Восемь одинаковых кубов, плотно составленных гранями, образуют куб вдвое большего размера. Восемь кубов можно составить и так, чтобы они образовали «кольцо» – объемную фигуру с отверстием, топологически – тор.

Приложив некоторые усилия, можно проделать то же самое с тремя другими правильными многогранниками: октаэдром, додекаэдром и икосаэдром. Во всех четырех случаях многогранники совершенно правильные и стыкуются друг с другом в точности: это очевидно для кубов и прямо следует из симметрии для трех остальных многогранников.

Однако всего существует пять правильных многогранников, и для одного из них – тетраэдра – этот метод не работает. Поэтому в 1957 г. Гуго Штейнгауз задал вопрос о том, можно ли склеить некоторое количество одинаковых правильных тетраэдров гранью к грани так, чтобы они образовали замкнутое кольцо. Ответ на его вопрос был дан годом позже, когда С. Сверчковский доказал, что подобная комбинация невозможна. Тетраэдр – особый многогранник.

Однако в 2013 г. Майкл Элгерсма и Стэн Вэгон открыли красивое восьмисторонне-симметричное кольцо из 48 тетраэдров. Неужели Сверчковский ошибся?

Вовсе нет, как объяснили Элгерсма и Вэгон в своей статье, посвященной этому открытию. Если изготовить эту комбинацию из правильных тетраэдров, останется небольшой разрыв. Этот разрыв можно закрыть, если удлинить ребра, показанные на рисунке жирными линиями, с 1 до 1,00274, примерно на одну пятисотую, чего человеческий глаз заметить не в состоянии.

Сверчковский спрашивал: если взять много тетраэдров и составить их в кольцо с разрывом, то насколько маленьким может оказаться этот разрыв? Можно ли сделать его сколь угодно маленьким по отношению к размеру одного тетраэдра за счет использования достаточно большого их числа? Ответ на этот вопрос неизвестен до сих пор, при условии что тетраэдры не могут пересекаться друг с другом, однако Элгерсма и Вэгон доказали, что, если разрешить взаимопроникновение, ответ должен быть положительным. К примеру, 438 тетраэдров оставляют разрыв, составляющий примерно одну десятитысячную длины ребра.

Авторы предположили, что ответ должен быть положительным, даже если тетраэдрам не разрешено пересекаться, но конструкции при этом должны возникать значительно более сложные. В доказательство они нашли серию колец со все уменьшающимися разрывами. Нынешний рекорд, открытый в 2014 г., представляет собой почти замкнутое кольцо из 540 непересекающихся тетраэдров с разрывом 5 × 10^–18.