7. «Недостаточные» поля. Великая теорема Ферма

Впервые мы столкнулись с Ферма в главе 2, где его элегантная теорема о степенях чисел обеспечила метод проверки чисел на простоту. Эта глава посвящена куда более сложному утверждению: Великой теореме Ферма. Название звучит загадочно. «Теорема» — это вроде бы понятно, но кто такой был Ферма и почему эту теорему называют великой, а иногда последней его теоремой? Может быть, название — всего лишь хитрый маркетинговый ход? Оказывается, нет: такое название эта задача получила в XVIII в., когда лишь несколько ведущих математиков хотя бы слышали о ней и уж тем более интересовались ею. Но Великая, или Последняя, теорема Ферма и вправду загадочна.

Пьер Ферма родился во Франции в 1601 г. по одним источникам и в 1607–1608 гг. по другим. Не исключено, что путаница возникла из-за его брата, носившего такое же имя. Его отец был зажиточным купцом, он торговал кожей и занимал высокое положение в городе, а мать происходила из семьи юристов. Пьер учился в университете в Тулузе, а в конце 1620-х гг. перебрался в Бордо, где у него проявился талант к математике. Он говорил на нескольких языках. Кроме того, он собирал материалы и работал над восстановлением одного из классических древнегреческих трудов по математике, принадлежавшего перу Аполлония и давно утраченного. Своими многочисленными открытиями Ферма делился с ведущими математиками своего времени.

В 1631 г. Ферма получил ученую степень юриста в университете Орлеана и был назначен советником в суд Тулузы. Это назначение принесло ему дворянский титул и дало право добавлять к фамилии частицу «де»: де Ферма. Советником суда и практикующим юристом он оставался до конца жизни. Однако страстью его была математика. Он почти ничего не публиковал, предпочитая излагать свои открытия в письмах к коллегам-математикам, как правило, без доказательств. В математике Ферма так и остался любителем, но его работы пользовались заслуженным признанием профессионалов, со многими из которых он был знаком достаточно близко, хотя и по переписке. По существу, он и был профессионалом; просто не занимал в математике никакого официального поста.

Некоторые из его доказательств дошли до нас в письмах и заметках; ясно, что Ферма прекрасно представлял себе, что такое настоящее доказательство. После его смерти многие из его наиболее глубоких теорем остались недоказанными, и за них взялись профессионалы. Через несколько десятилетий лишь одному из утверждений Ферма по-прежнему недоставало доказательства; естественно, именно это утверждение получило известность как его последняя теорема. В отличие от остальных, она никак не поддавалась усилиям математиков и вскоре прославилась контрастом между простотой формулировки и очевидной сложностью поиска доказательства.

Судя по всему, Ферма пришел к своей знаменитой теореме около 1630 г. Точная дата неизвестна, но произошло это вскоре после того, как он начал читать недавно изданную «Арифметику» Диофанта. Тогда у него и появилась идея этой теоремы. Опубликована она была впервые в 1670 г., через пять лет после смерти Ферма. Его сын Самюэль выпустил необычное издание «Арифметики» Диофанта, которое включало и заметки на полях, сделанные Пьером Ферма в его личном экземпляре латинского перевода. Этот перевод был сделан Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком и издан в 1621 г. Великая теорема Ферма изложена там в виде заметки к диофантову вопросу VIII Книги II (см. рис. 29).

Речь в этом месте книги шла о задаче представления полного квадрата как суммы двух полных квадратов. Из главы 6 мы знаем, что таких пифагоровых троек существует бесконечное множество. Диофант задается тем же вопросом, но в несколько более сложной формулировке: как найти две меньшие стороны пифагорова треугольника, если известна самая большая его сторона. Иными словами, конкретный квадрат следует «разложить» на два квадрата и выразить в виде их суммы. Он показывает, как решить эту задачу, если бо́льшая сторона треугольника равна 4, и получает ответ

в рациональных числах. Умножив все на 25, получим 20² = 16² + 12², а поделив затем на 16, получим знакомое 3² + 4² = 5². Диофант обычно иллюстрировал общие методы конкретными примерами и не приводил никаких доказательств; такая традиция восходит еще к Древнему Вавилону.

Экземпляр «Арифметики» с собственноручными заметками Ферма не сохранился, но, должно быть, такая запись в нем была, поскольку Самюэль прямо об этом говорит. Вряд ли Ферма стал бы долго таить такое сокровище, да и само предположение настолько естественно, что мысль о нем, вероятно, пришла Пьеру в голову сразу же по прочтении восьмого вопроса второй книги «Арифметики». Очевидно, ему стало интересно, можно ли проделать что-нибудь подобное с кубами вместо квадратов — согласитесь, естественный для математика вопрос. Он не нашел подобных примеров — мы можем быть в этом уверены, поскольку точно знаем, что их не существует; неудача ждала его и в случае с более высокими степенями, к примеру с четвертой. Он решил, что эти задачи не имеют решений. Заметка на полях говорит именно об этом. В переводе это звучит примерно так:

Говоря алгебраическим языком, Ферма, согласно его собственному заявлению, доказал, что диофантово уравнение

не имеет целочисленных решений, если n — любое целое число, большее или равное 3. Ясно, что при этом он не рассматривал тривиальных решений, при которых x или y равны нулю. Чтобы не повторять это уравнение постоянно, я буду называть его в дальнейшем уравнением Ферма.

