Мрачное Средневековье

Когда Евклид в «Началах» давал определение золотого сечения, его интересовала в первую очередь геометрическая интерпретация этого понятия и его применение в построении правильного пятиугольника и некоторых платоновых тел. Греческие математики следующих столетий вывели еще несколько геометрических результатов, связанных с золотым сечением. Например, в дополнительной книге к «Началам» Евклида (ее иногда так и называют книгой XIV «Начал») содержится важная теорема о додекаэдре и икосаэдре, вписанных в одну и ту же сферу. Текст книги XIV приписывают Гипсиклу Александрийскому, который, вероятно, жил во II веке н. э., однако считается, что в ней содержатся также теоремы Аполлония Пергского (ок. 262–190 до н. э.), одного из трех светил Золотого Века греческой математики (приблизительно 300–200 годы до н. э.) наряду с Евклидом и Архимедом. После этого к изучению золотого сечения возвращались лишь от случая к случаю, и эти исследования были связаны в основном с именами Герона (I в. н. э.), Птолемея (II в. н. э.) и Паппа (IV в. н. э.). Герон в своей «Метрике» предлагает формулы для приближенного вычисления площади поверхности правильного пятиугольника и правильного десятиугольника и объема икосаэдра и додекаэдра, однако умалчивает о том, как эти формулы были получены.

Птолемей (Клавдий Птолемей) жил примерно в 100–179 г. н. э., однако о его жизни практически ничего неизвестно, кроме того, что работал он в основном в Александрии. На основании своих собственных астрономических наблюдений, а также знаний, полученных его предшественниками, Птолемей разработал знаменитую геоцентрическую модель Вселенной, согласно которой солнце и небесные тела вращаются вокруг Земли. Конечно, в рассуждениях Птолемея была фундаментальная ошибка, однако при помощи этой модели удалось объяснить наблюдаемое движение планет (хотя бы в первом приближении), и идеи Птолемея определяли ход мыслей астрономов в течение тринадцати веков.

Собственные астрономические изыскания Птолемей согласовал с выводами других греческих астрономов, в особенности Гиппарха Никейского, и свел весь корпус знаний воедино в своем энциклопедическом тринадцатитомном труде «Великое математическое построение по астрономии», или попросту «Великое» (по-гречески «мегисте»), которое в Европе стало известно под арабизированным названием «Альмагест» – «мегисте» с приставкой «аль-» – определенным артиклем. Кроме того, Птолемею принадлежат важные заслуги и в географической науке, он написал авторитетный труд «Руководство по географии».

В «Альмагесте» и «Руководстве по географии» Птолемей приводит один из самых ранних эквивалентов тригонометрической таблицы для множества углов. В частности, он вычислил длины хорд, соединяющих две точки на окружности под разными углами, в том числе под углами 36, 72 и 108 градусов: эти величины, если вы помните, появляются и в правильном пятиугольнике, а следовательно, тесно связаны с золотым сечением.

Последним великим греческим геометром, который занимался теоремами, связанными с золотым сечением, был Папп Александрийский. В своем «Математическом собрании» (ок. 340 г. н. э.) Папп предлагает новый метод построения додекаэдра и икосаэдра, а также сравнивает объемы платоновых тел, и во всех этих выкладках присутствует золотое сечение. Комментарии Паппа к евклидовой теории иррациональных чисел сохранились в арабских переводах трудов Паппа и прекрасно отражают историческое развитие представлений об иррациональных числах. Однако эти героические усилия остановить общий упадок и разложение математики и, в частности, геометрии оказались безуспешны, и после смерти Паппа интерес к золотому сечению угас на долгие годы, что, впрочем, соответствовало общей тенденции: Запад утратил интерес к науке. Великая Александрийская библиотека была уничтожена в несколько этапов, сначала римлянами, а затем христианами и магометанами. Даже Платоновской Академии пришел конец – это случилось в 529 году, когда византийский император Юстиниан распорядился закрыть все греческие учебные заведения. Последовало мрачное Средневековье, и французский историк и епископ Григорий Турский (538–594) сокрушался, что «ученость среди нас погибла». В сущности, научно-исследовательская жизнь в Европе заглохла, и интеллектуальное первенство осталось за Индией и арабским миром. Знаменательным событием в этот период стало введение так называемых индо-арабских цифр и десятичной позиционной системы счисления. Виднейшим индийским математиком VI века был Ариабхата (476–ок. 550). Самая известная его книга называется «Ариабхатия», и там мы находим следующую фразу: «От разряда к разряду каждое в десять раз больше предыдущего», что свидетельствует о введении разрядов чисел, то есть записи, где важно положение цифры. Сохранилась индийская надпись, относящаяся к 595 году, где содержится запись даты индийскими цифрами в десятичной позиционной системе, а значит, к этому времени подобная запись уже была в ходу. Первым признаком того, что индийские цифры проникают на Запад (хотя тогда они еще не прижились), можно считать их упоминание в трудах Севера Себохта, жившего в Кенешре на реке Евфрат. В 662 году он писал: «Не стану обсуждать индийскую науку… и их ценные методы вычисления, которые превосходят всяческие описания. Скажу лишь, что они производят вычисления посредством девяти знаков».

По мере того, как набирал силу ислам, важным центром математических исследований становился магометанский мир. Если бы не интеллектуальный подъем в мусульманских странах в VIII веке, до нас не дошли бы труды большинства античных математиков. В частности, халиф аль-Мамун (786–853) учредил в Багдаде Бейт аль-хикма («Дом мудрости»), похожий на знаменитый александрийский университет – Музейон. В сущности, Аббасидский халифад по крупицам собирал остатки александрийской учености. Легенда гласит, что калифу во сне явился Аристотель, после чего он решил перевести все греческие ученые труды на арабский.

