ДРОБИ

В главе, посвященной делению, мы либо использовали числа, которые делятся полностью, либо оставляли неразделенный остаток. Когда числа необходимо делить на части без остатка, все становится гораздо любопытнее. В таком случае понадобятся дроби, простые или десятичные. Иногда лучше иметь дело с одним видом дробей, иногда с другим — все зависит от ситуации.

Простая дробь — это непосчитанная операция деления. Например, выражение 4 ÷ 7 можно записать как 4/7 (четыре седьмых). У этого подхода есть как приятная сторона — не надо выполнять деление, так и неприятная — вместо одного числа придется иметь дело с двумя.

Сокращение дробей

Предположим, у вас есть пицца с пепперони, разрезанная на восемь частей. Это можно записать как 1 ÷ 8, то есть каждая часть составляет 1/8 (одну восьмую) от всей пиццы. Если вы съедите шесть кусков, получится, что вы съели 6/8 (шесть восьмых) пиццы.

6/8 — вполне нормальная дробь, но вы вряд ли где-нибудь ее встретите, и вот почему:

Из рисунка следует, что 6/8 — то же самое, что и 3/4, поскольку две восьмые вместе составляют одну четверть, а значит, шесть восьмых составят три четверти.

Если у вас под рукой нет пиццы, посмотрим, как это происходит с числами. Начнем с дроби 6/8 и постараемся отыскать число, на которое делятся обе ее части, верхняя и нижняя.

Если умножить или разделить верхнюю и нижнюю часть дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится.

Звучит немного странно, однако все, что мы сейчас сделали, — это разделили верхнее и нижнее число дроби на одно и то же число 2, превратив 6/8 в 3/4. Если же вы решите умножить верхнее и нижнее число дроби, скажем на 6, по какой-то непонятной причине (скоро мы увидим, в чем она заключается), то получится 3/4 = 18/24.

И это совершенно нормально, ведь если ваша пицца разрезана на 24 куска и вы съедите 18, количество съеденного все равно останется тем же, просто куски стали гораздо меньше.

Уменьшение чисел в обеих частях дроби называется сокращением и, как правило, улучшает вашу жизнь. Предположим, у вас есть вегетарианская пицца, и какой-то маньяк искромсал ее на 84 куска. Вы съели 70, это сколько от общего количества? Получается дробь 70/84, которая не укладывается у вас в голове, поэтому снова ищем число, чтобы поделить на него верх и низ дроби. Поскольку числа вверху и внизу дроби четные, они делятся на 2. Получив 35/42, мы видим, что оба числа делятся на 7, и теперь нам становится ясно, что вы съели 5/6 вегетарианской пиццы.

И наконец, главный вопрос: какой пиццы вам досталось больше?

Сравнение, сложение и вычитание дробей

Итак, хотелось бы знать, что больше — 3/4 или 5/6?

(Числа тут довольно простые, так что ответ для вас может быть очевиден. От пиццы с пепперони осталась четверть, а от вегетарианской пиццы — одна шестая. Одна шестая меньше, чем четверть, так что вегетарианской пиццы вы съели больше.)

Если хотите, чтобы все соответствовало математическим правилам, тогда нужно сделать так, чтобы у обеих дробей, 3/4 и 5/6, внизу стояло одно и то же число. Самый надежный способ — взять каждую дробь и умножить ее верхнее и нижнее число на нижнее число другой дроби. (Если придерживаться терминов, то верхнее число дроби называется числителем, а нижнее — знаменателем.)

Итак, мы выяснили, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Следовательно, 5/6 больше, чем 3/4. (Еще дроби можно сравнивать, преобразуя их из простых в десятичные, см. раздел .)

Другой вопрос, который может вас заинтересовать, — сколько пиццы вы съели в общей сложности? Если это 3/4 пиццы с пепперони и 5/6 вегетарианской, значит, нужно сложить 3/4 и 5/6.

Проблема в том, что четвертые и шестые части — не одно и то же, поэтому так запросто их складывать нельзя. Нужно преобразовать их в дроби с одинаковым знаменателем. К счастью, мы это уже сделали, выяснив, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Когда знаменатели одинаковы, числители можно сложить так, как будто мы порезали каждую пиццу на 24 куска.

Обратите внимание: когда мы закончили перекладывать куски пиццы, 38/24 превратились в 1 и 7/12. Подозрительно, не правда ли? Уверен, вы не помните, чтобы ели ровно 7 каких-либо частей и уж точно не 12-х, но тем не менее это правильный ответ.

Вычитание дробей производится аналогичным образом. Вот чему равно 2/3 – 3/5 на примере все тех же двух пицц.

Смешанные числа и неправильные дроби

Смешанное число — это целое число с дробью, например .

Неправильной называют дробь, числитель которой больше знаменателя, например 13/2 (кстати,  = ).

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте его целую часть на знаменатель и прибавьте результат к числителю. Запутались? Пора снова браться за пиццы...

Чтобы преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число, относитесь к ней как к операции деления. Конвертируем 7/3: 7 ÷ 3 = 2 и 1 в остатке. В ответ идет 2 целых, а 1 остается над тройкой, что дает 2 .

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби обычно облегчает их умножение и деление, в чем мы сейчас убедимся.

Умножение дробей и значение слова «от»

Складывать и вычитать дроби бывает неудобно, но, к счастью, с умножением и делением все обстоит гораздо проще.