Если у Ферма действительно было доказательство, то найти его так никому и не удалось. В конце концов теорема была доказана в 1995 г., больше чем через три с половиной столетия после появления, но методы доказательства выходят далеко за рамки методик, доступных во времена Ферма или даже таких, которые он мог бы сам изобрести. Надо сказать, что поиски доказательства этой теоремы оказали громадное влияние на развитие математики. По существу, именно они привели к созданию алгебраической теории чисел, которая расцвела в XIX в. благодаря очередной неудачной попытке доказать теорему и блестящей идее, которая едва не спасла доказательство. В конце XX — начале XXI в. она дала толчок настоящей революции.

Вначале математики, работавшие над Великой теоремой Ферма, пытались перебирать степени одну за другой. Общего доказательства теоремы, о котором говорил ее автор в заметке на полях, могло и не быть, но нам известно, как Ферма доказал свою теорему для четвертых степеней. Главный инструмент здесь — евклидова методика поиска пифагоровых троек. Четвертая степень числа — это квадрат квадрата этого числа. Так что любое решение уравнения Ферма для четвертых степеней — это пифагоров треугольник, в котором все три числа также являются полными квадратами. Это дополнительное условие можно ввести в методику Евклида и после некоторых хитрых маневров получить еще одно решение уравнения Ферма для четвертых степеней. Может показаться, что в этом нет никакого особого прогресса; после страницы алгебраических вычислений задача сводится к первоначальной. Однако на самом деле это нам поможет: числа во втором решении меньше, чем в первом (гипотетическом). Главное, если первое решение нетривиально (т. е. если x и y в нем не равны нулю), то же можно сказать и о втором решении. Ферма указывал, что повторение этой процедуры даст нам последовательность решений, в которой числа становятся все меньше и меньше. Однако любая убывающая последовательность целых чисел должна когда-нибудь остановиться. Это логическое противоречие, так что гипотетического решения, с которого все началось, не существует. Ферма назвал этот метод доказательства методом «бесконечного спуска». Мы сегодня назвали бы его доказательством по методу математической индукции, упомянутому в главе 4. Его, кстати, тоже можно переформулировать в терминах минимальных контрпримеров, или в данном случае минимальных положительных примеров. Предположим, существует положительный пример — нетривиальное решение нашего уравнения. Тогда существует и минимальный положительный пример. Но, согласно рассуждениям Ферма, это означает, что существует еще меньший пример, а это уже противоречие. Следовательно, положительных примеров не существует. Со времен Ферма появились и другие доказательства теоремы для четвертых степеней, и на сегодняшний день их известно около 30.

Ферма использовал тот простой факт, что четвертая степень — это особый случай квадрата. Та же идея показывает, что в целях доказательства теоремы Ферма можно считать, что показатель степени n либо равен 4, либо является нечетным простым числом. Любое число n больше 2 делится либо на 4, либо на некоторое нечетное простое p, так что любая n-я степень — это одновременно либо 4-я степень, либо p-я. За два столетия после Ферма его Великую теорему удалось доказать ровно для трех нечетных простых чисел: это 3, 5 и 7. С кубами разобрался Эйлер в 1770 г.; в его опубликованном доказательстве есть пробел, но его можно заполнить при помощи результата, опубликованного им же в другом месте. С пятыми степенями справились Лежандр и Петер Лежен Дирихле около 1825 г. Теорему Ферма для седьмых степеней доказал Габриель Ламе в 1839 г. Позже для этих случаев было найдено немало других доказательств. Где-то по пути несколько математиков получили доказательства для степеней 6, 10 и 14, но эти результаты перекрывались доказательствами для 3, 5 и 7.

Каждое из упомянутых доказательств использует какие-то алгебраические черты, присущие именно этим степеням. Долгое время не было никаких намеков на какую бы то ни было общую структуру, которая могла бы послужить основой доказательства теоремы для всех или хотя бы для значительного числа разных степеней. С ростом показателей степени доказательства становились все сложнее и сложнее. Требовались свежие идеи, открывающие новые горизонты. Софи Жермен, одна из величайших женщин-математиков, разделила теорему Ферма для простых степеней p на два случая. В первом случае ни одно из чисел x, y, z не делится на p. Во втором — одно из них делится. Рассмотрев особые «вспомогательные» простые числа, связанные с p, она доказала, что в первом случае уравнение Ферма не имеет решений для нечетных простых чисел меньших 100. Однако трудно было доказать что-нибудь насчет вспомогательных простых чисел в целом.

Жермен переписывалась с Гауссом, причем сначала под мужским псевдонимом, и оригинальность ее рассуждений весьма впечатлила великого математика. Когда же выяснилось, что его корреспондент — женщина, Гаусс впечатлился еще сильнее и прямо сказал об этом. В отличие от многих своих современников, Гаусс не считал женщин неспособными к высокоинтеллектуальной деятельности, в частности к математическим исследованиям. Позже Жермен предприняла неудачную попытку доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных чисел, где опять же можно было бы воспользоваться евклидовой характеристикой пифагоровых троек. Окончательно разобраться с четными степенями удалось только Гаю Тержаняну в 1977 г. Второй случай казался куда более крепким орешком, и никто особенно далеко с ним и не продвинулся.

В 1847 г. Ламе, опираясь на свое доказательство для седьмых степеней, выдвинул замечательную идею. Для ее реализации требовалось ввести комплексные числа, но к тому моменту это уже никого не смущало. Главным ингредиентом было то же, чем воспользовался Гаусс при построении своего правильного 17-угольника (см. главу 3). Любой специалист по теории чисел знал об этом, но до Ламе никому не приходило в голову, что этим можно воспользоваться для доказательства Великой теоремы Ферма.

