Звездное небо над нами и плиточный пол у нас под ногами

В конечном счете, именно ради понимания мы и затеяли всю науку, а наука – это все же нечто большее, нежели просто бездумное вычисление.

Роджер Пенроуз (р. 1931)

Запутанная история золотого сечения началась в VI веке до нашей эры и дошла до сегодняшнего дня. Эти двадцать шесть столетий пронизаны двумя основными нитями повествования. Я имею в виду, с одной стороны, пифагорейский девиз «Все есть число», который поразительным образом воплощается в действительность в самом буквальном смысле – в той роли, которую играет золотое сечение в природе, от филлотаксиса до формы галактик, – а с другой стороны, пифагорейскую одержимость символическим значением правильного пятиугольника, которая преобразилась в ложное, по моему мнению, представление, что золотое сечение – это универсальной канон идеала красоты. После всего этого читатель вправе задаться вопросом, стоит ли и дальше исследовать это простое, на первый взгляд, правило разделения отрезка.

Мощенная плитками дорога к квазикристаллам

Голландский художник Ян Вермеер (1632–1675) знаменит своими поразительными, чарующими жанровыми полотнами, на которых, как правило, изображены один-два человека за повседневными делами. На многих этих картинах слева от зрителя расположено окно, которое освещает комнату мягким светом, и отражение этого света от плиток на полу оставляет впечатление подлинного волшебства. Если пристально рассматривать эти картины, окажется, что на многих из них – в частности, я имею в виду картины «Концерт», «Дама, пишущая письмо, со своей служанкой», «Любовное письмо» (рис. 92, хранится в Государственном музее в Амстердаме) и «Аллегория живописи» (рис. 93, хранится в Музее истории искусств в Вене) – изображен пол с одним и тем же плиточным узором из черных и белых квадратов.

Рис. 92

Рис. 93

Если хочешь получить покрыть плитками весь пол и получить при этом повторяющийся через равные промежутки узор, то мостить полы удобнее всего именно квадратами, равносторонними треугольниками и правильными шестиугольниками, и это называется «периодическое замощение» (рис. 94). Простые, ничем не украшенные квадратные плитки и узоры, которые они образуют, обладают четырехсторонней симметрией: если повернуть их на четверть круга, то есть на 90 градусов, они останутся прежними. Подобным же образом плитки в виде равносторонних треугольников обладают трехсторонней симметрией (они остаются прежними при повороте на треть круга, то есть на 120 градусов), а плитки в виде правильных шестиугольников – шестисторонней симметрией (то есть остаются прежними при повороте на шестую часть круга, на 60 градусов).

Рис. 94

Рис. 95

Однако периодические замощения возможны и при помощи более сложных геометрических фигур. Например, крепость Альгамбра в Гренаде, один из самых потрясающих памятников мусульманской архитектуры, отделана разнообразными сложными узорами из плиток (рис. 95). Некоторые из них даже вдохновили знаменитого голландского графика М. К. Эшера (1898–1972), и он создал множество весьма изысканных узоров-замощений (например, рис. 96), которые называл «разбиением плоскости».

Рис. 96

Теснее всего из всех геометрических фигур с золотым сечением связан, конечно, правильный пятиугольник, обладающий пятисторонней симметрией. Однако одними правильными пятиугольниками плоскость не замостишь, периодического узора не получится. Сколько ни старайся, останутся незаполненные промежутки. Поэтому долгое время считалось, что невозможно создать замощение с крупномасштабной упорядоченностью (так называемым «дальним порядком»), обладающее пятисторонней симметрией. Однако Роджер Пенроуз в 1974 году обнаружил два основных набора плиток, при помощи сочетания которых можно замостить плоскость целиком, соблюдая при этом «запретную» пятистороннюю симметрию. Получившиеся узоры не строго периодичны, хотя и обладают дальним порядком.

