Одной из новинок «Подземелий и драконов» (Dungeons & Dragons), настольной ролевой игры в жанре фэнтези, появившейся в 1970-х гг., был впечатляющий набор игральных костей. Но открыли ли изобретатели игры все возможные игральные кости? Когда мы изучаем, из каких форм получились бы хорошие кости, мы снова возвращаемся к вопросу из главы 2. Если все грани игральной кости представляют собой одинаковую симметричную фигуру и эти грани соединены так, что все вершины и ребра выглядят одинаково, то эта кость является одной из пяти форм: тетраэдром, кубом, октаэдром, додекаэдром или икосаэдром – Платоновым телом (с. 63). Вы можете найти все эти кости в игральном наборе «Подземелий и драконов» (и в PDF-файле, который можно загрузить с веб-сайта «Тайн 4исел»), но у нескольких из этих костей значительно более древнее происхождение.

Например, в 2003 г. на аукционе Christie’s была продана стеклянная игральная кость с двадцатью гранями, относящаяся к римским временам. Ее грани были покрыты странными символами, наводящими на мысль, что она скорее использовалась для предсказания судьбы, чем для игры. Икосаэдр лежит в основе одного из самых популярных в наши дни приспособлений для предсказания судьбы: магического шара 8 (Magic 8 Ball). Внутри шара, наполненного жидкостью, плавает икосаэдр с нанесенными на грани ответами на ваши вопросы. Вы задаете вопрос, трясете шар и, когда икосаэдр приближается к поверхности шара, читаете ответ. Диапазон ответов простирается от «бесспорно» до «даже не думай».

Если же вам нужны всего лишь честные игральные кости, то не нужно быть придирчивым из-за расположения граней. Например, в «Подземельях и драконах» есть игральная кость, представляющая собой две пирамиды с пятиугольными основаниями, соединенными друг с другом. Эта игральная кость имеет одинаковый шанс 1 из 10 приземлиться на любую из ее десяти треугольных граней. Она не является Платоновым телом, потому что вершина у макушки каждой из пирамид отличается от остальных вершин: в ней сходятся пять треугольников, в то время как в вершинах на соединенных основаниях сходится по четыре треугольника. Тем не менее данная игральная кость справедлива: она с равной вероятностью приземляется на каждую из своих десяти граней.

Математики исследовали, из каких других форм получатся честные игральные кости. Относительно недавно было доказано, что если у игральной кости по-прежнему остается какая-то симметрия, то в дополнение к Платоновым телам имеется 20 других форм плюс пять бесконечных семейств игральных костей.

Рис. 3.05. Симметричные формы, из которых получаются хорошие игральные кости

13 из этих дополнительных 20 форм связаны с теми, из которых выходят замечательные футбольные мячи, – Архимедовыми телами из главы 2. Напомним, что грани Архимедовых тел симметричны, но могут быть разной формы. Из них получаются хорошие мячи, но они не совсем подходят для игральных костей. У классического футбольного мяча 32 грани: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Не получится ли честная игральная кость, если просто написать на этих гранях числа от 1 до 32? Проблема состоит в том, что каждый пятиугольник имеет вероятность быть избранным приблизительно 1,98 %, в то время как каждый шестиугольник – приблизительно 3,81 %. Лишь в последнее десятилетие математики вывели точную формулу для вероятности того, что у игральной кости при ее приземлении наверху окажется какой-либо из пятиугольников. Впечатляющий геометрический расчет привел к следующему устрашающему ответу:

где r = ½ [2+sin²(π/5)] ^–1/2.

Архимедовы тела сами по себе не будут честными игральными костями, но их можно использовать для построения различных форм, которые предоставят на выбор азартных людей новые игральные кости. Ключевым является понимание того, что, хотя в Архимедовом теле грани могут быть разными, вершины в нем одинаковы. Далее используется прием под названием дуальность, переводящий вершины в грани и наоборот. Чтобы представить, какой будет грань у дуального (двойственного) многогранника, вообразите листы картона, помещенные в каждой вершине, затем нужно проследить за пересечением различных листов. Каждый лист картона должен быть ориентирован так, что он перпендикулярен линии, проходящей из центра формы в данную вершину. Например, дуальным многогранником к додекаэдру будет икосаэдр (рис. 3.06).

Процедура применения этого приема к Архимедовым телам приводит к 13 новым игральным костям. У классического футбольного мяча 60 вершин, и у игральной кости, получающейся при замене каждой вершины гранью, будет 60 граней, каждая из которых имеет форму не равностороннего, а равнобедренного треугольника (то есть только две стороны равны). Хотя этот многогранник, дуальный к классическому футбольному мячу, и не является Платоновым телом, каждая его грань имеет равный шанс 1 из 60 выпасть после подбрасывания, поэтому он будет честной игральной костью. Его техническое название пентакисдодекаэдр (рис. 3.07).

Любое из Архимедовых тел может быть сходным образом использовано для создания новой игральной кости. Наверное, самым впечатляющим является гекзакисикосаэдр. Поразительно, что даже с его 120 гранями, каждая из которых представляет неравносторонний прямоугольный треугольник, он будет другой честной игральной костью.

Бесконечные семейства игральных костей получаются благодаря обобщению идеи слепления вместе двух пирамид, основания которых могут иметь какое угодно число ребер. Хотя математики сумели разобраться во всем диапазоне честных игральных костей, у которых имеется симметрия, несимметричные формы, из которых получаются честные кости, по-прежнему окутаны тайной. Например, если я возьму октаэдр и обрежу немного одну вершину, а также противоположную ей вершину, то появятся две новые грани. Если я подкину эту форму, маловероятно, что она приземлится на одну из этих новых граней. Однако, если я отрежу бо́льшие куски от двух вершин, одна из двух новых граней скорее окажется внизу, чем восемь остающихся граней. Значит, должно быть некое промежуточное положение, когда при обрезании двух углов каждая из двух новых граней и первоначальных восьми будет выпадать с равной вероятностью, что создаст честную игральную кость с десятью гранями.

У этой формы не будет какой-либо приятной симметрии, как у игральных костей, получающихся из Архимедовых футбольных мячей, но она также будет честной игральной костью. Как свидетельство того, что у математики нет ответов на все вопросы, упомяну, что мы все еще не провели классификацию форм, которые представляют собой честные игральные кости, полученные подобным образом.