В отличие от европейского опциона, который может быть исполнен лишь в конце своего срока действия, американский опцион может быть исполнен в любой момент на протяжении этого срока.

Один из способов оценки американских опционов заключается в использовании для этого биномиальных деревьев. Рассмотрим метод на примере вычисления цены американского колл-опциона на бездивидендную акцию.

Период действия опциона разобьем на малые отрезки времени длины dT. Предположим, что на каждом таком отрезке цена акции может от своего начального значения S либо с вероятностью p вырасти до Su, u > 1, либо с вероятностью 1 − p упасть до Sd, d < 1. Предположим также, что u = 1/d, т. е. последовательные движения цены акции сперва вверх, а затем вниз компенсируют друг друга.

Значения u и p определяются из вероятностных соображений. В модели Блэка – Шолца цена акции в момент времени t + dT S(t + dT) есть логнормальная случайная величина с параметрами (lnS + (r – σ²/2) × dT, σ × √dt), где S – цена акции в момент t. Исходя из этого можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины S(t + dT), которые оказываются равными S × e^{r × dT} и S² × e^{2r × dT} (e^{σ² × dT} − 1) соответственно.

В рассматриваемой нами модели S(t+dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью p, равную Su, и с вероятностью 1 − p, равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu + (1 − p)Sd, а дисперсия pS²u² + [(1 − p)S²d² – S²(pu + (1 − p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих двух случайных величин – дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для u, p и d с большой степенью точности выполняются равенства

Зная значения u и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.

В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени – S, i-й ярус дерева соответствует моменту времени i × dT и содержит i + 1 возможную цену акции в этот момент S × u^j × d^{i − j}, j = 0… Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т. е. от момента исполнения к начальному моменту времени.

В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) – K)]. Зная цену опциона на (s + 1) – м ярусе, можно найти его цену на s-м ярусе, т. е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.

Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud – X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A = max(Su − K,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью p он будет стоить X и с вероятностью (1 − p) – Y, а значит, дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть B=e^−r×dT × (p × X + (1 − p) × Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна max(A,B).

Двигаясь от яруса к ярусу по этому алгоритму, мы в конечном итоге найдем интересующую нас цену опциона в начальный момент времени.

На практике для установления точной цены достаточно 19–21 итераций (ветвей дерева). Дальнейшие итерации незначительно уточняют цену, но замедляют расчеты.

В случае опционов на валюту роль непрерывно начисляемых дивидендов играет ставка доходности в валюте – rf. Формула для цены опциона на валюту получается из формулы цены опциона колл на акцию с дивидендами (см. приложение I) простой заменой q на rf.

Стоимость опциона пут на валюту равна:

Здесь S₂ – текущий курс валюты, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

В теории хеджирования с использованием опционов на валюту, в дополнение к имеющимся «грекам» рассматривается производная цены опциона по ставке доходности в валюте – rf. Этот параметр называется Phi и вычисляется по следующей формуле:

До настоящего времени мы говорили о цене опционов на спот. При оценке опциона на фьючерс используется только безрисковая ставка, которая играет роль ставки доходности. Формула для цены имеет следующий вид:

Стоимость опциона пут на фьючерс равна

Здесь F – текущая цена фьючерса, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

В этой табл.:

K – цена исполнения опциона;

S, S₁ – цена акции;

S₂ – курс валюты;

F – цена фьючерса на акцию, облигацию, нефть, металлы;

G – цена золота;

r – безрисковая ставка доходности;

q – непрерывная ставка дивидендов;

rf – ставка доходности в валюте;

rl – lease rate (ставка за заем физического золота);

d1, d2 – рассчитываются для каждого типа опциона по соответствующим формулам.