Мозаики Пенроуза, можно сказать, сплошь построены на золотом сечении. Одна из пар плиток, которые рассматривал Пенроуз, состоит из двух фигур под названием «дротик» и «змей» (рис. 97, a и b соответственно). Обратите внимание, что обе фигуры состоят из двух равнобедренных треугольников, входящих в состав правильного пятиугольника (рис. 25). Треугольник, у которого отношение стороны к основанию равно φ, – это так называемый золотой треугольник (рис. 97, b), а треугольник, у которого отношение стороны к основанию равно 1/φ, – это золотой гномон (рис. 97, a). Эти фигуры можно получить, если разделить в золотом сечении длинную диагональ ромба с углами 72 и 108 градусов (рис. 98).

Рис. 97

Рис. 98

Пенроуз и принстонский математик Джон Хортон Конвей показали, что для того, чтобы замостить плоскость змеями и дротиками непериодическим образом, как на рис. 99, нужно соблюдать определенные правила сочетаемости. Для этого удобно наносить на стороны фигур «метки» в виде выступов и пазов, как на кусочки паззла (рис. 100). Далее Пенроуз и Конвей доказали, что змеи и дротики могут непериодически заполнять плоскость бесконечным множеством способов, поскольку каждый узор можно окружить любым другим узором и таким образом создать третий, отличающийся от первых двух. Одно из самых поразительных свойств любой мозаики Пенроуза из дротиков и змеев состоит в том, что количество змеев примерно в 1,618 раз больше количества дротиков. То есть, если мы обозначим количество змеев как N_змеев, а количество дротиков как N_{дротиков}, то чем больше площадь, тем ближе отношение N_змеев / N_{дротиков} к числу φ.

Рис. 99

Рис. 100

Другая пара Пенроуза, непериодически заполняющая плоскость целиком, состоит из двух ромбов, «толстого» и «тонкого» (рис. 101). Как и пара «змей-дротик», каждый из ромбов состоит из двух золотых треугольников или двух золотых гномонов (рис. 102), и при замощении плоскости нужно соблюдать определенные правила сочетаемости, для удобства чего на нашем рисунке стороны и углы ромбов помечены и разрисованы (рис. 103), и тогда получается узор, заполняющий всю плоскость, как на рис. 4. Опять же «толстых» ромбов на замощение большой площади идет в 1,618 раз больше, чем «тонких», и N_{толстых} / N_тонких = φ. «Толстые» и «тонкие» ромбы теснейшим образом связаны со змеями и дротиками, а обе эти пары – посредством золотого сечения – с системой пятиугольника-пентаграммы.

Рис. 101

Рис. 102

Рис. 103

Рис. 104

Вспомним, что интерес пифагорейцев к золотому сечению начался с бесконечной череды вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пентаграмм – как на рис. 105. На этом чертеже спрятаны все четыре плитки Пенроуза. Точки B и D отмечают противоположные дальние углы змея DCBA, а точки A и C – «крылышки» дротика EABC. Аналогичным образом можно найти на рисунке и «толстый» ромб AECD, и «тонкий» (в меньшем масштабе) ABCF.

Рис. 105

Пенроуз продолжил изыскания в области мозаик и в трехмерном пространстве. Двумерные плитки замощают плоскость, а трехмерные «кирпичи» заполняют пространство. В 1976 году математик Роберт Амманн обнаружил пару «кирпичей» (рис. 106), «сплюснутый» и «растянутый», так называемые ромбоэдры, которыми можно заполнить пространство без промежутков. Более того, Амманн сумел доказать, что при наличии набора правил о сочетаемости граней получается непериодический узор, обладающий симметрическими свойствами икосаэдра (Рис. 20, e; это эквивалент пятисторонней симметрии в трех измерениях, поскольку на каждой вершине сходятся пять симметричных ребер). Не стоит удивляться, что эти два ромбоэдра – это золотые ромбоэдры, и их грани идентичны ромбам в плитках Пенроуза (рис. 101).

