Сын доброй матери-природы

Девять индийских цифр – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 – и знак 0… позволяют записать любое число, как будет показано ниже.

Леонардо Фибоначчи (ок. 1170 – ок. 1250).

Этими словами Леонардо Пизанский (по-латыни – Leonardus Pisanus), известный также как Леонардо Фибоначчи, начал свою первую и самую известную книгу – «Liber abaci» («Книгу абака»), увидевшую свет в 1202 году. Ко времени появления этой книги с индо-арабскими цифрами, которыми мы пользуемся сегодня, были знакомы лишь несколько привилегированных европейских интеллектуалов, взявших на себя труд изучить переводы книг аль-Хорезми и Абу Камила. Некоторое время Фибоначчи помогал отцу – отец Леонардо был чиновником по таможенным и торговым делам в городе Беджаи (на территории современного Алжира), а затем путешествовал и по другим средиземноморским странам, в том числе побывал в Греции, Египте и Сирии, так что у него была возможность изучить и сравнить разные системы записи чисел и методы проведения арифметических операций. В конце концов Фибоначчи пришел к выводу, что индо-арабские цифры, при помощи которых числа записывались в позиционной системе, гораздо лучше всех прочих, и первые семь глав своего труда посвятил объяснениям, что такое индо-арабские цифры и как применять их на практике.

Леонардо Фибоначчи родился в 1170 году в семье дельца и правительственного чиновника по имени Гильельмо. Прозвище Фибоначчи (от латинского «filius Bonacci», «сын семьи Боначчи» или «сын доброй матери-природы»), вероятнее всего, придумал историк математики Гийом Либри в примечании к своей книге «История математических наук в Италии», вышедшей в 1838 году (Guillaume Libri. Histoire des Sciences Mathematique en Italie), хотя некоторые исследователи считают, что впервые это слово встречается у итальянских математиков конца XVIII века. В некоторых рукописях и документах Леонардо называет себя либо Леонардо Биголло (или Леонарди Биголли Пизани), где слово «Bigollo» означает что-то вроде «путешественник» или «важное лицо» – на тосканском и венецианском диалектах соответственно. Пиза XII века была оживленным морским портом, через который шла торговля и с материка, и из заморских стран. Дальневосточные специи проходили через Пизу на своем пути в Северную Европу, и их пути пересекались в порту с путями вина, соли и масла, перевозившихся в разные области Италии, Сицилии и Сардинии. В Пизе процветала кожевенная промышленность, козлиные шкуры для которой ввозили из Северной Африки, и по берегам реки Арно, на которой стоит город, часто можно было встретить дубильщиков, обрабатывавших кожи. Также город славился кузнецами и корабелами. Сегодня главная достопримечательность Пизы – покосившаяся башня, строительство которой началось в годы юности Фибоначчи. Очевидно, для всей этой бурной коммерческой деятельности нужна была обширная документация и учет запасов и цен. Несомненно, у Леонардо были возможности наблюдать разнообразных писцов за работой – он видел, как они составляли прейскуранты римскими цифрами и складывали числа на счетах-абаке. Арифметические действия с римскими цифрами – это вам не шутки. Например, чтобы получить сумму 3786 и 3843, нужно сложить MMMDCCLXXXVI и MMMDCCCXLIII. Ну как, громоздко? Это вы еще не пробовали умножать эти числа. Однако пока средневековым дельцам не приходилось выходить за пределы простого сложения и вычитания, им на худой конец годились и римские цифры. Римским цифрам, само собой, недоставало одной фундаментальной составляющей – позиционной системы, такой, в которой число, записанное как 547, на самом деле означает (5 × 10²) + (4 × 10¹) + (7 × 10⁰). Отсутствие позиционного принципа записи в Западной Европе преодолевали при помощи счетов-абака. Вероятно, слово «абак» произошло от древнееврейского слова «avaq» – «пыль», поскольку первые вычисления, по всей видимости, производились на доске, посыпанной песком, на которой палочкой выводили цифры. Во времена Фибоначчи это уже были более или менее привычные для нас бухгалтерские счеты с бусинами, которые ездили по проволокам. Разные виды счетов играли роль позиционной системы. У типичных счетов было четыре проволоки, бусины на нижней играли роль единиц, на второй снизу – десятков, на третьей – сотен и на четвертой – тысяч. Так что хотя при простых арифметических операциях счеты очень помогали (я был потрясен, когда во время поездки в Москву в 1990 году обнаружил, что на кассе в гостиничном кафе считают на счетах!), для более сложных вычислений они, конечно, совсем не годились. О том, чтобы подсчитать на счетах «миллиарды и миллиарды», о которых пишет популяризатор астрономии Карл Саган, не может быть и речи.

