершить бесконечно много дел за конечный промежуток времени. Сделайте одно дело, через минуту сделайте второе, третье сделайте через полминуты, четвертое – через четверть минуты… и так далее. Спустя две минуты вы уже переделаете бесконечное множество дел.

Понимание того, что бесконечные суммы могут иметь осмысленное значение, – это только начало. Но оно еще не избавляет нас от всех парадоксов. Более того, в основном это их обостряет. Математики пришли к выводу, что бесконечности могут быть как безвредными, так и наоборот.

После такого блестящего озарения остался лишь один вопрос: как их различить? Ответ таков: если ваше понимание бесконечности не ведет к логическим противоречиям, значит, она безопасна, и если же ведет – то нет. Ваша задача – дать подходящее определение тому, чем вас интересует «бесконечность». Нельзя просто принять, что она имеет смысл по умолчанию.

В течение XVIII и начала XIX столетия математики вывели много понятий «бесконечности» – и все они были потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удаленной точкой» называют ту, что находится на пересечении двух параллельных линий, которые уходят вдаль, как железнодорожные пути, и будто встречаются на горизонте. Но если поезд движется по плоскости, горизонт оказывается бесконечно далеким и вообще не лежит в плоскости – это зрительный обман. То есть бесконечно удаленные точки определяются процессом бесконечного перемещения по железнодорожным путям. Поезд никогда ее не достигает. В алгебраической геометрии окружность определена как «коническое сечение, проходящее через две воображаемые бесконечно удаленные циклические точки» – это можно легко воспроизвести с помощью пары циркулей.

Математики пришли к единому мнению, и вот к чему оно сводилось. Используя термин «бесконечность», вы всегда подразумеваете процесс. Если он приводит к точно определенному результату, как бы запутанно вы бы его ни объяснили, этот результат придает тот смысл, который вы вкладываете в слово «бесконечность» в данном контексте.

Бесконечность – это контекстозависимый процесс. Она потенциальна.

Но дальше так продолжаться не могло.

Давид Гильберт был одним из двух лучших математиков планеты в конце XIX века и одним из великих энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором – в отличие от описанного нами ранее – она рассматривалась не как процесс, а как объект. Этот новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чья работа завела его на территорию, чреватую своими логическими ловушками. Почти целое столетие вся эта область пребывала в полном беспорядке (что, впрочем, отнюдь не являлось редкостью). В конце концов он решил покончить с этим раз и навсегда, вырыв яму для еще не существующего основания, а не начав с возведения стен. Он был не единственным, кто это предпринимал, зато оказался одним из самых радикальных из всех. Ему удалось разобраться в этой области, но только создав при этом новые проблемы в других.

Многие математики ненавидели идеи Кантора, но Гильберту они нравились, и он их рьяно защищал. «Никто, – заявлял он, – не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Хотя, сказать по правде, это был не столько рай, сколько парадокс. Гильберт объяснил некоторые свойства парадокса бесконечности по Кантору с помощью вымышленного отеля, получившего известность как отель Гильберта.

В этом отеле бесконечно много номеров. Они пронумерованы: 1, 2, 3, 4 и далее до бесконечности. Здесь мы видим образец актуальной бесконечности: все его номера существуют уже сейчас, и никто не достраивает nn-сиксиллиарднопервый номер. Но когда вы приезжаете в него воскресным утром, все номера оказываются занятыми.

В отеле с конечным числом номеров – будь там хоть nn-сиксиллиардов один номер – вы бы попали в засаду. Никакие переселения постояльцев не позволят освободить лишнюю комнату. (Для простоты условимся на том, что подселения в занятые номера здесь исключены: в каждом номере живет по одному постояльцу, не больше – иначе нарушаются санитарные правила).

Однако в отеле Гильберта всегда найдется место для неожиданного гостя. Конечно, не в комнате номер бесконечность – ведь такого номера не бывает. В комнате номер один.

Но что делать с беднягой, занимавшим первый номер? Его можно переселить во второй. Того, кто во втором, – в третий. И так далее. Постояльца из nn-сиксиллиардного номера в nn-сиксиллиарднопервый. А из nn-сиксиллиарднопервого – в nn-сиксиллиардновторой.

В каждом из случаев постоялец из номера n переселяется в номер n+1.

В отеле с конечным числом номеров – nn-сиксиллиардами одной комнатой – это мероприятие столкнется с препятствием. В нем нет nn-сиксиллиардновторого номера, чтобы поселить туда постояльца из предыдущей комнаты. А в отеле Гильберта они не заканчиваются, и каждого можно переселить в следующую. Как только все это будет проделано, отель снова будет забит до отказа.

Но это еще не все. В понедельник к заполненному отелю Гильберта подъезжает автобус с 50 людьми. Да пожалуйста. Управляющий переселяет всех на 50 номеров вперед: из 1-го в 51-й, из 2-го в 52-й и так далее. И номера с 1-го по 50-й освобождаются для группы из автобуса.

Во вторник прибывает автобус компании «Бесконечные туры» с бесконечным числом туристов, для упрощения пронумерованных A1, A2, A3… Для них-то наверняка мест не будет? Как бы не так! Прежних постояльцев переселяют в четные номера: из 1-го во 2-й, из 2-го в 4-й, из 3-го в 6-й и так далее. Нечетные номера освобождаются, и турист A1 заселяется в 1-й номер, A2 – в 3-й, A3 – в 5-й… Все просто.

В среду управляющий рвет на себе волосы, когда прибывает бесконечное множество автобусов из «Бесконечных туров». Сами автобусы обозначены буквами бесконечного алфавита: A, B, C… А прибывшие в них туристы – A1, A2, A3…, B1, B2, B3…, C1, C2, C3… и так далее. И тут управляющего посещает гениальная мысль. В бесконечно большом углу бесконечно большой парковки он группирует всех новоприбывших в бесконечно большой квадрат:

A1 A2 A3 A4 A5…

B1 B2 B3 B4 B5…

C1 C2 C3 C4 C5…

D1 D2 D3 D4 D5…

E1 E2 E3 E4 E5…

…

А затем выстраивает в одну бесконечно длинную линию в порядке:

A1 – A2 B1 – A3 B2 C1 – A4 B3 C2 D1 – A5

B4 C3 D2 E1 …

(Чтобы понять закономерность, посмотрите на последовательность диагоналей, тянущихся из верхнего правого угла в нижний левый. Чтобы разделить их, мы вставили дефисы.) Большинство людей сейчас переселило бы прежних постояльцев в четные номера и заполнило бы нечетные новоприбывшими в порядке бесконечно длинной очереди. Это возможно, но есть более красивый способ, и управляющий, будучи математиком, сразу же его находит. Он загружает всех в один автобус, рассаживая туристов в порядке бесконечно длинной очереди. Таким образом он сводит задачу до предыдущей, которую мы уже решили.