Рис. 106

Плитки Пенроуза так и держались бы в относительной тени, оставшись уделом занимательной математики, если бы не сенсационное открытие 1984 года. Израильский инженер, специалист по сопротивлению материалов Дан Шехтман с коллегами обнаружили, что кристаллы сплава марганца и алюминия обладают и дальним порядком, и пятисторонней симметрией. Это был настоящий переворот в кристаллографии: примерно такой же сенсацией для зоологов стало бы обнаружение стада пятиногих коров. Физики-твердотельщики и кристаллографы много десятков лет пребывали в убеждении, что твердые тела могут принимать лишь две основные формы – или полностью периодические кристаллы, структура которых строго упорядочена, или совершенно аморфные тела. В упорядоченных кристаллах, например, в привычной нам поваренной соли, атомы или группы атомов составляют узор, который в точности повторяется, и эти повторяющиеся узоры называются элементарными ячейками и формируют периодические структуры. Например, в случае соли элементарная ячейка – куб, каждый атом хлора окружен соседними атомами натрия и наоборот, каждый атом натрия оказывается окружен атомами хлора (рис. 107). Это очень похоже на идеально замощенный плитками пол: положение и ориентация каждой элементарной ячейки однозначным образом определяет общий узор. А в аморфных материалах, например, в стекле, атомы совершенно дезорганизованы. Считалось, что раз периодически замостить плоскость без промежутков могут только фигуры вроде квадратов – с четырехсторонней симметрией, – равносторонних треугольников – с трехсторонней симметрией, – и правильных шестиугольников – с шестисторонней симметрией, значит, в природе существуют исключительно кристаллы с двух-, трех-, четырех– и шестисторонней симметрией. Кристаллы Шехтмана вызвали совершеннейшую оторопь, поскольку обладали не просто строго упорядоченной структурой, как периодические кристаллы, но и пятисторонней (икосаэдральной) симметрией. До этого открытия мало кто подозревал, что возможно состояние материи, обладающее важными свойствами как кристаллических, так и аморфных субстанций. Новую разновидность кристаллов (после открытия Дана Шехтмана были найдены и другие сплавы алюминия) называют теперь квазикристаллами: они не аморфны, как стекло, но и не совсем периодичны, как соль. Иначе говоря, эти необычные материалы обладают теми же свойствами, что и мозаики Пенроуза! Однако от этого понимания как такового физикам нет особого толка: они хотят разобраться, как и почему формируются квазикристаллы. Правила сочетаемости Пенроуза и Амманна в данном случае не более чем хитроумное математическое упражнение, которое вовсе не объясняет поведения атомов или групп атомов в природе. В частности, трудно представить себе энергетическую конфигурацию, допускающую существование двух типов групп атомов (подобно двум ромбоэдрам Аммана) именно в той пропорции, которая обеспечивает наблюдаемую плотность.

Рис. 107

Вероятное объяснение было найдено в 1991 году, когда математик Сергей Емельянович Бурков из Института теоретической физики им. Ландау в Москве обнаружил, что для квазипериодического замощения плоскости не обязательно нужны плитки двух видов. Бурков доказал, что квазипериодичности можно добиться даже при помощи одной плитки десятиугольной формы, если допустить, чтобы плитки перекрывались: такое свойство ранее не допускалось при замощениях плоскости. Пять лет спустя немецкий математик Петра Гуммельт из Университета имени Эрнста Морица Арндта в городе Грайфсвальд убедительно доказала, что мозаику Пенроуза можно получить при помощи одного «раскрашенного» десятиугольника в сочетании с конкретным правилом, допускающим перекрывание: два десятиугольника могут накладываться друг на друга, только если при этом перекрываются темные участки рисунка (рис. 108). Этот десятиугольник также имеет прямое отношение к золотому сечению: радиус круга, в который вписан правильный десятиугольник со стороной 1, равен φ.

