В крайнем и среднем отношении

В 336 году до н. э. двадцатилетний Александр Македонский унаследовал трон, а затем одержал череду блистательных побед, завоевал большую часть Малой Азии, Сирию, Египет и Вавилон и стал правителем Персидской империи. За несколько лет до безвременной смерти – Александр умер в тридцать три года – он основал величайший памятник самому себе: город Александрию в устье Нила.

Александрия располагалась на пересечении трех великих цивилизаций – египетской, греческой и иудейской. В результате она превратилась в незаурядный интеллектуальный центр, просуществовавший много сотен лет и давший жизнь выдающимся открытиям и шедеврам – в том числе «Септуагинте» («переводе семидесяти»), переводу Ветхого Завета на древнегреческий, который, согласно легенде, выполнили 72 переводчика. Работа началась в III веке до н. э. и продолжалась в несколько этапов свыше ста лет.

После смерти Александра власть над Египтом и африканскими владениями Александра получил Птолемей I, и в числе первых его распоряжений было учреждение в Александрии подобия университета (Музейона). В него входила и библиотека; на ее комплектацию были брошены значительные силы, и считается, что в определенный момент в ней хранилось 700 000 книг (некоторые были конфискованы у незадачливых заезжих иностранцев). В первый штат преподавателей Александрийской школы входил и Евклид, автор «Начал», самой прославленной книги за всю историю математики. Хотя Евклид был «автором бестселлера» (по количеству проданных экземпляров «Начала» до ХХ века уступали лишь Библии), весьма вероятно, что он учился в Афинах у кого-то из учеников Платона. Прокл, в частности, пишет о Евклиде: «Этот муж жил при Птолемее I… Он моложе окружения Платона и старше Эратосфена и Архимеда».

«Начала», тринадцатитомный труд по геометрии и теории чисел, настолько колоссален по размаху, что мы иногда забываем, что Евклид написал еще с десяток книг на самые разные темы – от музыки до механики и оптики. До нас дошли лишь четыре его трактата: «О делении», «Оптика», «Явления» и «Данные». В «Оптике» содержатся некоторые первые исследования перспективы. Едва ли кто-нибудь станет спорить, что «Начала» – величайший и авторитетнейший учебник математики в истории человечества. Рассказывают, что Авраам Линкольн, желая разобраться, что на самом деле значит слово «доказательство» в юридическом контексте, изучал «Начала» в своей хижине в Кентукки. Знаменитый английский философ и логик Бертран Рассел описывает в автобиографии свое знакомство с «Началами» Евклида (в одиннадцать лет!) и говорит, что это была «величайшая веха в моей жизни, событие ослепительное, словно первая любовь».

При прочтении «Начал» складывается впечатление, что автор этого труда – человек совестливый, почитающий традиции и очень скромный. Евклид нигде не пытается присвоить себе чужие мысли и достижения. В сущности, он вообще не претендует на оригинальность, несмотря на совершенно очевидный факт, что он предлагает множество новых доказательств, совершенно иначе организует знания, которым другие ученые посвятили целые тома, и самостоятельно продумывает структуру своего труда. Дотошность, честность и скромность Евклида снискали восхищение Паппа Александрийского, который около 340 года н. э. составил «Математическое собрание» – бесценный обзор многих аспектов греческой математики.

В «Началах» Евклид делает попытку охватить основную часть всего свода математических знаний своего времени. Книги I–VI посвящены геометрии плоских фигур, которую мы теперь изучаем в школе и которая получила название в честь Евклида – евклидова геометрия. Из них в книгах I, II, IV и VI говорится о линиях и плоских фигурах, в книге III собраны теоремы об окружности, а в книге V подробно рассказывается о следствиях из предположения, которое сделал Евдокс Книдский (408–355 г. до н. э.). Книги VII–X посвящены теории чисел и основам арифметики. В частности, в книге Х подробно рассказывается об иррациональных числах, и ее содержание в основном посвящено трудам Теэтета. В книге XI излагаются основы стереометрии, в книге XII, где в основном разобраны труды Евдокса, дана теорема о площади круга, а в книге XIII, также основанной на трудах Теэтета, рассказано, как построить пять платоновых тел.