Отель Гильберта приучает нас быть осторожными, когда мы делаем предположения о бесконечности. Она может вести себя не так, как обычные конечные числа. Если добавить к ней единицу, она не станет больше. Если умножить бесконечность на бесконечность, она все равно не станет больше. Вот такая она, бесконечность. Можно даже сказать, что любая сумма, включающая бесконечность, становится бесконечной, потому получить что-либо большее, чем бесконечность, нельзя.

Так все и думали – но это справедливо только для потенциальных бесконечностей в виде последовательностей конечного числа шагов, которые теоретически могут продолжаться сколько угодно. Однако в 1880 году Кантор задумался об актуальных бесконечностях и открыл настоящий ящик Пандоры с еще бóльшими бесконечностями. Он назвал их трансфинитными числами, столкнувшись с ними, когда работал в традиционной и даже священной области математического анализа. Это и вправду была трудная техническая задача, и она вывела его на незнакомую дорогу. Глубоко погрузившись в природу этих вещей, Кантор отвлекся от своей работы в столь уважаемой области анализа и начал размышлять о кое-чем более сложном.

О счете.

Мы обычно знакомим детей с числами, когда учим их считать. Они узнают, что числа – это «то, что мы используем для счета». Например, «семь» – это число, на котором мы остановимся в воскресенье, если начнем с «одного» в понедельник. Значит, количество дней в неделе равно семи. Но что это за зверь такой – семь? Слово? Нет, ведь вместо него можно использовать знак «7». Знак? Но ведь есть же слово… К тому же на японском знак «7» выглядит по-другому. Там что значит 7? Легко сказать: семь дней, семь овечек, семь цветов радуги… Но что такое само число? Вам никогда не попадется голая «семерка», она всегда привязана к какой-нибудь совокупности.

Кантор решил сделать из нужды добродетель и объявил, что число – это что-то, связанное с множеством или совокупностью предметов. Множество можно составить из любой совокупности любых предметов. Интуитивно вы понимаете, что число, которое получится у вас при подсчете, показывает, сколько предметов содержится во множестве. Множество дней недели обозначено числом «семь». Удивительное свойство подхода Кантора заключается вот в чем: вы можете, не проводя подсчетов, определить, есть ли другие множества с семью предметами. Для этого достаточно лишь попытаться сопоставить предметы из множества, чтобы каждый предмет в одном множестве в точности соответствовал предмету в другом. Если, к примеру, взять в качестве второго множества цвета радуги, получится что-то вроде следующего:

Понедельник – Красный

Вторник – Оранжевый

Среда – Желтый

Четверг – Зеленый

Пятница – Синий

Суббота – Фиолетовый

Воскресенье – Октариновый

Порядок, в котором они перечислены, не имеет значения. Но нельзя связывать вторник одновременно с фиолетовым и зеленым или зеленый одновременно со вторником и воскресеньем. Как и вычеркивать предметы из множества.

А если вы попытаетесь сопоставить дни недели со слонами, держащими Диск, у вас ничего не выйдет:

Понедельник – Берилия

Вторник – Тубул

Среда – Великий Т'Фон

Четверг – Джеракин

Пятница –?

Точнее, у вас закончатся слоны. Даже легендарный пятый элефант не позволит вам продвинуться дальше пятницы.

Так в чем же разница? Ну, в неделе семь дней, а в радуге семь цветов, поэтому они легко соотносятся друг с другом. Но слонов всего четыре (раньше, возможно, было пять), а четыре или пять нельзя соотнести с семью.

Глубинный философский смысл этой задачи состоит в том, что вам не нужно знать о числах четыре, пять или семь, чтобы понять, что они не соотносятся. Сами числа играют второстепенную роль. Соотнесение по логике первично в сравнении со счетом. А всем множествам, которые соотносятся друг с другом, можно приписать общий символ, или «мощность», которая, по сути, и будет этим числом. Например, мощность множества дней недели равна семи, и она же применима к любому множеству, которое с ним соотносится. Так что мы можем обосновать наше понятие о числах на более простом понятии о соотнесении.

Итак, пока ничего нового. Но «соотнесение» имеет смысл не только для конечных, но и для бесконечных множеств. Можно соотнести четные числа со всеми числами:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5

…

и так далее. Соотнесения таких множеств объясняют случай отеля Гильберта. Именно отсюда Гильберт почерпнул свою идею (сначала крыша, а потом фундамент, помните?).

Какова мощность множества всех чисел (и, соответственно, любого соотносящегося с ним числа)? Традиционно ее называют «бесконечностью». Кантор в 1883 году осмотрительно предпочел название, которое вызывало меньше ассоциаций, – «алеф», первой буквы еврейского алфавита. И добавил нолик – очень скоро вы узнаете, почему, – получив «алеф-нуль».

Он понимал, какую кашу заваривает: «Я прекрасно осознаю, что, принимая такое действие, я противопоставляю себя распространенным в математике взглядам на бесконечность и нынешним мнениям относительно природы чисел». И получил то, чего ожидал – враждебное отношение, особенно со стороны Леопольда Кронекера. «Бог создал целые числа, остальное – творение Человека», заявил последний.

Но в наши дни большинство людей полагает, что целые числа – это тоже творение Человека.

Зачем вводить новый знак (да еще и из еврейского алфавита)? Если бы, по мнению Кантора, существовала лишь одна бесконечность, он мог бы, как все, просто называть ее «бесконечностью» и в качестве ее символа использовать лежащую на боку восьмерку. Но под своим углом зрения он быстро заметил, что могут существовать и другие бесконечности и дал им правильные имена: алеф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как это так – другие бесконечности? Они оказались важным и неожиданным следствием из простой детской идеи сопоставления. Чтобы описать, откуда они взялись, нам нужно немного рассказать о действительно больших числах. И конечных, и бесконечных. Для того чтобы вы убедились, что они не такие уж страшные, мы примем одну условность.

