У вас есть шахматная доска и 32 костяшки домино, причем размер костяшки – аккурат две клетки доски. Таким образом, вы без труда и большим числом способов сможете закрыть шахматную доску фишками домино. Срезаем по одной клетке в углах доски на концах одной из диагоналей – удастся ли 31 костяшкой закрыть все клетки такой доски?

1. Нет, это невозможно.

2. Да, одним-единственным способом.

3. Да, и способов сделать это – множество.

Ответ поражает – интуитивно-то нам кажется, что можно закрыть обрезанную доску 31 костяшкой, – но еще больше поражает красота и простота доказательства, почему этого сделать нельзя. Обратим внимание, что когда мы закрываем целую, неиспорченную доску, то каждая костяшка покрывает две клетки разного цвета – и черную, и белую, сделать так, чтобы клетки были одноцветные (две белые или две черные), не получится никоим образом. Теперь отметим тот факт, что клетки на концах любой диагонали доски 8 × 8 – одного цвета (для определенности будем считать, что белые), таким образом, после срезания двух клеток у нас на доске будут 62 белые и 64 черные клетки, или, иначе, у двух черных клеток не будет пары – отсюда с необходимостью следует, что покрыть такую доску 31 костяшкой не представляется возможным. Разве что одну из костяшек мы тоже решим порезать.