Еще в античности к «Началам» писали комментарии – этим занимались Герон (I в. н. э.), Папп (IV в.) и Прокл (V в.) – все из Александрии – и Симпликий Афинский (VI в.). В IV в. н. э. появилась новая редакция труда, выполненная Теоном Александрийским; именно с нее делались все переводы вплоть до XIX века, когда в Ватикане была обнаружена рукопись с несколько иным текстом. В Средние века «Начала» трижды переводили на арабский. Первый из переводов выполнил Аль-Хаджжадж ибн Юсуф по заказу халифа Гарун-аль-Рашида (правил в 786–809 гг.), о котором мы знаем по сказкам из «Тысячи и одной ночи». В Европе «Начала» стали известны в латинских переводах арабской версии. Арабский текст получил в свое распоряжение английский монах-бенедиктинец Аделард (Аделяр) Батский (ок. 1070–1145), который, как рассказывают, путешествовал по Испании, называясь студентом-магометанином; около 1120 года он выполнил перевод на латынь. Этот перевод лег в основу всех европейских изданий вплоть до XVI века. Затем последовали переводы на многие современные языки.

Сам Евклид, вероятно, и не был величайшим математиком в истории, однако нет никаких сомнений, что как преподавателю математики ему не было и нет равных. Его учебником практически в неизменном виде пользовались больше двух тысяч лет, до середины XIX века. Даже сыщик Шерлок Холмс, плод воображения Артура Конан-Дойла, в «Этюде в багровых тонах» утверждает, что его выводы, сделанные методом дедукции, «безошибочны, как теоремы Евклида» (пер. Н. Треневой).

Речь о золотом сечении заходит в «Началах» несколько раз. Первое определение золотого сечения («в крайнем и среднем отношении») мы встречаем в книге II, где оно применяется к площадям и о нем говорится несколько расплывчато. Второе, более четкое определение – применительно к пропорциям – дано в книге VI. Евклид опирается на золотое сечение, в частности, при построении правильного пятиугольника (в книге IV), додекаэдра и икосаэдра (в книге XIII).

Рис. 24

Давайте при помощи самой простой геометрии изучим определение Евклида и поймем, почему золотое сечение играет такую важную роль в построении пятиугольника. На рис. 24 изображен отрезок АВ, разделенный на две части точкой С. Евклидово определение из книги IV, где говорится о крайнем и среднем отношении, означает, в сущности, что (длинная часть) / (короткая часть) = (целый отрезок/длинная часть). Иначе говоря, на рис. 24:

AC/CB = AB/AC

Так как же подобное деление отрезка связано с пятиугольником? У любой правильной плоской фигуры (то есть с равными сторонами и внутренними углами, такие фигуры еще называют правильными многоугольниками) сумма углов равна 180 × (n–2), где n – число сторон. Например, у треугольника n = 3, и сумма всех углов равна 180 градусам. У правильного пятиугольника n = 5, и сумма всех углов, следовательно, равна 540 градусов. Значит, каждый угол правильного пятиугольника равен 540/5 = 108 градусов. А теперь представим себе, что мы проводим из одного угла пятиугольника две диагонали, как на рис. 25, а, и у нас получается три равнобедренных треугольника. Поскольку два угла при основании любого равнобедренного треугольника равны, углы при основании треугольников по бокам равны 36 градусов каждый: (180–108)/2.

Рис. 25

Поэтому получается, что углы среднего треугольника равны 36–72–72, как помечено на рис. 25, а. Если разделить любой из 72-градусных углов при основании треугольника (как на рис. 25, b) биссектрисой, получится маленький треугольник DBC с такими же углами (36–72–72), как и большой треугольник ADB. При помощи самой элементарной геометрии мы можем показать, что по определению Евклида точка С делит сторону АВ в золотом сечении. Более того, отношение AD к DB также равно золотому сечению (краткое доказательство приводится в Приложении 4). Иначе говоря, отношение длины диагонали к длине стороны у правильного пятиугольника равно числу φ. Этот факт показывает, что умение разделить отрезок в золотом сечении дает нам еще и простой способ построить правильный пятиугольник. Необходимость построить правильный пятиугольник и была главной причиной интереса древных греков к золотому сечению. Треугольник, который на рис. 25, а находится в середине – с отношением стороны к основанию, равным φ – известен также как золотой треугольник, а два треугольника по сторонам от него, у которых отношение стороны к основанию равно 1/φ, называют иногда золотыми гномонами. Рис. 26 иллюстрирует уникальное свойство золотых треугольников и золотых гномонов: их можно рассекать на треугольники поменьше, которые также будут представлять собой золотые треугольники и золотые гномоны.