Если n – это любое число любого размера, то n-плекс будет означать 10n, то есть 1 с n нулей. Так, 2-плекс равен 100 (ста), 6-плекс – 1000000 (миллиону), 9-плекс – миллиарду. При n = 100 у нас получится гугл, значит, гугл = 100-плекс. Гуглплекс по аналогии можно назвать 100-плекс-плексом.

Подобно Кантору, мы начинаем праздно размышлять о бесконечно-плексе. Но давайте выразимся точнее: как нам быть алеф-нуль-плексом? Чему равен 10алеф-нуль?

Как ни странно, на этот вопрос существует вполне разумный ответ. Это мощность множества всех действительных чисел – то есть всех чисел, которые можно представить в виде бесконечно длинной десятичной дроби. Вспомните Птагонала, философа из Эфеба, которому, как утверждается, принадлежит высказывание: «…существует отношение длины окружности к диаметру… Оно должно быть равно трем. Но так ли это на самом деле? Нет. Три целых, один, четыре, один и так далее и так далее. И все один и четыре, один и четыре. От такого можно в стельку напиться». Конечно, это намек на известнейшее из действительных чисел, для точной записи которого необходимо указать бесконечное число десятичных знаков, – π («пи»). С точностью до десятой π равно 3,1. До сотой – 3,14. До тысячной – 3,141. И так далее до бесконечности.

Кроме π, есть и огромное количество других действительных чисел. Насколько велико их фазовое пространство?

Рассмотрим десятичные знаки. Если мы ограничимся одной цифрой после запятой, получится 10 возможностей: любая из цифр 0, 1, 2… 9. Ограничимся двумя – 100 возможностей: от 00 до 99. Тремя – 1000 возможностей: от 000 до 999.

Закономерность очевидна. Если мы ограничимся n знаками после запятой, получится 10n возможностей. Иными словами – n-плекс.

Если эти знаки будут продолжаться «вечно», то необходимо уточнить, о какой именно «вечности» идет речь. И ответом будет «алеф-нуль Кантора», потому что в нем есть первая цифра после запятой, вторая, третья… и их можно соотнести с целыми числами. И если мы примем n за алеф-нуль, то мощность множества всех действительных чисел (не считая знаки перед запятой) будет равно алеф-плексу. Если все же учитывать знаки перед запятой, это утверждение тоже будет справедливым, но уже по более сложным причинам.

Это все очень хорошо, но если все бесконечности должны быть равны, то разве алеф-нуль-плекс не будет неразличим? Нет. Они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотнести действительные числа с целыми. Отсюда следует, что алеф-нуль-плекс больше, чем алеф-нуль.

Но он пошел дальше. Гораздо дальше. Он доказал, что если n – это мощность любой бесконечности, то n-плекс будет больше нее. Значит, алеф-нуль-плекс-плекс еще больше, алеф-нуль-плекс-плекс-плекс – еще больше, а…

Перечень бесконечностей Кантора не имеет конца. Такой «гипербесконечности», которая была бы больше остальных, просто нет в природе.

Представление о бесконечности как о «самом большом возможном числе» здесь сталкивается с некоторыми трудностями. А разумный подход к бесконечной арифметике выглядит следующим образом.

Если взять любую бесконечную мощность алеф-n, то алеф-n-плекс будет больше ее. Тогда вполне естественным будет допустить, что она составит алеф-(n+1) – это утверждение называется обобщенной континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий известного отношения к Джеку-варвару) доказал, что… в общем, здесь бывает по-разному. Для одних множеств теория справедлива, для других – нет.

Математика основывается на том, что лучше сначала построить дом, а потом уже фундамент. Тогда этот фундамент можно будет убрать, если он вам не понравится, и заменить другим. И при этом не задеть самого дома.

Это и есть канторовский рай – совершенно новая система чисел-алефов, запредельных бесконечностей, «бесконечных» в полном смысле этого слова. Она естественным образом возникает из принципа, что одного метода «соотнесения» вполне достаточно для устройства логического основания арифметики. Большинство современных математиков солидарно с Гильбертом, а некогда поразительные идеи Кантора теперь сплелись с математикой в единое целое.

Волшебники пытаются разобраться не только с математикой бесконечности. Помимо этого они связались и с физикой. И подняли совершенно новые вопросы. Конечна ли или бесконечна вселенная? Какого типа конечностью или бесконечностью она обладает? А все эти параллельные вселенные, о которых то и дело твердят космологи и квантовые физики? Даже если вселенная конечна, может ли в ней содержаться бесконечное множество параллельных миров?

С точки зрения современной космологии то, что мы обычно принимаем за вселенную, является конечным. Сначала, когда произошел Большой взрыв, она была точкой, а затем стала расширяться с конечной скоростью на протяжении 13 миллиардов – значит, она конечна. Существует вероятность, что она может быть бесконечно делимой на частицы, не имеющие нижнего ограничения по размеру – как математическая линия или плоскость, – но, выражаясь языком квантовой механики, нижний порог зернистости определен планковской длиной, а значит, вселенная имеет очень большое, но конечное количество возможных квантовых состояний.

Многомировая интерпретация квантовой теории была придумана Хью Эвереттом в качестве способа объединения квантовых взглядов на мир с нашим повседневным его «восприятием». Она утверждает, что если где-то совершен выбор – например, спин электрона направлен вверх или вниз, кот жив или мертв, – вселенная не просто принимает его и отвергает все остальные варианты. Нам кажется, что это происходит именно так, но на самом деле вселенная принимает все возможные выборы. От вселенной, которую воспринимаем мы, ответвляется несчетное количество «альтернативных», или «параллельных», миров. Иными словами, там происходит то, чего не произошло здесь. В одном из них Гитлер победил во Второй мировой. В другом – вы съели на одну оливку больше вчера за ужином.

С художественной точки зрения многомировое описание квантовой теории приводит в восторг. Перед ней не устоит ни один писатель в поиске впечатляющей научной лабуды, с помощью которой можно объяснить перемещения персонажей в альтернативные истории – в этом мы и сами не безгрешны.

Проблема тут кроется в том, что многомировая интерпретация несколько переоценена. Ее привычное описание, конечно, вводит в заблуждение. Вообще это можно сказать о многих положениях физики множественных вселенных. Данный факт вызывает сожаление – ведь глубокие и красивые идеи таким образом превращаются в банальности. Предположение о существовании смежной альтернативной вселенной, в которой Гитлер побеждает союзников, на многих действует отталкивающе. Это звучит слишком нелепо, чтобы даже задумываться о такой возможности. «Если таким занимается современная физика, то я бы предпочел, чтобы мои налоги пошли на что-нибудь более полезное – рефлексологию например».