В системе действительных чисел единица имеет ровно один корень p-й степени (если p нечетное), и корень этот равен самой единице. Но в комплексных числах 1 имеет несколько, а именно p, корней p-й степени. Этот факт — следствие основополагающей теоремы алгебры, поскольку эти корни удовлетворяют уравнению x^p − 1 = 0 степени p. Для комплексных корней p-й степени из единицы существует симпатичная формула, из которой явствует, что все они являются степенями 1, ζ, ζ2, ζ3, …, ζp − 1 некоего комплексного числа ζ (см. прим. ). Определяющее свойство этих чисел подразумевает, что x^p + y^p раскладывается на p множителей:

Согласно уравнению Ферма, это выражение равно также zp, что представляет собой p-ю степень некоего целого числа. Несложно заметить, что если произведение чисел, не имеющих общих делителей, представляет собой p-ю степень, то и каждое число в отдельности представляет собой p-ю степень. Таким образом, если оставить в стороне некоторые технические подробности, Ламе мог записать каждый из сомножителей как p-ю степень. Отсюда он вывел противоречие.

В марте 1847 г. Ламе выступил с полученным в результате доказательством теоремы Ферма в Парижской академии и сказал, что основной идеей он обязан Жозефу Лиувиллю. Лиувилль поблагодарил Ламе, но одновременно указал на потенциальную проблему в доказательстве. Дело в том, что главное утверждение о том, что каждый сомножитель представляет собой p-ю степень, вовсе не бесспорно. Все зависит от единственности разложения на простые множители — причем не для обычных целых чисел, где это свойство выполняется, но для новых типов чисел, введенных Ламе. Эти комбинации степеней ζ известны как круговые, или циклотомические, числа. Слово «циклотомический» означает «разрезающий круг» и указывает на обстоятельство, которое исследовал еще Гаусс. Мало того, что свойство единственности разложения на простые множители для круговых чисел не доказано, сказал Лиувилль, они вполне могут им и не обладать.

У других математиков сомнения возникли даже раньше. За три года до этого Готтхольд Эйзенштейн писал одному из коллег:

Теорема, о которой идет речь, есть главный шаг, необходимый для доказательства единственности разложения на простые множители. Эйзенштейн говорил не только о числах, нужных Ламе, но и об аналогичных числах, возникающих при решении других уравнений. Они называются алгебраическими числами. Алгебраическое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами. Алгебраическое целое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, если коэффициент при наибольшей степени x равен 1. Для каждого такого полинома мы получаем связанное с ним поле алгебраических чисел (это означает, что можно складывать, вычитать, умножать и делить такие числа, получая при этом числа того же рода) и соответствующее кольцо (что означает то же самое, за исключением деления) алгебраических целых чисел. Это основные объекты изучения алгебраической теории чисел.

Если, к примеру, взять многочлен x² − 2, то у него есть корень. Поле включает в себя все числа a + b, где a, b — рациональные числа; кольцо целых чисел состоит из чисел такого же вида, где a, b — целые. Здесь опять же простые делители могут быть определены, и притом единственным образом. Но есть и сюрпризы: у многочлена x² + x − 1 есть корень (√5 − 1)/2, так что, несмотря на дробь, это алгебраическое целое число.

В алгебраической теории чисел сложность заключается не в том, чтобы найти множители. К примеру, круговое число является делителем другого кругового числа, если второе число можно получить умножением первого на еще какое-нибудь круговое число. Определить простые числа также не сложно: круговое целое число является простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных единиц, которые представляют собой круговые числа — делители 1. Нет проблемы и в разложении кругового числа или любого другого алгебраического числа на простые множители. Нужно просто делить число, пока не закончатся делители. Существует простой способ доказать, что эта процедура конечна, и когда она завершится, каждый делитель окажется простым. Так в чем же проблема? В единственности. Если вы повторите процедуру, выбирая по пути иные решения, вы вполне можете получить другой набор простых делителей.

На первый взгляд, трудно представить себе такую возможность. Простые делители — наименьшие возможные кусочки, на которые можно разбить число. Это как взять собранную из «Лего» игрушку и разобрать на кирпичики. Если бы существовал другой способ сделать это, то, в конце концов, оказалось бы, что мы разделили один из кирпичиков еще на несколько деталей. Но тогда кирпичик не был бы кирпичиком. К несчастью, аналогия с «Лего» обманчива. Алгебраические числа ведут себя не так. Они больше похожи на кирпичики с мобильными связями, способные соединяться между собой в разных сочетаниях. Разбейте кирпичик одним способом — получите одни составные части, которые сцепляются друг с другом и дальше уже не делятся. Разбейте его иначе — и получите еще один набор с теми же свойствами, но уже других деталей.

Я приведу два примера. В первом будут только обычные целые числа. Он несложен для понимания, но обладает некоторыми нерепрезентативными чертами. А затем я покажу вам настоящий пример.

Представьте, что мы живем во Вселенной, где существуют только числа 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 и т. д. — числа, которые в нашей нынешней Вселенной имели бы вид 4k + 1. Если перемножить два таких числа, получится еще одно число такого же вида. Определим такое число как «простое», если оно не является произведением двух меньших чисел того же вида. К примеру, число 25 — не простое, поскольку равняется 5 × 5, а 5 тоже есть в нашем списке. Но число 21 — простое в этом новом смысле, потому что его обычных делителей (3 и 7) в списке нет. Они имеют вид 4k + 3, а не 4k + 1. Несложно убедиться, что любое число заданного вида есть произведение простых (в новом смысле) чисел. Причина в том, что множители, если они существуют, должны становиться меньше, и со временем процесс факторизации непременно остановится. Когда это произойдет, полученные множители будут простыми.

