Так задумал Пифагор
Этими словами знаменитый ирландский поэт Уильям Батлер Йейтс открывает свое стихотворение «Статуи». Йейтс, который когда-то сказал, что «самая сущность гения любого рода – это точность», исследует в этом стихотворении отношения между числами и страстью. Вот первая строфа стихотворения:
Пифагор рассчитал все. Откуда ж людей удивленье?
Его числа изваяны в камне и в бронзе отлиты.
Им, однако, как будто живым, недоступны любовь и томленье.
Одинокая юность, почуяв любовную силу,
Знает страсть, что способна разбить или слить монолиты.
И к губам, для которых холодный расчет был мерилом,
Прижимает живые горячие губы полночной порой,
Там, где взгляд площадей и людей наблюдательных строй.
Йейтс прекрасно выразил то обстоятельство, что тщательно рассчитанные пропорции греческих скульптур могут показаться холодными, однако юные и страстные души все равно считали эти условные формы воплощением предмета своей любви.
На первый взгляд, нет предмета более далекого от математики, чем поэзия. Нам представляется, что стихи произрастают из чистого воображения поэта, и их цветению нет закона, как нет закона красоте алой розы. Только не надо забывать, что расположение лепестков этой самой розы подчиняется точнейшему порядку, основанному на золотом сечении. Так нельзя ли строить стихи на той же основе?
В принципе, есть два способа связать поэтический язык с золотым сечением и числами Фибоначчи. Во-первых, можно просто посвящать стихи золотому сечению и числам Фибоначчи (вспомним стихотворение Пола Брукмана «Постоянное Среднее», упоминавшийся в главе 4), или геометрическим фигурам и феноменам, которые тесно связаны с числом φ. Во-вторых, можно так или иначе применять золотое сечение или числа Фибоначчи в стихотворной форме и ритме.
Примеры первого типа – это, в частности, юмористические стихи Дж. А. Линдона, великий «Фауст» Иоганна Вольфганга Гёте и стихотворение «Раковина наутилуса» Оливера Уэнделла Холмса. Стихотворением Линдона Мартин Гарднер открыл главу о числах Фибоначчи в своей книге «Математический цирк». В нем говорится о рекурсивных отношениях, характерных для последовательности Фибоначчи:
Пять было жен у Фибоначчи,
Чем далее, тем формами богаче:
Вес каждой – как у двух, что были до;
Да, пятая влезала в дом с трудом!
(Пер. М. Антипина)
О Фибоначчи говорится и в двустишии Кэтрин О’Брайен:
Фибоначчи ни сна, ни покоя не знает —
Не овец, а крольчат до рассвета считает.
Немецкий поэт и драматург Гёте (1743–1832) – безусловно, один из величайших писателей в мировой литературе. Вершина его многогранного гения – «Фауст», грандиозная метафора человеческого стремления к могуществу и познанию. Ученый Фауст продает душу дьяволу, воплотившемуся в Мефистофеле, в обмен на знания, молодость и магические способности. Когда Мефистофель обнаруживает, что под порогом у Фауста начертана пентаграмма, он не может выйти. Магические свойства, приписываемые пентаграмме еще с пифагорейских времен (они и привели к определению золотого сечения), в христианскую эпоху приобрели особую значимость, поскольку пять лучей пятиконечной звезды, как считалось, символизируют имя «Иисус». Именно поэтому полагали, что дьявол боится пентаграммы. Вот как это описано в поэме:
Мефистофель:
Я в некотором затрудненье.
Мне выйти в сени не дает
Фигура под дверною рамой.
Фауст:
Ты испугался пентаграммы?
Каким же образом тогда
Вошел ты чрез порог сюда?
Как оплошал такой пройдоха?
Мефистофель:
Всмотритесь. Этот знак начертан плохо.
Наружный угол вытянут в длину
И оставляет ход, загнувшись с края.
(Пер. Б. Пастернака)
Мефистофель прибегает к жульничеству – чтобы миновать пентаграмму, пользуется тем, что линия пентаграммы не замкнута. Очевидно, Гёте не имел никакого намерения обращаться в «Фаусте» к концепции золотого сечения и упоминает о пентаграмме исключительно из-за ее символических качеств. Свое мнение о математике Гёте формулировал следующим образом: «Математики – они словно французы: когда говоришь с ними, они тут же переводят твои слова на свой язык – и получается что-то совсем другое».