Связь золотого сечения с правильными пятиугольниками, пятисторонняя симметрия и платоновы тела представляют интерес сами по себе, и их, конечно, было бы более чем достаточно, чтобы возбудить любознательность древних греков. Пифагорейцы были прямо-таки очарованы правильным пятиугольником и пентаграммой, а Платон пристально интересовался правильными многогранниками и был убежден, что они служат отражением фундаментальных вселенских сущностей; поэтому поколения математиков, не покладая рук, трудились над формулировкой многочисленных теорем, имеющих отношение к φ. Однако золотое сечение никогда не заняло бы такого видного места и не снискало бы почтения на грани поклонения, если бы не некоторые его алгебраические свойства, поистине уникальные. Но чтобы понять, каковы эти свойства, нам нужно сначала точно вычислить значение φ.

Снова рассмотрим рис. 24; возьмем длину короткой части СВ за единицу, а длину длинной части АС за х единиц. Если отношение х к 1 таково же, как (х +1) – то есть длины отрезка АВ – к х, значит, отрезок разделен в крайнем и среднем отношении. Мы можем легко найти значение x в золотом сечении. По определению крайнего и среднего отношения

х/1 = (х + 1) / x.

Умножим обе части на х; тогда у нас получится х² = х + 1, или простое квадратное уравнение

х² – х – 1 = 0.

Если вы вдруг подзабыли, как решать квадратные уравнения, в Приложении 5 приведена краткая памятка. Два корня уравнения золотого сечения равны

х₁ = (1 + √5) /2

х₂ = (1 – √5) /2.

Положительный корень х₁ = (1 + √5)/2 = 1,6180339887… и дает нам значение золотого сечения. Теперь очевидно, что число φ – иррациональное, поскольку представляет собой половину суммы 1 + √5. Тут можно сразу заподозрить, что у этого числа есть интересные свойства; для этого нам понадобится простой карманный калькулятор. Введите число 1,6180339887 и нажмите клавишу [х²]. Ну как, ничего удивительного не замечаете? Теперь снова введите то же самое число и на сей раз нажмите клавишу [1/х]. Поразительно, правда? Квадрат числа 1,6180339887… дает 2,6180339887…, его обратное число («один к х») равно 0,6180339887… – знаки после запятой полностью совпадают! Золотое сечение обладает уникальными свойствами – чтобы получить его квадрат, достаточно прибавить к нему 1, а чтобы получить число, ему обратное, – вычесть 1. Кстати, отрицательный корень уравнения х₂ = (1 – √5)/2 равен в точности –1/φ.

Пол С. Брукманс из города Конкорд в штате Калифорния в 1977 году опубликовал в журнале «Fibonacci Quarterly» забавный стишок под названием «Constantly Mean», что можно перевести и как «Постоянное Среднее» (здесь он называет золотое сечение золотым средним):

 

Закономерность этого числа терзает мир давно:

Как дробь простая нам никак не представляется оно.

Ах, это иррационально? Да! Быть может, и безумно? Нет!

Уверенно даю ответ.

 

 

Но числам иррациональным не чета

Та странная загадка, пустячок и ерунда,

Что «золотая середина» называют чинно.

На вид она проста и вроде бы невинна.

 

 

Однако – погляди, попробуй-ка переверни ее!

Получишь ты ее же самоё,

Уменьшенную ровно на один, —

Такой забавный есть у мирозданья клин.

 

 

А если фокус провернешь другой,

Прибавив к ней же единицу,

Она своим квадратом обратится.

Вот так. Могу лишь покачать я головой.

 

(Пер. М. Федоровой)

Итак, мы получили алгебраическое выражение золотого сечения и теперь можем, в принципе, вычислить его с высокой точностью. Именно это и проделал М. Берг в 1966 году, когда он за 20 минут на большом компьютере IBM 1401 вычислил число φ с точностью до 4599 знака после запятой (результат был опубликован в «Fibonacci Quarterly»). Сегодня можно проделать то же самое практически на любом персональном компьютере меньше чем за две секунды. Более того, в декабре 1996 года золотое сечение было вычислено до десятимиллионного знака после запятой, и ушло на это около получаса. Для подлинных любителей интересных чисел на следующем развороте приведено значение числа φ до 2000 знака после запятой (справа для удобства – указаны номера десятичных позиций).

Конечно, все вышеприведенные свойства числа φ весьма интересны, однако читатель вправе решить, что они едва ли оправдывают звание «золотого» или «божественного» числа – и будет, конечно, прав. Однако пока что мы лишь стоим на пороге поразительных чудес.

Значение числа φ до 2000 знака после запятой