Наука о множественной вселенной – о том, что она вполне закономерно имеет несчетные альтернативы, – в самом деле восхитительна. А местами даже полезна. А еще (необязательно теми же местами, где полезна) может оказаться правдивой. Впрочем, мы попытаемся вас в этом убедить – местами с Гитлером.

Все началось, когда было открыто, что квантовое поведение можно представить математически в виде Большой Суммы. Все, что случается на самом деле, представляет собой сумму всех событий, которые могли произойти. Ричард Фейнман предельно доходчиво объяснил это в своей книге «КЭД» (Квантовая электродинамика). Представьте фотон, частицу света, отражающуюся в зеркале. Вы можете рассчитать его траекторию – для этого нужно «сложить» все его возможные траектории. Но на самом деле вы складываете не траектории, а уровни яркости, интенсивности света. Траектория представляет собой концентрированную яркую полосу, и сейчас она попадает в зеркало, отражаясь под тем же углом.

Метод «суммирования по историям» – это прямое математическое следствие из правил квантовой механики. В нем нет ничего предосудительного или даже особенно удивительного. Он работает благодаря тому, что все «неправильные» траектории мешают друг другу и, по сути, ничего не вносят в общую сумму. В ней остается только «правильная» траектория. Можно взять этот бесспорный математический факт и истолковать с точки зрения физики. А именно: свет действительно движется по всем возможным траекториям, но мы видим только их сумму, то есть одну траекторию, по которой световой «луч» попадает в зеркало и отражается под тем же углом.

С философской же точки зрения подобная интерпретация не вызывает много вопросов, но находится на грани весьма сомнительной области. Физики имеют привычку принимать математические описания буквально – не только вводы, но и шаги, которые к ним привели. Они называют это «физическим мышлением», но на самом деле все наоборот: оно проецирует математические свойства на действительный мир – «материализуя» абстракции и воплощая их в реальность.

Мы не говорим, что это не работает – чаще всего такое мышление оправданно. Но материализация приводит к тому, что сами физики забываются и становятся плохими философами.

Одна из проблем «физического мышления» состоит в том, что иногда существует сразу несколько равносильных вариантов математических описаний – разных способов сказать одно и то же математическим языком. Если один из них справедлив, значит, справедливы и остальные. Однако их естественные толкования с точки зрения физики могут быть противоречивыми.

Хороший пример предлагает классическая (не квантовая) механика. Движущуюся частицу можно описать с помощью законов (или закона) движения Ньютона: ускорение частиц прямо пропорционально силам, которые на них воздействуют. С другой стороны, движение можно описать в соответствии с «вариационным принципом»: каждая из возможных траекторий частицы является величиной, называемой «действием». И именно фактическая траектория, по которой движется частица, уменьшает величину действия, насколько это возможно.

Логическое доказательство законов Ньютона и принципа наименьшего действия складывается в математическую теорему. В математике нельзя принять одно, отвергнув другое. Не задумывайтесь о значении «действия». В данном случае это не важно. Здесь важно различие между естественными толкованиями этих двух логически идентичных описаний.

Законы движения Ньютона – это местные правила. Здесь и сейчас дальнейшее поведение частицы всецело определено силами, здесь и сейчас воздействующими на нее. Тут не нужны ни дар предвидения, ни интеллект – лишь подчинение местным правилам.

Принцип наименьшего действия работает по-другому – он имеет всеобщее значение. Этот принцип говорит нам, что для того чтобы переместиться из точки A в точку B, частица должна каким-то образом наметить все возможные траектории между ними, рассчитать действие, связанное с каждой из них, и определить ту, при которой оно будет минимальным. Это «вычисление» не является местным, поскольку включает все траектории и в некотором смысле должно осуществляться до того, как частица поймет, куда ей двигаться. Таким образом, в этом естественном толковании математики частица наделяется чудесным даром предвидения и способностью совершать выбор – то есть зачатком разума.

Так что же такое частица? Безмозглый кусок материи, подчиняющийся местным правилам, или квазиразумная сущность с огромной вычислительной мощью, предвидящая и выбирающая траекторию среди возможных, чтобы минимизировать свое действие?

Мы знаем, что хотим выбрать.

Интересно, что принцип наименьшего действия – это механический аналог метода оптического «суммирования по историям» Фейнмана. Они в самом деле чрезвычайно похожи. Да, вы можете выразить математику квантовой механики так, чтобы она соответствовала утверждению, что свет движется по всем возможным траекториям и суммирует их. Но вы не обязаны применять это описание к действительной физике действительного мира, даже если математика для него справедлива.

Сторонники многомировой интерпретации верят в такое описание и даже идут еще дальше. Они считают, что в зеркале отражается история не только самого фотона, но и целой вселенной. Она также равна сумме всех возможностей – если вместо интенсивности света, обусловленного фотоном, взять квантовую волновую функцию вселенной, – и по аналогии мы можем схожим и эффектным образом объяснить это с позиции математики. А именно: вселенная действительно совершает все возможные действия, а наблюдаемое нами – это то, что происходит при их суммировании.

Существует, конечно, и менее эффектное толкование: вселенная подчиняется местным правилам квантовой механики и совершает ровно одно действие – то самое, которое происходит и чисто по математическим причинам равняется сумме всех возможностей.

В какое из толкований верите вы?

С точки зрения математики, если одно из них «верно», значит, и о втором можно сказать то же самое. А с позиции физики они содержат очень разные представления об устройстве мира. Мы же считаем, что, как и в случае с классической частицей, их математическое равенство не требует от вас обязательно принимать их физическую истинность за описание действительности. Лишь равенство законов Ньютона и принципа наименьшего действия требует верить в разумные частицы, способные предвидеть будущее.

Таким образом, многомировая интерпретация квантовой механики стоит на непрочном основаниии – пусть с математической точки зрения оно и безупречно. Однако обычные представления данной интерпретации этим не ограничиваются, и к ним добавляется увесистая порция рассказия. Вот почему она привлекает писателей-фантастов – но те, к сожалению, растягивают ее, нарушая все мыслимые пределы.

Обычно нам говорят следующее. В любой момент времени, когда бы ни был принят выбор, вселенная делится на множество «параллельных миров», в каждом из которых совершается каждый из выборов. Да, в этом мире вы проснулись, позавтракали кукурузными хлопьями и отправились на работу. Но где-то «там», в безмерной мультивселенной, существует мир, в котором вы позавтракали копченой селедкой, из-за чего вышли из дома на минуту позже и, переходя дорогу, вступили в конфликт с автобусом и проиграли – с фатальным для себя исходом.