Американский врач, поэт и писатель Оливер Уэнделл Холмс (1809–1894) издал множество сборников очаровательных остроумных стихов. В стихотворении «Раковина наутилуса» он выводит мораль из самоподобного роста раковины моллюска:
Пускай года сменяются, спеша, —
Все выше купол поднимай, душа,
Размахом новых зданий с прежним споря,
Все выше и вольней! —
Пока ты не расстанешься без горя
С ракушкою своей
На берегу бушующего моря!
(Пер. Г. Кружкова)
Примеров математического расчета в поэтических формах очень и очень много. Например, «Божественная комедия», гениальное классическое произведение итальянского поэта Данте Алигьери (1265–1321), разделено на три части, написано терцетами – строфами по три строки, – а в каждой его части по тридцать три песни, кроме первой, в которой их тридцать четыре, чтобы всего было ровно сто.
Пожалуй, именно в поэзии впервые нашли свое воплощение числа Фибоначчи, и это было даже до кроликов. Один из стихотворных размеров в санскритской и пракритской поэзии назывался матра-врттас (mātrā-vṛttas). Это семейство таких стихотворных размеров, где количество мор (обычных кратких слогов) остается неизменным, а количество букв произвольно. В 1985 году математик Пармананд Сингх из колледжа им. Раджа Нарайна в Индии подметил, что числа Фибоначчи и отношения, которые их связывают, упоминаются в сочинениях трех древнеиндийских специалистов по матра-врттас, написанных задолго до 1202 года, когда была опубликована книга Фибоначчи. Первым из этих авторов, писавших о метрике, был Акарья Вираханка, живший примерно в VI–VIII веке. Хотя приведенное у него правило сформулировано несколько расплывчато, он и в самом деле упоминает смешение вариантов двух предыдущих стихотворных стоп, чтобы получить следующую – подобно числу Фибоначчи, представляющему собой сумму двух предыдущих. Другой математик по имени Гопала также приводит это правило в рукописи, написанной между 1133 и 1135 годом. Он объясняет, что каждая стопа есть сумма двух предыдущих стоп, и приводит при этом последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 – то есть числа Фибоначчи как они есть. Наконец, великий джайнистский поэт и энциклопедист Ачарья Хемачандра, живший в XII веке и пользовавшийся покровительством двух царей, также в рукописи, написанной около 1150 года, недвусмысленно говорит, что «сумма последнего и предпоследнего чисел [вариантов стоп] и составляет следующую стопу матра-врттас». Однако первого появления чисел Фибоначчи в теории стихосложения математики, похоже, не заметили.
В научно-популярной книге Труди Хэммел Гарланд «Чудесные числа Фибоначчи» приведен пример лимерика, где количество строк (5), количество стоп в каждой строке (2 или 3) и общее число стоп (13) представляют собой числа Фибоначчи:
Молодая особа, чей нос
Рос, пока до земли не дорос,
За пятак и полушку
Нанимала старушку,
Чтоб носить свой немыслимый нос.
(Пер. М. Фрейдкина)
Однако зачастую появление в стихотворении нескольких чисел Фибоначчи ни в коем случае нельзя считать свидетельством того, что поэт непременно имел в виду эти числа или золотое сечение, когда продумывал стихотворную форму своего произведения. Поэзия, как и музыка, предназначена для того, чтобы ее слушать, а не читать глазами, и особенно это справедливо для поэзии минувших веков. Следовательно, важнейший структурный элемент поэзии – это соразмерность и созвучия, приятные на слух. Однако это не означает, что золотое сечение и числа Фибоначчи – единственные инструменты в арсенале поэта.
Особенно сильное заявление о роли золотого сечения в поэзии сделал Джордж Эккел Дакворт, профессор классической филологии из Принстонского университета, в 1962 году. Он выпустил книгу «Структурные закономерности и пропорции в «Энеиде» Вергилия» (George Eckel Duckworth. Structural Patterns and Proportions in Vergil’s Aeneid), где утверждает, что «Вергилий строил композицию “Энеиды” на основе математических пропорций, и в каждой книге, как в небольших отрывках, так и в крупных подразделах, налицо прославленное численное соотношение, известное под разными названиями – как “золотое сечение”, так и “божественная пропорция”».
Римский поэт Вергилий (70–19 гг. до н. э.) вырос в семье земледельца, и многие ранние его пасторальные произведения повествуют об очаровании сельской жизни. Эпическая поэма «Энеида» рассказывает о приключениях троянского героя Энея и считается одним из величайших поэтических произведений в истории. Поэма состоит из двенадцати книг, и Вергилий прослеживает в ней путь Энея от путешествия из Трои в Карфаген и любви к Дидоне до образования римского государства. Эней для Вергилия – образец благочестия, преданности семье и верности государству.