Однако такое разложение на простые множители не единственно. Рассмотрим число 4389. 4389 = 4 × 1097 + 1, т. е. это число интересующего нас вида. Вот три различных разложения на множители заданного вида:

Я утверждаю, что, согласно принятому нами определению, все эти множители простые. К примеру, 57 — простое число, так как его обычные делители 3 и 19 не относятся к требуемому виду. То же можно сказать о числах 21, 33, 77, 133 и 209. Теперь мы можем объяснить неединственность разложения на простые множители. В обычных целых числах

и все эти числа «не того» вида, они нам не подходят и имеют вид 4k + 3. Три различных разложения на простые в этом новом смысле числа возникают при трех разных вариантах группировки этих чисел в пары:

Мы вынуждены брать эти числа парами, так как два числа вида 4k + 3 при перемножении дают число вида 4k + 1.

Этот пример показывает, что аргумент «множители должны быть единственными, поскольку они минимальны», в данном случае не работает. Правда, здесь есть числа и меньше (21 = 3 × 7, к примеру), но эти числа не принадлежат к интересующей нас системе. Главная же причина того, что этот пример не является полностью репрезентативным, заключается в том, что, хотя при умножении числа вида 4k + 1 дают числа того же вида, при сложении этого не происходит. К примеру, 5 + 5 = 10, но 10 — не число нужного нам вида. Поэтому, говоря языком абстрактной алгебры, мы имеем дело не с кольцом.

Второй пример не имеет этого недостатка, но он более сложен. Это кольцо алгебраических целых для многочлена x² − 15. В это кольцо входят все числа a + b√15, где a и b целые. В нем число 10 имеет два варианта разложения:

Можно доказать, что все четыре множителя (2, 5, 5 + √15, 5 — √15) являются простыми.

Сегодня все это выглядит гораздо понятнее, чем в 1847 г., но математикам не потребовалось много времени, чтобы показать обоснованность сомнений Лиувилля. Через две недели после доклада Ванцель проинформировал Академию, что для небольших p единственность разложения соблюдается, но для 23-й степени его метод доказательства уже не годится. Вскоре после этого Лиувилль доложил Академии, что единственность разложения на простые множители не соблюдается для круговых целых чисел, соответствующих p = 23. (Эрнст Куммер открыл этот факт тремя годами раньше, но никому не сказал, поскольку искал способ обойти это препятствие.)

Доказательство Ламе работало для небольших значений p, включая некоторые новые (11, 13, 17, 19), но в общем случае неизбежно рассыпалось. Это был наглядный урок: нельзя принимать правдоподобные математические утверждения на веру, даже если они кажутся очевидными. Может оказаться, что они вообще неверны.

Куммер тоже искал доказательство Великой теоремы Ферма, и мысль его работала примерно в том же направлении, что и у Ламе. Он вовремя заметил потенциальное препятствие и отнесся к нему серьезно: проверил и обнаружил, что оно губит этот подход к доказательству. Он нашел конкретный пример неединственного разложения на простые делители для круговых чисел на основе корней 23-й степени из единицы. Но Куммер был не из тех, кто легко сдается, и ему удалось обойти препятствие или по крайней мере смягчить худшие его следствия. Его идею можно продемонстрировать особенно наглядно на примере все тех же чисел вида 4k + 1. Чтобы сделать разложение по-прежнему единственным, достаточно добавить кое-какие новые числа, не принадлежащие к интересующей нас системе. Для этого примера нам нужны недостающие числа вида 4k + 3. А можно не мелочиться и добавить к тому же четные целые числа; тогда мы получим множество целых чисел, замкнутое относительно сложения и умножения. Иными словами, при сложении или умножении двух целых чисел результат тоже будет целым.

Куммер предложил другой вариант этой же идеи. К примеру, чтобы восстановить единственность разложения на простые множители в кольце чисел a + b√15, достаточно добавить к нему еще одно число, а именно √5. Далее выясняется, что, чтобы получить кольцо, мы должны добавить еще √3. Теперь

и

Таким образом, при разных вариантах группировки четырех чисел √5, √5, √5 + √3, √5 — √3 возникает два варианта факторизации.

Куммер назвал эти новые множители идеальными числами, поскольку в его общих формулировках они вообще не считались числами в полной мере. Они были символами, которые вели себя в значительной степени как числа. Он доказал, что любое круговое целое число может быть единственным образом разложено на простые идеальные числа. Довольно тонкая схема: ни круговые числа, ни идеальные числа сами по себе не имели единственного разложения на простые множители. Но если воспользоваться идеальными числами как ингредиентами разложения для круговых чисел, то результат получался единственно возможным.

Позже Рихард Дедекинд нашел более цивилизованную интерпретацию процедуры Куммера, и ею мы пользуемся до сих пор. Каждому идеальному числу вне интересующего нас кольца он поставил в соответствие некий набор чисел внутри кольца. Этот набор он назвал идеалом. Каждое число в кольце определяет идеал: в него входят все числа, кратные данному. Если разложение на простые множители единственно, таков и каждый идеал. Если разложение не единственно, то возникают дополнительные идеалы. Мы можем определить произведение и сумму идеалов, а также простые идеалы, и Дедекинд доказал, что разложение идеалов на простые множители единственно для всех колец алгебраических целых чисел. Это позволяет предположить, что при решении большинства задач работать следует с идеалами, а не с самими алгебраическими числами. Конечно, здесь не обходится без новых сложностей, но альтернативой такому методу, как правило, является тупик.