Рис. 108

Работа Гуммельт позволила, наконец, преобразовать математику в физику. Физики Пол Стейнхардт из Принстонского университета и Хён-Цай Джун из Университета Седжун в Сеуле показали, что чисто математические законы перекрывания плиток вполне можно перевести в физическую картину, где «квазиединичные ячейки» представляют собой группы атомов, просто обладают общими атомами. Стейнхардт и Джун предположили, что квазикристаллы – это структуры, где идентичные группы атомов, то есть квазиединичные ячейки, делят некоторые атомы с соседками, а узор, который при этом образуется, обеспечивает максимальную плотность. Иначе говоря, квазипериодическая упаковка порождает систему более стабильную (больше плотность, меньше энергия), чем любая другая. В 1998 году Стейнхардт, Джун и их коллеги попытались экспериментально подтвердить свою модель. Они бомбардировали квазикристаллический сплав алюминия, никеля и кобальта рентгеновскими и электронными лучами. Полученные в результате рассеяния лучей изображения поразительно соответствовали картине перекрывающихся десятиугольников. Это видно на рис. 109, где на получившийся результат наложили узор из десятиугольных плиток. Последующие эксперименты, однако, дали не такой однозначный результат. Тем не менее, сохраняется общее впечатление, что модель Стейнхардта-Джонга объясняет устройство квазикристаллов.

Рис. 109

Рис. 110

Изображения поверхности квазикристаллов, сделанные в 1994 и 2001 году, продемонстрировали еще одно чудесное свойство, которое связывает их структуру с золотым сечением. При помощи сканирующего туннельного микроскопа ученые из Базельского университета в Швейцарии и лаборатории Университета штата Айова в городе Эймс сумели получить высококачественные изображения поверхности квазикристаллов из сплава алюминия, меди и железа и алюминия, палладия и марганца. На изображениях видны плоские «террасы» (рис. 110), которые спускаются либо высокими, либо низкими ступеньками (конечно, и те, и те измеряются стомиллионными долями дюйма). Так вот, оказалось, что отношение этих высот равно золотому сечению!

Квазикристаллы – великолепный пример того, как какая-то концепция начиналась в сфере чистой математики (была основана на золотом сечении), а потом оказалось, что она объясняет самый что ни на есть реальный природный феномен. Но самое поразительное даже не это, а то, что – в данном конкретном случае – начало концепции было положено в сфере занимательной математики. Как математикам удалось «предвосхитить» грядущие открытия физиков? Этот вопрос становится еще более интересным, если вспомнить, что пятисторонней симметрией интересовались еще Дюрер и Кеплер в XVI и XVII веке. Так, может быть, даже самые отвлеченные математические темы когда-нибудь найдут воплощение в объяснении природных явлений или в творениях рук человеческих? К этому вопросу мы вернемся в главе 9.

Еще одна удивительная деталь в истории с квазикристаллами – это личности двух теоретиков, которые их исследовали. И Пенроуз, и Стейнхард по большей части занимались космологией, изучали Вселенную в целом. Пенроуз – это тот самый ученый, который обнаружил, что общая теория относительности Эйнштейна предсказывает свои собственные особые точки, где сила тяжести становится бесконечной. Эти математические сингулярности соответствуют космическим объектам, которые мы называем черными дырами – объектам столь огромной массы, что она сжимается до неимоверной плотности и ее гравитации становится достаточно, чтобы не выпускать из черной дыры ни свет, ни массу, ни энергию. В последние четверть века наблюдения показали, что черные дыры – отнюдь не воображаемая теоретическая концепция, а самые что ни на есть реальные космические объекты. Недавние наблюдения двух крупных космических обсерваторий – космического телескопа им. Хаббла и рентгеновской обсерватории «Чандра» – показали, что черные дыры даже не так уж редки. Более того, в центре большинства галактик таятся исполинские черные дыры с массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов масс нашего Солнца. Наличие черных дыр определяется по гравитационному воздействию, которое они оказывают на звезды и газ, расположенные по соседству. Согласно общепринятой теории Большого Взрыва, которая описывает происхождение всей нашей Вселенной, мироздание в целом начало расширяться именно с такой сингулярности – с состояния необычайно высокой плотности и температуры. Пол Стейнхардт был одним из главных действующих лиц при разработке так называемой инфляционной модели Вселенной. Согласно этой модели, которую первым предложил физик Алан Харви Гут из Массачусетского технологического института, когда возраст Вселенной составлял всего крошечную долю секунды (если точно, то 0,000…1 с, где 1 стоит на 35 месте после запятой), она претерпела фантастически стремительное расширение, увеличившись в размере более чем в 10³⁰ раз (это единица с 30 нулями) за долю секунды. Эта модель объясняет несколько свойств нашей Вселенной, которые иначе объяснить было бы затруднительно, например, тот факт, что она практически одинаково выглядит, куда ни посмотри, то есть исключительно изотропна.