Что удивительно, ошибка здесь кроется не в утверждении, будто наш мир в «действительности» является суммой множества других. Может, это в самом деле так – на квантовом уровне. Почему бы и нет? Но неправильно будет описывать эти альтернативные миры людскими понятиями как сценарии, где все следует повествованию, которое кажется осмысленным для человеческого разума. Как миры, в которых слова «автобус» или «копченая селедка» вообще не имеют никакого значения. Еще более недопустимо делать вид, будто каждый из этих параллельных миров приходится слегка измененной вариацией нашего, в котором на человеческом уровне принимается другой выбор.

Если эти параллельные миры вообще существуют, то они описаны различными изменяющимися компонентами квантовой волновой функции, сложность которой лежит за пределами человеческого понимания. Результат не обязательно должен походить на понятные человеку сценарии. Так же, как звук кларнета раскладывается на чистые тона, но большинство их комбинаций при этом не соответствуют его звуку.

Автобусы и копченая селедка – это естественные компоненты мира людей. Но квантовых волновых функций автобусов и копченых селедок нет среди естественных компонентов квантовой волновой функции мира. Они совершенно иные и по-другому делят действительность. Они меняют направление спинов электронов, обращают полюса, сдвигают квантовые фазы.

Но не превращают кукурузные хлопья в копченую селедку.

Это как взять историю, случайным образом поменять буквы, переставить местами слова и даже, быть может, заменить инструкции, которые принтер использует для печати символов, – чтобы они не соответствовали ни одному из известных человечеству алфавитов. И вместо того чтобы превратить национальный гимн Анк-Морпорка в «Ежика», вы получите лишь бессмысленный набор звуков. Что, впрочем, одно и то же.

Макс Тегмарк писал в выпуске «В мире науки» за май 2003 года, что современные физики различают четыре уровня параллельных вселенных. На первом некий отдаленный участок вселенной копирует то, что происходит в нашем ее участке, почти без изменений. Второй уровень включает более-менее изолированные «пузыри», маленькие вселенные, в которых характеристики физических законов, такие, как скорость света, различаются, но основные законы остаются прежними. Третий уровень – квантовый параллелизм многомировой интерпретации Эверетта. Четвертый включает вселенные с принципиально разными физическими законами – не просто вариациями на тему нашей вселенной, а совершенно отличные от нее системы, которые описываются всеми возможными математическими структурами.

Тегмарк героически пытается убедить нас в существовании всех этих уровней – будто они дают возможность делать предсказания, которые поддаются проверке, могут быть опровергнуты научным способом и так далее. Для поддержки своих взглядов ему даже удается заново истолковать бритву Оккама, философский принцип, из которого следует, что объяснения должны быть простыми, насколько это возможно.

Все это, каким бы умозрительным ни казалось, относится к передовым областям космологии и физики. Именно такой подход к построению теорий нужно рассматривать в рамках «Науки Плоского мира» – творческий, умопомрачительный, новейший. Мы были вынуждены заключить, что эти аргументы имеют существенные недостатки. А жаль – ведь концепция параллельных миров настолько насыщена рассказием, что заставляет любого автора-фантаста пускать слюнки не менее обильно, чем собака Павлова.

Мы же обобщим основные идеи Тегмарка, опишем некоторые доказательства, которые он приводит в их пользу, предложим кое-какие критические точки зрения и предоставим вам возможность определяться со своим мнением самостоятельно.

Параллельные миры 1-го уровня возникают, когда (потому что) пространство бесконечно. Мы не так давно говорили вам, что оно конечно – так как с Большого взрыва прошел конечный промежуток времени, и пространство не успело распространиться до бесконечности. Однако данные космического микроволнового фона свидетельствуют против конечности вселенной. Даже если учесть, что в очень большой конечной вселенной можно было получить такие же данные.

«Существует ли ваша копия, которая читает эту статью?» – спрашивает Тегмарк. Предположив, что вселенная бесконечна, он говорит нам: «Даже самые маловероятные события должны где-нибудь происходить». Существование вашей копии более вероятно, чем многие другие события, поэтому оно должно произойти. Но где? Простой расчет показывает, что «ваш близнец живет в галактике, расположенной примерно в 10 в 1028-й степени метрах отсюда». Не в 1028 метрах (что уже в 25 раз больше размера наблюдаемой сегодня вселенной), а в 1 с 1028 нулями. Но и это еще не все: точная копия (наблюдаемой части) нашей вселенной должна существовать на расстоянии примерно в 10 в степени 10 118 метров. А еще дальше…

Нам необходимо найти лучший способ управляться с большими числами. Обозначения типа 10 118 представляются слишком формальными. А расписывать все нули не только бессмысленно, но зачастую и невозможно. Вселенная велика, а мультивселенная много больше. То, насколько эти числа велики, выразить не так-то просто, а еще сложнее – придумать, как сделать их удобными для печати.

К счастью, мы уже решили эту задачу благодаря нашему предыдущему обозначению: если n – любое число, то n-плекс – это 10n, то есть 1 с n нулями.

При n = 118 у нас получается 118-плекс, приблизительно равный количеству протонов во вселенной. При n = 118-плекс имеем 118-плекс-плекс – число, о котором нас просит задуматься Тегмарк, 10 в степени 10 в степени 118. Эти числа являются следствием того, что «объем Хаббла» нашего пространства – то есть наблюдаемой вселенной, – имеет огромное, но конечное число возможных квантовых состояний.

Зернистость квантового мира ограничена пределом, соответствующим минимальному делению пространства и времени. Так, достаточно большая область пространства содержит такое большое количество объемов Хаббла, что в ней помещается каждое из этих квантовых состояний. А именно, в объеме Хаббла содержится 118-плекс протонов, каждый из которых имеет два возможных квантовых состояния. Значит, возможно 2 в степени 118-плекс конфигураций квантовых состояний протонов. Одно из полезных правил в этой мегаарифметике состоит в том, что «наименьшее» число в этой куче плексов – в данном случае это 2 – может измениться на что-нибудь более подходящее, например, 10, без существенного влияния на верхний предел. Значит, участок длиной в 118-плекс-плекс метров может содержать приблизительно по одной копии каждого из объемов Хаббла.