Куммер научился работать со своими идеальными числами — по крайней мере научился достаточно хорошо, чтобы доказать вариант Великой теоремы Ферма при некоторых дополнительных предположениях. Но остальным смертным идеальные числа показались сложными и даже слегка загадочными. Однако, если посмотреть с позиции Дедекинда, идеальные числа разумны и полезны, и алгебраическая теория чисел начала свой путь. Из нее, в частности, возникла весьма важная идея о том, как можно измерить степень неединственности разложения в кольце алгебраических целых чисел. Каждому такому кольцу ставится в соответствие целое число, именуемое классом. Если класс равен 1, разложение на простые множители однозначно; в противном случае — нет. Чем выше класс, тем «менее однозначно» (почти в буквальном смысле) разложение на простые множители.

Возможность количественно оценить неоднозначность разложения стала серьезным шагом вперед: при помощи некоторых дополнительных усилий она спасала стратегию Ламе, но лишь в некоторых случаях. В 1850 г. Куммер объявил, что может доказать Великую теорему Ферма для большого числа простых чисел, которые он назвал регулярными. Из всех простых чисел до 100 к ним не относятся только 37, 59 и 67. Для всех остальных простых чисел до этого предела и очень многих после Куммер доказал Великую теорему Ферма. Для определения регулярного простого числа необходимо привлечь понятие класса: простое число регулярно, если оно не является делителем номера класса соответствующего кольца круговых целых чисел. Так что для регулярного простого числа разложение хотя и не является единственным, но это не затрагивает существенным образом интересующее нас простое число.

Куммер утверждал, что существует бесконечно много регулярных простых чисел, но это утверждение до сих пор остается недоказанным. По иронии судьбы, в 1915 г. К. Йенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел. Неожиданный критерий регулярности простых чисел выявился в связи с математическим анализом. В нем задействована последовательность чисел, открытая независимо японским математиком Сэки Такакадзу и швейцарским математиком Якобом Бернулли и известная как числа Бернулли. Этот критерий показывает, что в первый десяток иррегулярных простых чисел входят 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233 и 257. Углубившись в структуру круговых чисел, Дмитрий Мириманов разобрался с первым из иррегулярных простых чисел — 37 — в 1893 г. К 1905 г. он доказал теорему Ферма до степеней p вплоть до 257. Гарри Вандивер разработал компьютерный алгоритм, который позволил расширить этот предел. При помощи этих методов Джон Селфридж и Бари Поллак в 1967 г. доказали теорему вплоть до 25 000-й степени, а С. Вагстафф в 1976 г. повысил этот предел до 100 000.

Свидетельства истинности Великой теоремы Ферма накапливались и накапливались, но главным, пожалуй, было то, что в случае ее ложности контрпример, т. е. пример, наглядно демонстрирующий нарушение теоремы, оказался бы настолько сложным, что никто и никогда не сумел бы его отыскать. Еще из результатов работы ученых следовало, что методы, такие как у Куммера, сталкивались с теми же проблемами, что и работы более ранних исследователей: большие степени требовали особых очень сложных процедур и особого обращения. Так что эта линия атаки постепенно затормозилась и сошла на нет.

Если при решении математической задачи вы оказались в тупике, последуйте совету Пуанкаре: отвлекитесь и займитесь чем-нибудь другим. Если вам повезет и ветер будет попутным, у вас рано или поздно появится новая идея. Специалисты по теории чисел вряд ли осознанно следовали этому совету, но тем не менее они поступали именно так. Как и утверждал Пуанкаре, такая тактика срабатывала. Некоторые специалисты по теории чисел перенесли внимание на эллиптические кривые (см. главу 6). По иронии судьбы, со временем именно в этой области математики выявились поразительные и неожиданные связи с Великой теоремой Ферма, которые и привели, в конце концов, к доказательству Уайлса. Для описания этих связей нам потребуется еще одно понятие — модулярной функции. С этого момента наше обсуждение приобретет несколько технический характер, но за всем этим стоит вполне разумная история, да нам и нужны-то лишь самые общие положения. Следите за моими рассуждениями.

В главе 6 мы видели, что теория эллиптических функций сильно повлияла на развитие комплексного анализа. В 1830-е гг. Жозеф Лиувилль открыл, что разновидностей эллиптических функций не так уж много. Для любых двух периодов существует особая эллиптическая функция, известная как функция Вейерштрасса, и любая другая эллиптическая функция с теми же двумя периодами является просто ее вариантом. Тем самым подразумевается, что из функций с двойной периодичностью достаточно разобраться в функциях Вейерштрасса — по одной на каждую пару периодов.

Геометрически двойную периодическую структуру эллиптической функции можно интерпретировать как решетку на комплексной плоскости: это все комбинации вида mu + nv двух периодов u и v (см. рис. 30). Если мы возьмем комплексное число z и добавим к нему одну из точек нашей решетки, то значение эллиптической функции в новой точке будет тем же, что и в первоначальной. Иными словами, эллиптическая функция обладает той же симметрией, что и описанная решетка.

Аналитики открыли гораздо более богатый источник симметрий комплексной плоскости, известный как преобразования Мёбиуса. Эти преобразования превращают z в (az + b)/(cz + d), где a, b, c, d — комплексные константы. Симметрии, определяемые решеткой, представляют собой особые случаи преобразований Мёбиуса, но существуют и другие. Однако в более общем случае тоже присутствует набор точек, аналогичный рассмотренной нами решетке. Решетка определяет на евклидовой плоскости ячеистую структуру: достаточно взять в виде ячейки параллелограмм и поместить его углы в узлы решетки (см. рис. 26 и 30). При помощи преобразований Мёбиуса мы можем построить ячеистую структуру в подходящей неевклидовой геометрии, на гиперболической поверхности. Мы можем установить тождественность этой поверхности и части комплексной плоскости, где прямые заменяются дугами окружностей.