Дакворт дотошно измерил длину отрывков в «Энеиде» и высчитал соотношение их размеров. В частности, он подсчитал количество строк в эпизодах, которые назвал «бо́льшими» (их он обозначил как M) и «меньшими» (обозначены как m), и подсчитал соотношение этих чисел. Больший эпизод или меньший, определялось по содержанию. Скажем, во многих отрывках большая или меньшая часть – это монолог персонажа, а другая часть (соответственно меньшая или большая) – это повествование или описание. Из этого анализа Дакворт делает вывод, что в «Энеиде» содержатся «сотни золотых сечений». Он также отмечает, что более ранний анализ (проведенный в 1949 году) другого произведения Вергилия – первой книги «Георгик» – дает соотношение двух частей под условными названиями «Труды» и «Дни» (образцом для Вергилия при создании «Георгик» послужили «Труды и дни» Гесиода), очень близкое к φ.
К сожалению, Роджер Герц-Фишлер доказал, что анализ Дакворта, скорее всего, построен на математическом недоразумении. Поскольку подобное заблуждение типично для многих «открытий», связанных с золотым сечением, я вкратце объясню, в чем тут дело.
Рис. 91
Предположим, у нас есть два положительных числа m и M, такие, что M больше m. Ну, например, M = 317, и это количество страниц в последней прочитанной вами книге, а m = 160, и это ваш рост в сантиметрах. Отметим эти два числа на отрезке прямой (проследим, чтобы относительные пропорции при этом сохранялись), как на рис. 91. Отношение меньшей части к большей равно m/M = 160/317 = 0,504, а отношение большей к целому – M/(M + m) = 317/477 = 0,665. Вы, конечно, отметите, что значение M/(M + m) ближе к 1/φ=0,618, чем m/M. Можно математически доказать, что это всегда так (проверьте на количестве страниц в книге, которую прочитали последней, и собственном росте в сантиметрах). По определению золотого сечения, если отрезок разделен в этом соотношении, то m/M = M/(M + m) в точности. Следовательно, возникает искушение сделать вывод, что если исследовать много отношений чисел, например, длин эпизодов, в поисках возможного присутствия золотого сечения, неважно, какое отношение мы возьмем – меньшей части к большей или большей к целому. Так вот, я только что доказал, что очень даже важно. Излишне рьяный поклонник золотого сечения, желающий доказать, что рост читателей находится в отношении золотого сечения с количеством страниц в прочитанных ими книгах, вероятно, сумеет это сделать, если представит данные в формате M/(M + m), то есть в таком виде, который делает их ближе к 1/φ. Именно это и приключилось с Даквортом. Он принял неудачное решение прибегнуть в ходе анализа только к соотношению M/(M + m), поскольку решил, что так «несколько точнее», и поэтому сжал и исказил данные и лишил свой анализ статистической достоверности. Более того, Леонард А. Керчин из Оттавского университета и Роджер Герц-Фишлер повторили в 1981 году анализ данных Дакворта, пользуясь, однако, соотношением m/M, и показали, что в «Энеиде» нет ни следа золотого сечения. Они сделали другой вывод – что «Вергилий склонен к случайному распределению длины эпизодов». Кроме того, Дакворт ошибочно «наделил» Вергилия познаниями, что отношение двух последовательных чисел Фибоначчи – это достаточно точное приближение к золотому сечению. Керчин и Герц-Фишлер, напротив, убедительно продемонстрировали, что даже Герон Александрийский, который жил позднее Вергилия и был одним из выдающихся математиков своего времени, не знал об этом соотношении между золотым сечением и числами Фибоначчи.
К сожалению, заявления о Вергилии и φ по-прежнему появляются в большинстве книг и статей о золотом сечении, что в очередной раз показывает, как велико обаяние «золотой нумерологии».
Все попытки обнаружить золотое сечение в разнообразных произведениях изобразительного искусства, в музыке и поэзии – как обоснованные, так и необоснованные – опираются на предположение, что на свете существует канон идеальной красоты и что его можно воплотить на практике. Однако история показала, что художники, создававшие произведения, которые надолго их пережили, по большей части как раз отходили от подобных академических представлений. Золотое сечение, бесспорно, играет важную роль во многих областях математики и естественных наук, однако, по моему скромному убеждению, нельзя делать из него незыблемый эстетический стандарт – ни в пропорциях человеческого тела, ни в качестве мерила в изящных искусствах.
