Сомс говорил о знаменитой теореме о четырех красках, которая гласит, что для любой заданной карты на плоскости ее области можно раскрасить не более чем четырьмя разными красками так, чтобы области, имеющие общую границу, были окрашены в разные цвета. (Здесь «иметь общую границу» означает, что общая граница должна быть ненулевой длины; то есть если области сходятся в одной общей точке, это не считается.) Такое предположение высказал в 1852 г. Фрэнсис Гутри и доказали в 1976 г. Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен при активном использовании компьютера. За прошедшее с того момента время их доказательство удалось серьезно упростить, но компьютер по-прежнему является существенной его частью; он необходим, чтобы проводить большое количество рутинных, сложных вычислений.

Могут ли существовать аналогичные теоремы для «карт» в пространстве, а не на плоскости? Области в пространстве будут представлять собой что-то вроде заполненных пузырей. Немного подумав, несложно догадаться, что для раскрашивания такой карты может потребоваться сколько угодно красок. Представьте, к примеру, что вы хотите нарисовать карту, для которой нужно шесть красок. Для начала возьмите шесть отдельных шаров. Пусть шар 1 выпустит пять тонких щупалец и коснется ими шаров 2, 3, 4, 5 и 6. Затем пусть шар 2 выпустит пять щупалец и коснется шаров 3, 4, 5 и 6. Затем перейдите к шару 3 и т. д. Получится, что каждая обросшая щупальцами область касается всех остальных областей и, следовательно, все шесть должны быть окрашены в разные цвета. Если проделать такую процедуру со 100 шарами, то потребуется 100 красок; если шаров будет миллион, красок тоже потребуется миллион. Короче говоря, числу необходимых красок нет предела.

В 2013 г. Баскар Багчи и Басудеб Дата поняли, что это не конец истории. Представьте себе «карты», сформированные из конечного числа кругов на плоскости, которые либо вообще не перекрывают друг друга, либо пересекаются в одной общей точке. Предположим, вы хотите раскрасить эти круги так, чтобы даже соприкасающиеся круги были окрашены в разные цвета. Сколько красок вам потребуется? Оказывается, ответ здесь такой же: не больше четырех.

На самом деле эта проблема по существу эквивалентна теореме о четырех красках. Эту теорему можно переформулировать в задачу раскрашивания узлов сети на плоскости с непересекающимися ребрами, так что если два узла этой сети соединены ребром, то эти узлы должны быть окрашены в разные цвета. Для этого достаточно просто создать по узлу для каждой области карты и соединить ребрами попарно те из них, области которых имеют общую границу. Можно доказать, что любая сеть на плоскости может быть собрана из подходящего набора кругов путем соединения центров тех кругов, которые касаются друг друга. К примеру, вот набор кругов, для окрашивания которых необходимы четыре цвета, связанная с ними сеть и карта с топологически эквивалентным искажением этой сети, для раскрашивания которой также требуется четыре краски.

Формулировку с кругами мы можем естественным образом распространить на три измерения, если используем шары вместо кругов. Опять же, эти шары либо вообще не перекрываются, либо касаются друг друга в общей точке. Предположим, вы хотите раскрасить шары так, чтобы те, которые касаются друг друга, были окрашены в разные цвета. Сколько красок вам понадобится? Багчи и Дата объяснили, почему это число не может быть меньше 5 и больше 13. Его точное значение до сих пор остается математической загадкой. Но вы, возможно, сумеете доказать, что нужно по крайней мере пять красок. Из их результата следует, что некоторые трехмерные карты не эквивалентны картам, построенным на базе шаров.