Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов
Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.
Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.
Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.
Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2N карт (число должно быть четным) вернулись к исходному положению?
Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2N – 1, и вы увидите, что совершенная тасовка, по существу, удваивает номер карты. Карта 1 (которая на самом деле является второй картой в колоде) становится картой 2. После еще одной совершенной тасовки она становится картой 4, затем картой 8. Математика будет проще, если мы припишем первой карте номер 0.
Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2N – 1. Так, колода с 52 картами соответствует циферблату с делениями от 1 до 51. Если вы хотите знать, куда переместилась карта 32, то удвойте 32. Это означает, что вы стартуете с 32-го часа и отсчитываете 32 часа вперед, что приводит вас к 13 часам. Чтобы понять, сколько раз нужно сделать совершенную тасовку для возвращения всех карт к исходному положению, я должен понять, сколько раз я должен удвоить числа на циферблате для их возвращения к первоначальной позиции. В действительности я должен проследить за числом 1 и понять, сколько раз я должен удвоить его, чтобы вернуться к 1. Вот что происходит на циферблате с 51 часом при последовательном удвоении 1:
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 13 → 26 → 1
То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.
Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2N карт, чтобы те приняли первоначальное положение? Пьер де Ферма доказал, что если 2N – 1 является простым числом и вы будете продолжать удваивать числа на циферблате с 2N – 1 часом, то после 2N – 2 удвоений числа обязательно вернутся на прежнее место. Итак, для колоды из 54 карт, поскольку 54 – 1 = 53 является простым числом, 52 совершенных тасовок будет наверняка достаточно.
Однако в случае, когда 2N – 1 не является простым, нам понадобится несколько более сложная формула для расчета количества необходимых совершенных тасовок. Если 2N – 1 = p × q, где p и q – простые числа, то (p – 1) × (q – 1) совершенных тасовок будет заведомо достаточно, чтобы колода приняла свой прежний вид. Так, для колоды из 52 карт, поскольку 52–1 = 3 × 17, наверняка хватит (3–1) × (17–1) = 2 × 16 = 32 совершенных тасовок. Но в действительности вам достаточно совершить лишь 8 таких манипуляций. (В следующей главе я докажу этот фокус Ферма и объясню, что та же самая математика лежит в основе шифров, которые должны защищать секреты в интернете.)
Подсказка для покера
В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).
Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.
Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.
