Сокровищница сюрпризов
Всем знакомо это восхитительное чувство, когда мы приходим на вечеринку, где, как мы были твердо убеждены, никого не знаем, и вдруг узнаем лицо старого друга. Такой же наплыв эмоций возникает, когда на выставке сворачиваешь за угол и вдруг видишь свою любимую картину. Близкие устраивают нам приятные сюрпризы именно потому, что нежданная радость многим из нас приносит колоссальное удовольствие. А у математики и, в частности, у золотого сечения в запасе полным-полно сюрпризов.
Представьте себе, что мы хотим вычислить значение вот такого необычного выражения, состоящего из бесконечного числа квадратных корней:
Как тут вообще подступиться к ответу? Есть один довольно-таки громоздкий метод: сначала вычислить, что даст нам √2=1,414…, затем вычислить и т. д., уповая на то, что рано или поздно значения начнут быстро сходиться к какому-то числу. Но ведь, возможно, есть и другой метод вычисления, проще и изящнее. Обозначим искомую величину х. Тогда у нас получается
Теперь возведем в квадрат обе части равенства. В левой получим х2, а при возведении в квадрат правой части мы просто уберем тот квадратный корень, под которым стоит все выражение (по определению квадратного корня), и получим
Однако обратите внимание, что поскольку выражение в правой части нашего равенства тянется до бесконечности, оно равно нашему первоначальному х. Поэтому у нас получается квадратное уравнение: х2 = 1 + х. Но ведь это и есть равенство, которое описывает золотое сечение! А следовательно, мы выяснили, что наше бесконечное равенство в точности равно числу φ!
А теперь рассмотрим совсем другое бесконечное выражение, на сей раз – с дробями:
Это особое математическое понятие, известное как цепная или непрерывная дробь; такие дроби довольно часто используются в теории чисел. Как же нам подсчитать значение этой непрерывной дроби? В принципе, можно понемногу отсечь единицы снизу доверху, надеясь нащупать предел, к которому сходится непрерывная дробь. Однако опыт уже научил нас, что лучше начать с того, чтобы приравнять это выражение к х. Итак,
Однако отметим, что поскольку непрерывная дробь тянется бесконечно, знаменатель второго слагаемого в правой части равен х. И вот мы получаем выражение
х = 1+ 1/ х
Умножим обе части на х – и получим х2 = 1 + х, а это опять же равенство, определяющее золотое сечение! Смотрите-ка, удивительная непрерывная дробь тоже равна числу φ. Об этом свойстве тоже упоминается в стихотворении Пола С. Брукманса:
Цепная дробь получится красивой!
Она из единиц, и единиц и… снова единиц!
И вроде проще нет ее: ни отклонений, ни извивов,
Но мозг кипит, и я
Едва
Держусь у разума границ.
(Пер. М. Федоровой)
Поскольку непрерывная дробь, соответствующая золотому сечению, состоит из одних единиц, она очень медленно сходится. В этом отношении золотое сечение «труднее» выразить в виде непрерывной дроби, нежели любое другое иррациональное число: воистину оно самое иррациональное из всех иррациональных чисел!
Рис. 26
Теперь оставим бесконечные выражения и обратимся к золотому прямоугольнику с рис. 26. Длины сторон этого прямоугольника соотносятся друг с другом в соответствии с золотым сечением. Теперь предположим, что мы отрезаем от этого прямоугольника квадрат, как показано на рисунке. У нас останется прямоугольник поменьше, и это тоже будет золотой прямоугольник. Габариты этого «производного» прямоугольника меньше, чем у «исходного», с коэффициентом ровно φ. Теперь отрежем квадрат от «производного» золотого прямоугольника – и у нас получится еще один золотой прямоугольник с габаритами, которые опять же меньше с коэффициентом φ. Этот процесс можно продолжать до бесконечности, создавая золотые прямоугольники все меньше и меньше (каждый раз их габариты «сдуваются» на множитель φ). Если бы мы изучали все уменьшающиеся по размеру золотые прямоугольники в лупу, причем брали бы линзу все сильнее и сильнее, они были бы все одинаковые. Золотой прямоугольник – единственный прямоугольник, обладающий таким свойством, что если отрезать от него квадрат, получится подобный прямоугольник. Проведите диагонали в любой паре из «исходного» и «производного» треугольника из этой череды, как на рис. 26, и они все пересекутся в одной точке. К этой недостижимой точке и сходятся уменьшающиеся прямоугольники. Благодаря «божественным» качествам, приписываемым золотому сечению, математик Клиффорд А. Пиковер предложил назвать эту точку «Оком Господним».
Если у вас не идет кругом голова при одной мысли, что во всех этих математических обстоятельствах, таких разных, мы приходим к одному и тому же числу φ, возьмите простенький карманный калькулятор, и я покажу вам потрясающий фокус. Выберите два любых числа (число разрядов не имеет значения) и запишите их подряд. Теперь при помощи калькулятора (или в уме) составьте (и запишите) третье число, сумму первых двух. Теперь составьте четвертое число – прибавив к получившейся сумме третье, пятое – прибавив четвертое к третьему, шестое – сложив пятое с четвертым и т. д., пока у вас не получится последовательность из двадцати чисел. Скажем, если первыми числами у вас были 2 и 5, у вас должна получиться последовательность 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131… Теперь при помощи калькулятора поделите двадцатое число на девятнадцатое. Узнаете результат? Разумеется, это φ. К этому фокусу и его «разоблачению» я вернусь в главе 5.