Важнейшие изыскания магометанских ученых в основном касались алгебры и если и затрагивали золотое сечение, то лишь весьма поверхностно. Тем не менее, следует упомянуть по меньшей мере троих математиков: это аль-Хорезми и Абу Камил Шуджа, жившие в IX веке, и Абу-л-Вафа, живший в Х веке.

Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми работал в Багдаде и примерно в 825 году написал здесь книгу, которая считается самым авторитетным трудом по алгебре той эпохи – «Книга восполнения и противопоставления», «Kitab al-jabr wa al-muqabalah». От ее названия – «аль-джебр» – пошло привычное для нас название науки «алгебра», поскольку это был первый учебник по этой дисциплине в Европе. Более того, слово «алгоритм», которым называется любой особый метод решения математической задачи при помощи набора определенных шагов-процедур, тоже происходит от искаженного «аль-Хорезми». «Книга восполнения» на несколько столетий стала синонимом теории уравнений. Уравнение, которое требовалось для решения одной задачи, представленной аль-Хорезми, очень похоже на уравнение-определение золотого сечения. Аль-Хорезми говорит: «Я поделил десять на две части; первую я умножил на десять, вторую – на саму себя, и результаты оказались одинаковыми». Неизвестную величину аль-Хорезми обозначил как «шай» – «вещь». Следовательно, первая часть условия вышеприведенной задачи сводится к фразе «умножаешь “вещь” на десять, получается десять “вещей”». Таким образом, первое уравнение выглядит так: 10 × x = (10 – x)², то есть формула для вычисления меньшей части отрезка длиной в 10 единиц, разделенного в золотом сечении. Вопрос в том, имел ли аль-Хорезми в виду золотое сечение, когда формулировал эту задачу. Под влиянием аль-Хорезми неизвестную стали в ранних латинских работах называть «res», а в переводах на итальянский – «cosa» («вещь, дело»). Соответственно, алгебра прославилась как «l’arte della cosa» («искусство вещи», «искусство неизвестной»). Иногда ее называли также «ars magna» – «великое искусство» – в противоположность арифметике, которая считалась не таким великим искусством.

Другой арабский математик, внесший свой вклад в историю золотого сечения, – это Абу Камил Шуджа по прозвищу аль-Хасиб аль-Мисри, что значит «вычислитель из Египта». Родился он около 850 года, вероятно, в Египте, а умер около 930 года. Он написал много книг, некоторые из которых, в том числе «Книга об алгебре», «Книга о редкостях искусства арифметики» и «Книга о геометрии», дошли до нас. Возможно, Абу Камил был первым математиком, который не просто искал решения задачи, а интересовался поиском всех возможных решений. В своей книге «О редкостях искусства арифметики» он даже описывает задачу, к которой нашел 2678 решений! Однако с точки зрения истории золотого сечения главное – что книги Абу Камила стали основой для некоторых книг итальянского математика Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи, с которым мы скоро познакомимся. Трактат Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике» содержит двадцать задач с решениями, где ученый вычисляет площади фигур, длины их сторон и радиусы описанных вокруг них окружностей. В некоторых этих вычислениях, но не везде, он применяет и золотое сечение. Несколько алгебраических задач из «Алгебры» Абу Камила, вероятно, тоже вдохновлены понятием золотого сечения.

Последний исламский математик, которого мне хочется здесь упомянуть, – Мухаммад Абу-л-Вафа (940–998). Абу-л-Вафа родился в Бузгане на территории современного Ирана и жил в правление династии Буидов в западном Иране и Ираке. Эта династия достигла расцвета в царствование Адуда аль-Давла, который был горячим поклонником и покровителем математики, естественных наук и искусств. Абу-л-Вафа был среди математиков, которых в 959 году пригласили в Багдад ко двору Адуда аль-Давла. В его первом солидном труде – книге «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», по словам самого ученого, «содержатся все арифметические знания, которые необходимы ученику, подчиненному или начальнику». Интересно, что хотя сам Абу-л-Вафа был специалистом в применении индийских цифр, весь текст его книги написан вообще без цифр, одними словами, а вычисления проводятся только в уме. К Х веку индийские цифры еще не нашли применения в деловых кругах. То, что Абу-л-Вафа интересуется золотым сечением, видно из другой его книги – «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В этой книге Абу-л-Вафа приводит изобретательные методы построения правильного пятиугольника и десятиугольника, вписывания правильных многоугольников в окружности и в другие многоугольники. Уникальную черту его работы составляет серия задач, которые он решает при помощи линейки (прямой, без делений) и циркуля, в котором угол между ножками зафиксирован (так называемый «ржавый циркуль»). Возможно, на этот жанр ученого вдохновило «Собрание» Паппа, однако не исключено, что такие решения просто отражают подход Абу-л-Вафы к практическим задачам: решения при помощи циркуля с фиксированным углом между ножками более точны.

Книги этих и других арабских математиков несколько углубили знания о золотом сечении, и их открытия сыграли важную, хотя и не очень большую роль. Как часто бывает в науке, подобные подготовительные периоды медленного прогресса необходимы для следующего прорыва. Великий драматург Джордж Бернард Шоу как-то выразил свое представление о прогрессе следующими словами: «Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей». В случае золотого сечения квантовый скачок дожидался появления одного из самых выдающихся математиков Средневековой Европы – Леонардо Пизанского.