2-й уровень основан на предположении, что пространство-время – это нечто вроде пены, в которой каждый пузырь составляет отдельную вселенную. Вера в это главным образом основана на инфляционной модели Вселенной, теории, объясняющей, почему наша вселенная с точки зрения теории относительности является плоской. В период инфляции пространство стремительно растягивается, и может дойти до того, что два края растянутой области станут независимы друг от друга из-за того, что свет не успеет перейти между ними достаточно быстро, при этом их соединив. Итак, пространство-время – это пена, и в каждом ее пузыре, похоже, действуют свои законы физики – с теми же математическими формулами, но с другими постоянными.

Параллельные миры 3-го уровня возникают в многомировой интерпретации квантовой механики, которую мы оспаривали ранее.

Но все, что описано выше, отходит на второй план перед 4-м уровнем. В его параллельных вселенных могут действовать совершенно иные законы физики. Также, по Тегмарку, в них существуют все мыслимые математические структуры:

Как насчет вселенной, которая подчиняется законам классической физики, но не имеющим квантовых эффектов? Как насчет времени, которое не течет непрерывно, а движется дискретными шагами? Как насчет вселенной, представляющей собой пустой додекаэдр? В IV уровне мультивселенной все эти альтернативные действительности существуют на самом деле.

Но так ли это?

Для того чтобы получить научное доказательство, обычно требуется провести наблюдение или эксперимент.

О прямых проверках гипотезы Тегмарка с помощью наблюдения не может быть и речи – по крайней мере, до тех пор, пока не появится какая-нибудь необыкновенная технология космических полетов. Наблюдаемая часть вселенной простирается не далее чем на 27-плекс метров от Земли. Объект (даже размером с видимую часть нашей вселенной), находящийся на расстоянии в 118-плекс-плекс метров наблюдать нельзя, и ни одно мыслимое улучшение технологии не сможет этого изменить. Скорее бактерия научится наблюдать известную нам часть вселенной, чем мы сумеем увидеть объект в 118-плекс-плекс метрах от нас.

Нам приятна мысль, что если напрямую проверить теорию невозможно, это еще не значит, что она ненаучна. Не существует прямого способа проверить, жили ли на Земле динозавры или сколько времени прошло после Большого взрыва (и имел ли он место вообще). Мы делаем выводы об этом, полагаясь на непрямые доказательства. Так какое непрямое доказательство подтверждает бесконечность пространства и существование далеких копий нашего мира?

Тегмарк утверждает, что пространство бесконечно, потому что об этом нам сообщает космический микроволновой фон. Если бы было наоборот, следы ее ограниченности проявились бы в статистических свойствах космического фона и на разных частотах создаваемого им излучения.

Вот вам любопытный аргумент. Примерно год назад некоторые математики, основываясь на определенных статистических свойствах космического микроволнового фона, заключили, что вселенная не только конечна, но и имеет форму, напоминающую футбольный мяч. Длинноволнового излучения в ней очень мало, а размер вселенной не позволяет ей приспособиться к такой длине волн – и это, похоже, лучшее объяснение того, почему мы их не видим. Как и гитарная струна длиной в метр не может поддерживать вибрацию стометровой волны – в пространстве вселенной недостаточно места для столь длинной волны.

Другой важный пункт доказательства имеет совершенно иную природу – это не наблюдение как таковое, но наблюдение за тем, как мы воспринимаем наблюдения. Космологи, анализирующие микроволновой фон, чтобы определить форму и размер вселенной, по привычке сообщают о своих находках как-нибудь вроде: «существует вероятность того, что такие-то форма и размер могут содержать данные, составляет одну тысячную». Это значит, что эти форму и размер можно исключить с вероятностью 99,9 %. Тегмарк говорит, это объясняется тем, что среди тысячи объемов Хаббла такой формы и размеров может находиться не более одного, который соответствовал бы наблюдаемым данным. «Суть в том, что теория мультивселенной проверяется и опровергается даже при невозможности видеть другие вселенные. Главное – предсказать характер множества параллельных вселенных и определить вероятностное распределение в этом множестве».

А следующий поразительный аргумент роковым образом путает актуальные и потенциальные сферы Хаббла. Например, если рассмотреть размер и форму «футбольного мяча диаметром 27-плекс метров» – справедливое предположение для нашего собственного объема Хаббла, – тогда вероятность, составляющая «одну тысячную», вычисляется с помощью потенциального ряда тысячи мячей такого же размера. Это не часть единой бесконечной вселенной, а отдельные мысленные «точки» в фазовом пространстве больших мячей. Если бы вы жили внутри такого мяча и провели такое наблюдение, то, скорее всего, заметили бы наблюдаемые данные в одном случае из тысячи.

Ничто в этом утверждении не принуждает нас делать вывод о действительном существовании такой тысячи мячей – не говоря уже о том, чтобы вставить их в единое, большее пространство, как нужно было сделать в примере выше. По сути, Тегмарк просит нас принять общий принцип – о том, что где бы ни находилось ваше фазовое пространство (статистики назвали бы его выборочным пространством) с четко очерченным вероятностным распределением, все, что в нем содержится, действительно существует.

Но это явно неправда.

И простой пример объясняет почему. Допустим, вы подбросили монету сто раз. И получили последовательность вроде ООРРРОО … РРО. Фазовое пространство всех возможных вариантов содержит ровно 2100 таких последовательностей. Если монета имеет правильную форму, то разумный способ определить вероятность выпадения каждой из них составит один случай из 2100. «Распространение» этих вероятностей можно проверить несколькими непрямыми способами. К примеру, провести миллион экспериментов, каждый из которых будет включать серию из 100 бросков, и вычислить соотношение 50 орлов и 50 решек, 49 орлов и 51 решка и так далее. Такой эксперимент вполне осуществим на практике.

Если принцип Тегмарка верен, значит, все фазовое пространство последовательностей выпадения монет существует на самом деле. Не как математическое понятие, но как физическая действительность.

Однако монеты сами себя не подбрасывают. Должен быть кто-то, кто это делает.

Если бы можно было подбрасывать по 100 монет в секунду, для проведения 2100 экспериментов понадобилось бы около 24-плекс лет. Это примерно в 100 триллионов раз больше возраста вселенной. Монеты же просуществовали лишь несколько тысяч лет. Фазового пространства всех последовательностей ста выпадений монет не существует в действительности – оно только потенциально.

Поскольку принцип Тегмарка не работает в случае с монетами, нечего и полагать, что он подойдет в случае с вселенными.