В гиперболической геометрии существуют весьма симметричные ячеистые структуры. Для каждой из них можно построить комплексные функции, которые на каждой ячейке повторяют свои значения. Такие функции известны как модулярные и представляют собой естественное обобщение эллиптических функций. Гиперболическая геометрия — очень насыщенная область математики, и диапазон ячеистых структур здесь намного шире, чем на евклидовой плоскости. Поэтому специалисты по комплексному анализу всерьез заинтересовались неевклидовой геометрией. При этом выявилась глубокая связь между математическим анализом и теорией чисел. Модулярные функции играют для эллиптических кривых ту же роль, что тригонометрические функции для окружности.

Напомню, что единичная окружность состоит из точек (x, y), таких, что x² + y² = 1. Пусть A — действительное число, и

Тогда определение синуса и косинуса говорит о том, что данная точка лежит на единичной окружности. Более того, любая точка единичной окружности имеет такую форму. Говоря математическим языком, эти тригонометрические функции представляют окружность в параметрическом виде. Что-то очень похожее происходит и с модулярными функциями. Если мы определим x и y при помощи подходящих модулярных функций параметра A, то соответствующая точка будет лежать на эллиптической кривой — одной и той же эллиптической кривой, какое бы значение ни принимал параметр A. Существуют и более абстрактные способы сформулировать вышеизложенное, и специалисты пользуются именно ими, потому что они удобнее, но этот вариант позволяет выявить аналогию с тригонометрическими функциями и окружностью. Эта связь порождает свою эллиптическую кривую для каждой модулярной функции, а разнообразие модулярных функций громадно — ведь это все симметричные ячеистые структуры на гиперболической поверхности. Итак, огромное количество эллиптических кривых может быть соотнесено с модулярными функциями. Но какие эллиптические кривые можно получить таким способом? Именно этот вопрос оказался главным.

Впервые это «недостающее звено» привлекло внимание ученых в 1975 г., когда Ив Эллегуар обратил внимание на занятную связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Герхард Фрей в двух статьях, опубликованных в 1982 и 1986 гг., развил эту идею. Пусть p, как всегда, нечетное простое число. Предположим — в надежде прийти к противоречию, — что существуют ненулевые целые числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению Ферма, так что a^p + b^p = c^p. А теперь с надлежащей помпой извлечем из шляпы заранее припасенного кролика: рассмотрим эллиптическую кривую

Эта кривая называется эллиптической кривой Фрея. Фрей применил к ней механизм работы с эллиптическими кривыми и получил цепочку еще более причудливых совпадений. Его гипотетическая эллиптическая кривая выглядит и правда очень странно. На первый взгляд, она вообще лишена смысла. Фрей доказал, что смысла в ней настолько мало, что она не может существовать. И это обеспечивает нам желанное противоречие и тем самым, разумеется, доказывает Великую теорему Ферма.

Однако в этом доказательстве есть пробел, и Фрей прекрасно знал о нем. Чтобы доказать, что такая эллиптическая кривая не существует, необходимо показать, что если бы она существовала, то была бы модулярной, т. е. одной из тех кривых, что возникают из модулярных функций. Мы только что убедились, что таких кривых множество; на тот момент никому не удавалось отыскать хотя бы одну эллиптическую кривую, которая не была бы модулярной. Казалось логичным, что и кривая Фрея должна быть модулярной, но это была гипотетическая кривая, коэффициенты a, b и c не были известны. К тому же, если бы кривая и правда была модулярной, то она просто не могла бы существовать. Был, однако, один способ раз и навсегда разобраться со всеми этими вопросами: доказать, что все эллиптические кривые модулярны. Тогда кривая Фрея, гипотетическая или нет, тоже была бы модулярной, если бы существовала. А если бы ее не было, то доказательство от этого никак бы не пострадало.

Утверждение, что всякая эллиптическая кривая является модулярной, называется гипотезой Таниямы — Симуры. Она названа в честь двух японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Симуры. Встретились они случайно: оба одновременно с одной и той же целью хотели получить в университетской библиотеке одну и ту же книгу. Результатом же стало долгое сотрудничество. В 1955 г. Танияма был в Токио на математической конференции, где молодым участникам предложили составить список открытых вопросов. Танияма предложил четыре вопроса, и все они были связаны с отношениями между модулярными функциями и эллиптическими кривыми. Еще до этого он вычислил некоторые числа, связанные с конкретной модулярной функцией, и заметил, что в точности те же числа появлялись в связи с конкретной эллиптической кривой. Подобные совпадения часто свидетельствуют о том, что все это вовсе не совпадение и что замеченным фактам должно быть какое-то разумное объяснение. Сегодня мы знаем: равенство этих чисел напрямую означает, что эллиптическая кривая является модулярной, более того, именно так чаще всего определяется модулярность в специальной литературе. Так или иначе, Танияма был достаточно заинтригован, чтобы рассчитать соответствующие числа еще для нескольких модулярных функций и выяснить, что они тоже соответствуют конкретным эллиптическим кривым.