Умножение дробей часто скрывается за словом «от». Если вы говорите «три четверти от двенадцати», на самом деле вы имеете в виду 3/4 × 12. При умножении целого числа на дробь нуж­но выполнить две операции: умножить число на числитель и разделить на знаменатель. Вот как это будет выглядеть для 3/4 × 12.

Чтобы перемножить две дроби, нужно просто перемножить их верхние и нижние части.

Предположим, вы каждые субботу и воскресенье по 7 часов наблюдаете за птицами. Какая это будет часть от целой недели? Суббота и воскресенье составляют 2/7 недели, а поскольку в сутках 24 часа, вы тратите 7/24 от них, пытаясь выследить пеструю камышовку или хохлатого зяблика. Получается выражение

Наверное, вы заметили, что 14 и 168 делятся на 14, что даст в результате 1/12. А не лучше ли вообще не связываться с такими большими числами? При умножении дробей всегда стоит поискать возможность их по ходу дела сократить. Самое оптимальное — найти одно и то же число в числителе и знаменателе дробей, потому что тогда эти числа взаимно уничтожаются.

Вернемся к выражению

Взгляните на две семерки: вверху дроби и внизу. Подсчитав верхнюю и нижнюю части дроби, мы в итоге придем туда, откуда начали, то есть 14/168. Вместо этого зачеркнем обе семерки и заменим их единицами. Давайте посмотрим, что еще можно сделать.

Итак, теперь вы знаете, что тратите двенадцатую часть недели на наблюдения за птицами. Это соответствует одной минуте из каждых 12 минут вашей жизни или же целому месяцу в год! (Если вы начнете высчитывать дроби для всех своих регулярных занятий, например для хобби или поездок на работу, результаты могут вас шокировать. К примеру, большинство людей проводят в ванной комнате около 10 дней в году.)

Есть одна старая математическая головоломка, которую время от времени перепечатывают в газетах. Сколько будет 9/10 × 8/9 × 7/8 × 6/7 × 5/6 × 4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2? Тот, кто решает это опубликовать, наверняка сидит в своем кабинете, поглаживая белую кошку, и демонически хохочет, предвкушая, как читатели засядут за вычисления. Однако не тут-то было: эти числа взаимно уничтожаются, и в итоге остается 1/10.

Деление на дробь

Чтобы поделить что-либо на число или на дробь, просто переверните число или дробь вверх ногами и вместо деления умножайте.

Звучит безумно, но, отправившись в гости к своей тетушке, вы поймете, в чем тут дело. Тетя живет в 10 милях от вас, и вы проехали половину пути — сколько это миль? Требуется вычислить «половину от десяти», и это «от» означает, что нужно умножить: 10 × 1/2. Разумеется, тот же ответ вы получите, если разделите 10 на 2.

Целые числа можно записывать как дроби с единицей внизу, тогда наше выражение можно представить как ×  = ÷ . То есть делить на 2 или на 2/1 — это то же самое, что и «перевернуть 2 вверх ногами» и умножать на 1/2.

К задачам, которые связаны с делением на дроби, нужно подходить с умом. Положим, вы обзавелись кучей стульев и знаете, что на покраску одного стула уходит 2/3 банки краски (да, это очень маленькие банки). Если банок у вас 8, сколько всего стульев удастся покрасить?

Быстренько прикинем, что здесь к чему. Представим, что вы красите столы, и на каждый уходит 2 банки краски, а всего банок 8. Сколько столов получится покрасить? Считаем: 8 ÷ 2 = 4 стола.

Обратите внимание: мы делим на количество банок, которое уходит на покраску одного стола. Со стульями то же самое: нужно делить на количество банок, которое требуется на каждый стул. Таким образом, число стульев, которые удастся покрасить, будет равно 8 ÷ 2/3. Чтобы посчитать, сколько это, перевернем 2/3 вверх ногами и умножим.

Итак, восьми банок хватит на 12 стульев. Обратите внимание, что после деления на правильную дробь число становится больше, чем было вначале.

Получив такой ответ, убедитесь, что он соответствует действительности. Если на каждый стул нужно 2/3 банки, тогда одной банки хватит на покраску одного стула и еще немного краски останется. Значит, имея 8 банок, вы точно покрасите 8 стульев плюс еще несколько, так что ответ 12 выглядит вполне резонным.

Рыбья проблема

Прежде чем закончить с дробями, давайте-ка из чисто мазохистских побуждений решим по-настоящему зверскую задачку. Сколько бочек нефти понадобится, чтобы доверху наполнить бассейн для рыбок?

Сначала сделаем грубую прикидку решения! Это позволит понять, каким должен быть ответ, и заодно поможет правильно составить выражение. В нефтяную бочку помещается около 10 ведер. Чтобы наполнить бассейн, нужно примерно 80 ведер. Значит, количество бочек приблизительно составит 80 ÷ 10 = 8. Что ж, похоже на правду.

Теперь перейдем к точным значениям. Вместо 80 ÷ 10 посчитаем, сколько будет

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: и . Осталось лишь вы­числить . Что ж, поехали…

Наш ответ: бочек нефти. Это похоже на грубо посчитанный результат (8), так что можем не волноваться. А еще можем упиваться радостью, триумфом и самодовольством.

Отправить