Доказательство существования параллельных миров 4-го уровня еще менее убедительно. Оно сводится к мистическому ответу на известное замечание Юджина Вигнера о «необычной эффективности математики» как описания физической реальности. По сути, Тегмарк говорит нам, что если мы можем вообразить какой-нибудь объект, значит, он должен существовать.

Мы можем вообразить фиолетового гиппопотама, который катается на велосипеде вдоль края Млечного пути, напевая мелодию Монтеверди. Было бы мило, если бы это означало, что он существует, но рано или поздно придется проверить этот факт на соответствие действительности. Нам не хотелось оставить вас под впечатлением, будто нам нравится окатывать холодной водой всякую творческую попытку передать чувства, вызываемые некоторыми удивительными понятиями современной космологии и физики. Поэтому мы закончим свежим дополнением к числу параллельных миров, подтверждаемым лишь немногими фактами. Пожалуй, не стоит удивляться тому, что утвердиться ей не позволяет прежде всего недостаток экспериментальных подтверждений.

Новой теорией, которой удалось привлечь большое внимание, стала теория струн. В ней дается ответ на старый как мир вопрос: зачем мы здесь? Этот ответ приемлем с точки зрения философии и связан с множеством параллельных вселенных.

Только эта теория осторожнее с ними обращается.

Мы обратились к статье Рафаэля Буссо и Джозефа Полчински «Ландшафт теории струн», опубликованной журналом «В мире науки» в спецвыпуске об Альберте Эйнштейне в сентябре 2004 года.

Если в основе современной физики и имеется хоть одна проблема, то она касается объединения квантовой механики с теорией относительности. Поиск «теории всего» необходим по той причине, что обе они хоть и превосходно помогают нам понимать и предсказывать различные аспекты естественного мира, но совершенно не согласуются между собой. Найти совместимую с ними, объединяющую теорию очень непросто, и пока нам это не удалось. Зато была одна математически любопытная попытка – теория струн, которая выглядит весьма заманчиво, но не подкреплена никакими данными наблюдений.

Теория струн опирается на то, что мы обычно считаем отдельными точками пространства-времени, не имеющими ни размерности, ни интересной структуры. На самом деле они представляют собой крошечные многомерные поверхности со сложными формами. В качестве простого примера приведем садовый шланг. Если смотреть на него издали, он кажется линией – одномерным пространством, где измерением является расстояние вдоль шланга. Взгляните поближе – и увидите, что у него есть еще два измерения, под прямыми углами к той, первой линии, а его форма в этих измерениях представляет собой круглую ленту.

Возможно, наша вселенная тоже напоминает какой-нибудь шланг. Пока мы видим ее с очень близкого расстояния и замечаем лишь три измерения пространства плюс одно измерение времени – это теория относительности. Физическая картина наблюдается лишь в этих измерениях, и ее явления изящно описываются четырьмя измерениями – снова теория относительности. Но иные явления могут происходить в дополнительных, «скрытых» измерениях – как, например, толщина шланга. Допустим, каждая точка видимого четырехмерного пространства-времени, которая кажется нам точкой, на самом деле является крошечным кругом, расположенным к самому пространству-времени под прямым углом. Этот круг мог бы совершать колебания. Тогда он походил бы на частицу согласно ее квантовому описанию. Частицы обладают различными «квантовыми числами», такими как спины. Это целые числа, представляющие собой множители некоторых основных величин. Так же и с колебаниями круга: он вмещает одну волну или две, или три… но никак не две с четвертью.

Вот почему это называют «теорией струн». Каждая точка пространства-времени заменяется крошечной струнной петлей.

Но для того чтобы поменять что-либо согласующееся с квантовой теорией, нельзя использовать просто округлую петлю. Квантовых чисел слишком много, и это далеко не единственная трудность, которую необходимо преодолеть. Предполагается, что вместо окружности нужно использовать более сложную форму с бóльшим числом измерений – «брану». Представьте ее в виде поверхности, но не совсем простой. Существует множество различных топологических типов поверхности: сфера, пончик, два слипшихся пончика, три пончика… Если измерений больше двух, это открывает много необычных возможностей.

Частицы соответствуют мелким замкнутым струнам, окольцовывающим брану. Есть куча разных способов обмотать пончик струной – можно продеть ее в дырку один, два, три раза… Законы физики зависят от формы бран и траекторий, по которым следуют эти петли.

Самая распространенная на сегодняшний день брана имеет шесть измерений – то есть в сумме их получается десять. Считается, что дополнительные измерения свернуты очень плотно и что они меньше планковской длины – размера, при котором вселенная приобретает зернистость. Из-за этой зернистости наблюдать столь малые объекты, по сути, невозможно, поскольку она смазывает изображение и не позволяет увидеть мелкие детали. Поэтому нечего и надеяться наблюдать дополнительные измерения напрямую. Тем не менее существует несколько способов сделать вывод об их существовании по косвенным признакам. Недавно открытое ускорение расширения вселенной на самом деле объясняется именно таким образом. Конечно, это объяснение может оказаться ошибочным: нужно больше доказательств.

Идеи на этот счет меняются чуть ли не каждый день, поэтому мы не должны привязываться к распространенной сегодня шестимерной системе. Мы можем рассматривать любое количество разных бран и вариантов их обмотки. Каждый вариант – назовем его петлевой браной – обладает определенной энергией, которая зависит от формы браны, от того, как она свернута и насколько плотно обмотана. Это «вакуумная энергия» из соответствующей физической теории. В квантовой механике вакуумом называют бурлящую массу частиц и античастиц, которые возникают и через мгновение сталкиваются, взаимно уничтожаясь. Вакуумная энергия показывает, насколько сильно они сталкиваются. С ее помощью мы сумеем определить, какая петлевая брана соответствует нашей вселенной, имеющей чрезвычайно низкую вакуумную энергию. До недавних пор она считалась нулевой, но сейчас оценивается в 1/120-плекс единиц, где единица равна отношению планковской массы к планковской длине – это примерно гугл граммов на кубический метр.

Теперь мы расскажем космическую сказку о трех медведях. Сильный папа-медведь предпочитает вакуумную энергию свыше +1/118-плекс единиц, но в таком случае пространство-время было бы подвержено местным расширениям, энергия которых была бы гораздо выше, чем при вспышке сверхновой звезды. Мягкой маме-медведице нравится вакуумная энергия, не превышающая −1/120-плекс единиц (обратите внимание на знак «−»), при которой пространство-время сожмется с космическим хрустом и исчезнет. Малыш-медвежонок и Маша любят такую вакуумную энергию, чтобы им было «как раз» – где-то в невероятно узком диапазоне между +1/118-плекс и −1/120-плекс единиц. Это зона Маши, и именно в ней жизнь может существовать в том виде, в котором мы ее знаем.

