Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?

Прежде чем анализировать эту задачу, вы должны уяснить, что каждый раз, когда делаете ставку, вы, по существу, платите казино небольшой взнос за игру. Это станет понятно, когда вы усредните данные по всем своим выигрышам и проигрышам. Если вы ставите на 17 черное и выпадает это число, то казино возвращает вам вашу фишку и дает в придачу 35. Если бы на колесе рулетки было 36 чисел, то игра была бы справедливой, поскольку 17 черное в среднем выпадало бы один раз из 36. Так что, будь у вас 36 фишек и продолжай вы ставить на 17, то за 36 вращений колеса вы в среднем проигрываете 35 раз и один раз выигрываете, в результате вы остаетесь с теми же 36 фишками, с которыми начали игру. Но на самом деле на европейской рулетке 37 чисел, на которые можно делать ставки (от 1 до 36 и 0, который ни черный, ни красный), но казино платит вам выигрыш, как будто на колесе 36 чисел.

Поскольку на колесе 37 чисел, каждый раз, когда вы ставите £ 1, казино зарабатывает 1/37 × £ 1, что приблизительно составляет 2,7 пенса. Время от времени казино приходится делать большие выплаты какому-то игроку, но в конечном счете оно будет зарабатывать деньги благодаря законам вероятности. А в США шансы игроков еще более неблагоприятны, поскольку там на колесе рулетки 38 чисел: от 1 до 36, а также 0 и 00. Мы уже видели, что ставка на одно число обходится вам в конечном счете в 2,7 пенса. Но вы не обязаны ставить на одно число: вы можете, например, делать ставки, что число будет красное или черное, четное или нечетное, или в диапазоне от 1 до 12. Ваши шансы можно рассчитать таким же способом: по существу, какую бы ставку вы ни делали, она обойдется вам в 2,7 пенса за вложенный £ 1.

Итак, что же вам делать, чтобы повысить ваш шанс удвоения денег? Начнем с того, что, поскольку вы платите за каждую игру, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы играть как можно меньше раз. Есть вероятность 18/37, чуть меньше 50 %, что вы уйдете, удвоив свои деньги. Так что, пусть это и будет короткий визит в казино, наилучшая стратегия состоит в том, что поставить все свои деньги на красное одним махом. Вероятность удвоения денег, если вы будете ставить одну фишку за фишкой, составляет

и у вас получается шанс 25,3 %. Значит, вы уменьшаете ваши шансы в 2 раза, если будете ставить каждый раз одну фишку.

Но в каком казино и каким образом лучше всего играть в рулетку? Некоторые заведения при выпадении 0 применяют правило en prison и возвращают вам половину вашей ставки, если вы поставили на красное. По сути это означает, что ваши шансы более благоприятны – в рулетку в таком казино играть дешевле.

При достаточно долгой игре она обойдется вам в

что нужно сопоставить с 2,7 пенса, которые требуется заплатить за какую-либо другую ставку на столе. Итак, если казино использует правило en prison, то при достаточно долгой игре стоимость ставки на красное/черное составляет половину стоимости других ставок.

Вместо того чтобы вернуть назад половину вашей ставки при выпадении 0, казино может предложить вам другой вариант: вы заключаете вашу ставку en prison. Тогда крупье кладет на ставку фишку еn prison – и при выпадении красного при следующем розыгрыше вы получаете прощение и казино возвращает вам вашу ставку (но без какого-либо выигрыша). В ином случае вы теряете свою ставку. Поскольку вероятность того, что вы получите назад свои деньги, составляет 18/37 (чуть меньше 50 %), то вам будет лучше взять половину своих денег, если представится такая возможность, чем заключать вашу ставку в тюрьму и надеяться на выпадение красного.

Итак, очевидно, что обстоятельства складываются не в вашу пользу. Но существует ли какой-нибудь математический прием, чтобы обыграть казино? Вот идея стратегии, называемой мартингейлом. Начните с того, что поставьте одну фишку на красное. Если выпадет красное, вы вернете вашу фишку и в придачу к ней получите еще одну фишку. Если красное не выпадет, то поставьте в следующем раунде две фишки на красное. Если при розыгрыше выпадет красное, то вы вернете свои две фишки и плюс к ним еще две. Вы потеряли одну фишку при первой ставке, так что теперь ваш выигрыш составляет одну фишку. Если же и во второй раз не выпадет красное, то в следующий раз поставьте четыре фишки. Если выпадет красное, то вы получите четыре фишки сверх вашей ставки. Но вы уже проиграли одну фишку в первом раунде, две фишки во втором, поэтому ваш выигрыш составляет… одну фишку.

Данная система игровых ставок состоит в том, что вы каждый раз удваиваете их, пока не выпадет красное. Ваш итоговый выигрыш всегда будет составлять одну фишку, потому что, если красное выпадет в раунде N, то ваш выигрыш в данном раунде будет составлять 2^N – 1фишек (поставленное вами количество), но в предыдущих N – 1 раунде вы потеряли L = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^N – 2 фишек. Вот эффективный способ сосчитать, насколько велик ваш проигрыш L. Разумеется, L равен 2L – L. Но как можно переписать 2L?

Все числа из первой пары скобок (кроме 2^N – 1) появляются во второй паре скобок, вот почему они исчезают из ответа! (Мы уже встречались с данным вычислением, когда складывали рисинки на шахматной доске в нашем поиске простых чисел в главе 1.) Итак, вы выиграли 2^N – 1 фишек, а проиграли 2^N – 1 – 1. Ваш итоговый выигрыш будет составлять одну фишку.

Конечно, это немного, но данная система ставок на первый взгляд гарантирует вам выигрыш – в конце концов, когда-то ведь должно выпасть красное, не так ли? Так почему же игроки не извлекают свою выгоду в казино, пользуясь этой стратегией? Одна проблема состоит в том, что вам необходимы бесконечно большие финансовые возможности, чтобы гарантировать выигрыш, потому что существует теоретическая возможность того, что всю ночь будет выпадать черное за черным. И, даже если у вас была целая гора фишек, повторяющееся удвоение вашей ставки может очень быстро исчерпать ваш запас (как и в случае рисинок). Кроме того, в большинстве казино устанавливается порог максимальной ставки, именно для того, чтобы не дать игрокам использовать эту стратегию. Например, если максимальная ставка составляет 1000 фишек, ваша стратегия даст сбой после десяти раундов, потому что в одиннадцатом вам нужно будет поставить 2¹⁰ = 1024 фишки, что уже превосходит порог.

Но даже при наличии максимальной ставки многие игроки поддаются заблуждению, полагая, что если черное выпало восемь раз кряду, то вероятность того, что в следующий раз выпадет красное, должна возрасти. Конечно, шанс увидеть восемь черных кряду довольно невелик, он составляет 1 из 256. Но это никоим образом не увеличивает шанс того, что в следующем раунде выпадет красное: он по-прежнему будет пятьдесят на пятьдесят. Как и у подкидываемой монеты, у колеса рулетки нет памяти.

Если вы хотите сыграть в рулетку, то помните, что говорит математика вероятности: в конечном счете заведение всегда выигрывает – хотя мы увидим в главе 5, что существует возможность использовать другую математику, которая посодействует вам в получении миллионов. Если вы не любите покер или рулетку, то вам может подойти стол для крэпса. Как мы сейчас увидим, у игральных костей очень долгая история.