В 2001 году Стейнхардт и его коллеги предложили новую версию зарождения Вселенной; эта модель получила название «экпиротический сценарий», от греческого слова, которое означает «внезапная вспышка пламени». Согласно этой модели, которая на сегодняшний день остается во многом спекулятивной, Большой Взрыв произошел, когда столкнулись две трехмерные Вселенные, двигавшиеся по какому-то другому, скрытому измерению.

Так вот, интересный вопрос: почему эти два выдающихся космолога решили побаловаться занимательной математикой – и перешли к квазикристаллам?

Я знаком с Пенроузом и Стейнхардтом уже много лет, поскольку занимаюсь тем же делом – космологией и теоретической астрофизикой. Более того, в 1984 году Пенроуз получил приглашение выступить на первой крупной конференции по релятивистской астрофизике, которую я организовывал, а Стейнхардт – на последней, в 2001 году. И тем не менее, я не знал, что подтолкнуло их к тому, чтобы углубиться в дебри занимательной математики: казалось бы, эта область довольно далека от их профессиональных интересов в астрофизике. Поэтому я спросил у них об этом.

Роджер Пенроуз ответил:

– Не уверен, что дам на этот вопрос сколько-нибудь глубокий ответ. Как вам известно, математика – занятие, которому большинство математиков предается ради удовольствия. – И, немного поразмыслив, добавил: – Я с детства любил подгонять геометрические фигуры друг к другу, так что исследования мозаик опередили исследования по космологии. Однако в какой-то момент изыскания в области занимательной математики были, по крайней мере, отчасти, связаны с космологическими исследованиями. Я размышлял о крупномасштабной структуре Вселенной и искал игрушечные модели, построенные по простым правилам, которые, тем не менее в крупном масштабе были бы способны породить сложные структуры.

– Но что же заставило вас так долго работать над этой задачей? – спросил я тогда.

– Как вы знаете, меня всегда интересовала геометрия, – со смехом ответил Пенроуз, – так что мне было просто интересно разобраться в этой задаче. Более того, хотя у меня было подозрение, что подобные структуры могут встречаться в природе, я не понимал, как природа могла бы создать их посредством нормального процесса кристаллического роста, локального процесса. В некотором смысле я до сих пор этого не понимаю.

А Пол Стейнхардт на мой вопрос по телефону тут же воскликнул:

– Хороший вопрос!

А затем, подумав несколько минут, рассказал:

– Когда я был студентом-старшекурсником, то не вполне представлял себе, чем хочу заниматься. Затем, уже в аспирантуре, я день и ночь ломал себе голову над физикой частиц, и мне нужно было найти какую-то отдушину – вот и я стал для развлечения исследовать тему порядка и симметрии твердых тел. А стоило мне натолкнуться на проблему квазипериодических кристаллов, как я понял, что это непреодолимое искушение, и с тех пор то и дело возвращался к ней.