Мы не случайно живем во вселенной, вакуумная энергия которой лежит в пределах Машиной зоны – ведь мы и есть форма жизни, которую мы знаем. Если бы мы обитали в любой другой вселенной, то были бы неизвестной нам формой жизни. Такое могло бы случиться, но тогда мы не были бы собой.

Здесь наш старый друг, антропный принцип, применяется как совершенно приемлемый способ связать то, как мы устроены, с типом вселенной, которая нам для этого подходит. Спрашивать здесь на самом деле надо не «почему мы живем в такой вселенной?», а «почему такая вселенная, в которой мы живем, существует?». Это предмет спора о точной космологической подгонке. А невероятность того, что случайная вселенная окажется подходящей, часто вменяется в качестве доказательства. Так, люди говорят: «Мы не знаем, может быть, это создали инопланетяне», но сами думают: «Это Бог – он создал вселенную такой, чтобы она была нам как раз».

Сторонники теории струн оказались еще непреклоннее и придумали более вразумительный ответ.

В 2000 году Буссо и Полчински объединили теорию струн с более ранней идеей Стивена Вайнберга, чтобы объяснить, почему нам не стоит удивляться существованию вселенной с подходящим уровнем вакуумной энергии. Суть их рассуждений заключалась в том, что фазовое пространство возможных вселенных невероятно огромно. Даже больше, чем, скажем, 500-плекс. Эти 500-плекс вселенных распределяют свою вакуумную энергию в диапазоне от −1 до +1 единицы. Числа, получаемые в итоге, расположены гораздо плотнее, чем 1/118-плекс единиц, определяющих шкалу «приемлемого» диапазона вакуумной энергии, необходимой для известных нам форм жизни. Несмотря на то, что в диапазон попадает лишь крошечная часть этих 500-плекс вселенных, их все равно невероятно много – в данном случае около 382-плекс. Выходит, из фазового пространства в 500-плекс петлевых бран аж 382-плекс вселенных способны поддерживать наш тип жизни.

Однако эта доля весьма невелика. Если выбрать петлевую брану наугад, она, вероятнее всего, не будет входить в зону Машеньки.

Но ничего страшного. Сторонники теории струн и здесь находят ответ. Если подождать достаточно долго, такая вселенная обязательно возникнет. На самом деле все вселенные в фазовом пространстве петлевых бран рано или поздно становятся «реальными». А когда петлевая брана реальной вселенной попадает в Машину зону, ее обитатели ничего не будут знать о предыдущем ожидании. Они начнут ощущать время с момента появления соответствующей петлевой браны.

Теория струн говорит не только о том, что мы живем здесь, потому что мы живем здесь, – она объясняет, почему это подходящее нам «здесь» должно существовать.

Причина, по которой все эти 500-плекс вселенных можно обоснованно считать «реальными», вытекает из двух свойств этой теории. Первая – это систематический способ описать все возможные петлевые браны, которые бывают в действительности. Вторая с помощью квантов объясняет, почему все-таки они бывают. Если вкратце, то фазовое пространство петлевых бран можно представить в виде «энергетического ландшафта» – назовем его браншафтом. Каждая точка ландшафта соответствует одному варианту петлевой браны, а высота в этой точке – ее вакуумной энергии.

Возвышенности браншафта соответствуют петлевым бранам с высокой вакуумной энергией, а низменности – с низкой. Устойчивые браны расположены в низменностях. Вселенные, чьи скрытые измерения похожи на такие петлевые браны, тоже устойчивы… так что они могут существовать физически – и подольше, чем доли секунды.

На холмистых участках браншафта рельеф неровный, то есть с буграми и впадинами. Там они расположены плотнее, чем где-либо еще, но все равно обособлены друг от друга. Браншафт и вправду очень неровен и испещрен множеством впадин. Но каждая из них имеет вакуумную энергию в диапазоне от −1 до +1 единицы. С таким количеством чисел они очень тесно прижимаются друг к другу.

Для того чтобы жизнь во вселенной поддерживалась такой, какой мы ее знаем, вакуумная энергия должна находиться в Машиной зоне, где все «как раз». А поскольку петлевых бран неимоверно много, то и количество бран с подходящей энергией тоже огромно.

Гораздо большее их число находится за пределами диапазона, но это не важно.

Теория имеет важное преимущество: она объясняет, почему у нашей вселенной такая низкая вакуумная энергия, что от нее не требуется равняться нулю (теперь-то мы знаем, что она ему не равна).

Из данных исчислений следует, что все устойчивые вселенные заключаются во впадинах браншафта, и многие из них (хоть и очень малая часть от общего числа вселенных) находится в зоне Машеньки. Но все это потенциальные, а не актуальные вселенные. Есть лишь одна реальная вселенная. Поэтому, если вы просто выберете случайную петлевую брану, вероятность того, что это будет брана из Машиной зоны, близка к нулю. При таких шансах вы не решились бы поставить даже на лошадь, не говоря уже о вселенной.

К счастью, к нам на помощь скачут старые добрые кванты. Квантовые системы прокладывают «туннели» от одной энергетической впадины к другой. Соотношение неопределенности позволяет им занимать для этого энергию, а затем возвращать с такой быстротой, что благодаря неопределенности расчета времени никто этого замечает. Поэтому если подождать достаточно долго – n-плекс-плекс-плекс лет или, если не хватит, n-плекс-плекс-плекс-плекс, – одна квантовая вселенная исследует каждую впадину во всем браншафте. Так на определенном этапе она окажется в зоне Машеньки. И там возникнет жизнь, похожая на нашу, которая задастся вопросом, почему она там возникла.

Пока она не знает о тех n-плекс-плекс-плекс-плекс лет, которые уже прошли в мультивселенной: со времени, когда странствующая вселенная проложила себе туннель ко впадине в Машиной зоне, минуло лишь несколько миллиардов лет. Сейчас – только сейчас – ее человекоподобные обитатели начали интересоваться, почему их существование стало возможным, несмотря на то, что это было так маловероятно. Если они достаточно разумны, то в конце концов поймут, что благодаря браншафту и квантам вероятность этого становится совершенной.

Это красивая история, даже если она окажется неправдой.