Он заинтересовался, не найдется ли подобной черты у каждой эллиптической кривой. Специалисты в этой области в большинстве своем считали, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой, — бесплодная мечта, в пользу которой нет почти никаких свидетельств. Симура был одним из немногих, кто считал, что эта гипотеза достойна серьезного рассмотрения. Но в 1957–1958 гг. Симура уехал на год в Принстон, а Танияма, пока его не было, покончил с собой. В оставленной им записке, в частности, говорилось: «Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее».

Примерно месяц спустя его невеста Мисако Судзуки тоже покончила с собой. В ее прощальной записке было сказано: «Теперь, когда его нет, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему».

Симура продолжил работу над гипотезой. По мере того как накапливались свидетельства в ее пользу, он начал склоняться к мысли о том, что она действительно может оказаться верной. Большинство других специалистов были с ним не согласны. Саймон Сингх рассказывает об интервью с Симурой, в котором тот вспоминал, как пытался объяснить все это одному из коллег:

Несмотря на общий скептицизм, Симура продолжал упорно работать, и с годами это предположение приобрело достаточную респектабельность, чтобы о нем стали говорить как о гипотезе Таниямы — Симуры. Затем Андре Вейль, один из крупнейших специалистов по теории чисел XX столетия, нашел дополнительные свидетельства в ее пользу, опубликовал их и высказал уверенность в том, что она на самом деле вполне может быть верна. После этого гипотезу стали называть гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля. Вообще, название ее окончательно не устоялось, и в публикациях о ней можно встретить самые разные комбинации имен трех этих математиков. Я буду придерживаться названия «гипотеза Таниямы — Симуры».

В 1960-е гг. еще один математический тяжеловес Роберт Ленглендс понял, что гипотезу Таниямы — Симуры можно рассматривать как один из элементов куда более обширной и амбициозной программы, способной объединить алгебраическую и аналитическую теорию чисел. Он сформулировал целый набор гипотез, связанных с этой идеей и известных сегодня как программа Ленглендса. Она была еще более спекулятивна, чем гипотеза Таниямы — Симуры, но обладала неотразимой элегантностью: подобная математика настолько красива, что просто обязана быть истинной. В течение последующего десятилетия математический мир постепенно оценил красоту программы Ленглендса, и ее исполнение начали воспринимать как одну из главных целей алгебраической теории чисел. Программа Ленглендса представляется верным направлением развития, если, конечно, кому-то удастся сделать в этом направлении первый шаг.

В 1980-е Фрей заметил, что применение гипотезы Таниямы — Симуры к его эллиптической кривой означало бы доказательство Великой теоремы Ферма. Однако к тому времени выявилась еще одна проблема с его идеей. Когда в 1984 г. он прочел лекцию на эту тему, аудитория заметила прореху в ключевом аргументе: его кривая настолько необычна, что просто не может быть модулярной. Один из ведущих специалистов в этой области Жан-Пьер Серр быстро закрыл прореху, но для этого ему пришлось задействовать еще один результат, также нуждавшийся в доказательстве, — специальную гипотезу о понижении уровня. К 1986 г., однако, Кен Рибет доказал эту гипотезу. Теперь единственным препятствием на пути к доказательству теоремы Ферма была гипотеза Таниямы — Симуры, и мнение математического сообщества начало потихоньку смещаться. Серр предсказал, что Великая теорема Ферма, вероятно, будет доказана в течение ближайших десяти лет или около того. Как именно доказана, оставалось вопросом, но в воздухе уже витала общая уверенность в успехе: методики, связанные с модулярными функциями, обретали такую мощь, что очень скоро кто-нибудь должен был реализовать наконец подход Фрея.

Этим кем-то оказался Эндрю Уайлс. В телепрограмме, целиком посвященной доказательству теоремы Ферма, он рассказал:

В 1971 г. Уайлс получил в Оксфорде диплом по математике и переехал в Кембридж работать над докторской диссертацией. Его руководитель Джон Коутс сказал ему (и был совершенно прав), что теорема Ферма слишком сложна для докторской диссертации и отсоветовал за нее браться. Так что Уайлс занялся эллиптическими кривыми, которые тогда считались куда более многообещающим полем для исследований. К 1985 г. он был уже в Париже в Институте высших научных исследований — одном из ведущих мировых центров математических исследований. Большинство лучших ученых в тот или иной момент проходят через это учреждение, и, если вы математик, это великолепное место для работы и общения. В то время в Институте бывал и Рибет, и его доказательство специальной теоремы о понижении уровня буквально наэлектризовало Уайлса. Теперь он мог заниматься в высшей степени респектабельным исследованием эллиптических кривых и пытаться доказать гипотезу Таниямы — Симуры — и в то же время стремиться к исполнению своей детской мечты доказать Великую теорему Ферма.

Поскольку все теперь знали о связи между этими областями, это вызывало некоторое беспокойство. Предположим, Уайлс сумел бы собрать почти полное доказательство, в котором оставалось бы лишь несколько небольших пробелов, требующих дополнительных усилий. Предположим также, что кто-то другой узнал бы об этом и заполнил оставшиеся пробелы. Тогда технически именно этот человек стал бы автором доказательства Великой теоремы Ферма. Как правило, математики так себя не ведут, но приз был слишком велик, и Уайлс благоразумно решил принять меры предосторожности. Он вел свои исследования в тайне, что математикам несвойственно. И дело было не в том, что Уайлс не доверял коллегам. Он просто не хотел допустить даже малейшей вероятности того, что кто-нибудь обойдет его перед финишной чертой.

Семь лет Уайлс работал на чердаке своего дома, где был оборудован кабинет. Только жена и непосредственный начальник знали, чем именно он занимается. В тишине и уединении он атаковал задачу всеми методами, какие мог вспомнить и освоить, и, в конце концов, стены крепости начали сотрясаться под его ударами. В 1991 г. Коутс познакомил его с новыми результатами и доказательствами, полученными Маттеусом Флахом. Осада продвигалась успешно: по крепостной стене уже пошли трещины.

К 1993 г. работа над доказательством была завершена. Оставалось лишь представить его миру. Однако Уайлс все еще осторожничал: ему не хотелось рисковать и объявлять о своем достижении только для того, чтобы тут же выявилась какая-нибудь ошибка. Примерно так произошло с Йоити Мияокой в 1988 г.: средства массовой информации поспешили разнести по всему миру его заявление о том, что получено доказательство Великой теоремы Ферма, в котором очень быстро была обнаружена ошибка. Поэтому Уайлс решил провести серию из трех лекций в кембриджском Институте Исаака Ньютона — недавно организованном международном исследовательском центре по математике. Тема лекций звучала безобидно: «Модулярные формы, эллиптические кривые и теория Галуа». Иносказание, однако, мало кого обмануло: все понимали, что Уайлс собирается объявить о серьезном открытии.

На третьей лекции Уайлс коротко изложил доказательство одного особого случая гипотезы Таниямы — Симуры. Он выяснил, что можно обойтись и чуть менее строгим утверждением. Достаточно доказать, что кривая Фрея, если она существует, должна принадлежать к особому классу эллиптических кривых, известных как «полустабильные», а затем доказать, что все кривые этого класса модулярны. Уайлс доказал и то и другое. В конце той лекции он записал на доске следствие — дополнительную теорему, которая непосредственно следует из того, что было только что доказано. Этим следствием была Великая теорема Ферма.

Симура, услыхав о заявлении Уайлса, высказался кратко и по существу: «Я же говорил!»

Но если бы все было так однозначно! У судьбы в запасе нашелся еще один неожиданный поворот. Доказательство нуждалось в одобрении и признании специалистов, и в процессе его рассмотрения, как обычно, выявилось несколько моментов, по которым требовались дополнительные разъяснения. Уайлс справился с большей частью подобных комментариев, но один из них заставил его задуматься. В конце 1993 г. он опубликовал заявление: отозвал свои претензии на доказательство Великой теоремы до тех пор, пока ему не удастся заполнить выявленный логический пробел. Но теперь работать ему приходилось в обстановке полной публичности, т. е. произошло именно то, чего он надеялся избежать.

К марту 1994 г. исправленное доказательство не появилось, и Фальтингс выразил широко распространенное в математическом сообществе мнение: «Если бы [исправить доказательство] было просто, он бы уже решил эту проблему. Строго говоря, то, что было заявлено, не доказательство». Вейль заметил: «Я считаю, что у него есть несколько хороших идей, но доказательства нет… Доказать Великую теорему Ферма — это как взобраться на Эверест. Если кто-то хочет покорить Эверест и не доходит до вершины 100 ярдов, это означает, что он не покорил Эверест». Каждый мог легко представить себе, чем все кончится. Все это уже было. Доказательство рухнуло, его придется полностью пересматривать, и теорема Ферма останется непобежденной до следующего сражения.

Но Уайлс отказывался признавать поражение. К поискам присоединился его бывший студент Ричард Тейлор. Корень проблемы теперь был ясен: результаты Флаха не слишком хорошо подходили к этой задаче. Уайлс и Тейлор попытались доработать методы Флаха, но ничего не получалось. Затем Уайлса осенило: он внезапно понял, в чем состоит главное препятствие. «Я понял, что та самая штука, из-за которой перестал работать метод Флаха, может заставить работать другой метод, который я тоже когда-то пробовал». Солдаты, осаждающие замок, вдруг поняли, что их таран никогда не проломит ворота, поскольку осажденные постоянно сбрасывают на него большие камни, но можно этими самыми камнями зарядить требушет и пробить ворота иначе.

К апрелю 1995 г. новое доказательство было завершено, и на этот раз в нем не оказалось ни прорех, ни ошибок. Оно было опубликовано в виде двух статей в Annals of Mathematics — одном из самых уважаемых математических журналов. Уайлс стал мировой знаменитостью, удостоился нескольких престижных премий и рыцарского звания… и вернулся к своим исследованиям. Его жизнь почти не изменилась.

По-настоящему важно в достижении Уайлса вовсе не доказательство Великой теоремы Ферма как таковое. Я уже говорил, что от того, верна эта теорема или нет, практически ничего не зависит. Если бы кто-то отыскал три 100-значных числа и 250-значный простой показатель степени, из которых сложился бы контрпример к утверждению Ферма, то ни одна важная область математики от этого не пострадала бы. Конечно, прямой компьютерный расчет не осилил бы таких больших чисел, так что вам пришлось бы проявить недюжинный ум, чтобы отыскать что-нибудь подобное, но отрицательный результат в данном случае не вызвал бы ни у кого особой тревоги.

Подлинное значение найденного Уайлсом решения проблемы заключается в доказательстве гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильного случая. Не прошло и шести лет, как Кристоф Брейль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор расширили методы Уайлса и разобрались не только с полустабильными, но и со всеми остальными эллиптическими кривыми. Они доказали полный вариант гипотезы Таниямы — Симуры, и теория чисел уже никогда не будет прежней. Теперь, если кто-то столкнется с эллиптической кривой, она гарантированно будет модулярной, что открывает перед исследователями множество новых аналитических методов. Эти методы уже используются для решения других задач теории чисел, а в будущем их появится еще больше.