В городе Беджаи в Алжире Фибоначчи познакомился с искусством записи при помощи девяти индийских цифр – вероятно, как он сам выразился, под «блестящим руководством» наставника-араба. Затем Фибоначчи объехал все Средиземноморье, где еще сильнее расширил свой математический кругозор, после чего и решил опубликовать книгу, при помощи которой надеялся шире внедрить индо-арабские цифры в коммерческий обиход. В этой книге Фибоначчи скрупулезно объясняет, как переводить римские числа в новую систему и как производить арифметические операции с новыми цифрами. Он приводит многочисленные примеры, где демонстрируется применение «новой математики» для решения самых разных задач – от коммерческих сделок и заполнения и опорожнения резервуаров до движения судов. В начале книги Фибоначчи счел нужным извиниться перед читателем: «Если я случайно упустил что-то более или менее нужное или относящееся к делу, прошу простить меня, поскольку у всех есть недостатки и невозможно все предусмотреть».

Во многих случаях Фибоначчи давал не одно решение задачи, а несколько и проявлял невероятную гибкость и находчивость при выборе нескольких методов решения. Кроме всего прочего, его алгебра во многом риторична: он объясняет решение словами, а не решает уравнения, как сделали бы мы в наши дни. Приведу прелестный пример одной из задач из «Liber abaci» – «Книги счетов» (в том виде, в каком она приведена в чудесной книге Джозефа и Фрэнсис Гиз «Леонардо из Пизы и новая математика Средневековья» – Joseph and Frances Gies. Leonard of Pisa and the New Mathematics of the Middle Ages):

Некий человек, почувствовав, что дни его сочтены, призвал к себе сыновей и сказал: «Поделите мои деньги так, как я скажу». Старшему сыну он сказал: «Тебе причитается 1 безант [золотая монета, чеканившаяся в Византии] и седьмая часть остатка». Второму сыну он сказал: «Возьми 2 безанта и седьмую часть остатка». Третьему сыну он сказал: «Тебе полагается 3 безанта и седьмая часть остатка». После этого он дал каждому сыну на 1 безант больше, чем предыдущему, и седьмую часть оставшихся денег, а последнему – все, что осталось. Тщательно исполнив отцовские распоряжения, сыновья обнаружили, что он разделил свое наследство поровну. Сколько было сыновей и какое было наследство?

Заинтересованный читатель найдет и алгебраическое (современное) решение этой задачи, и риторическое решение Фибоначчи в Приложении 6.

Книга «Liber abaci» снискала Фибоначчи значительную известность, и слава о нем дошла до ушей императора Священной Римской империи Фредерика II по прозвищу «Stupor Mundi» («Всемирное диво») за покровительство математике и естественным наукам. Фибоначчи пригласили предстать перед императором в Пизе в начале 1220 годов, где один из придворных математиков Иоганн Палермский задал ему целый ряд математических задач – как полагали, очень трудных. Одна из задач гласила: «Найти рациональное число [то есть целое число или дробь], такое, что если из его квадрата вычесть 5 или прибавить к его квадрату 5, получатся также квадраты рациональных чисел». Фибоначчи решил все эти задачи весьма изобретательными методами. Затем он описал две из них в короткой книге под названием «Flos» («Цветок»), а вышеуказанную привел в прологе к книге «Liber quadratorum» («Книга квадратов»), которую посвятил императору. Сегодня мы не можем не восхищаться, что Фибоначчи сумел найти решение вышеуказанной задачи безо всяких компьютеров и калькуляторов, а просто благодаря виртуозному владению теорией чисел: 41/12. И в самом деле, (41/12)² + 5 = (49/12)², а (41/12)² – 5 = (31/12)².

Роль Фибоначчи в истории золотого сечения поистине поражает. С одной стороны, в задачах, где он сознательно прибегает к золотому сечению, он добивается значительного прогресса – пусть и не поразительного. С другой – он сформулировал задачу, которая на первый взгляд не имеет к золотому сечению никакого отношения, однако благодаря этой задаче Фибоначчи радикально расширил сферу применения золотого сечения и углубил его понимание.

Непосредственный вклад в литературу о золотом сечении Фибоначчи сделал своей короткой книгой о геометрии «Practica Geometriae» («Практика геометрии»), которая вышла в свет в 1225 году. Там ученый представил новые способы вычисления диагонали и площади правильного пятиугольника, формулы для вычисления длин сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по диаметру окружностей, описанных вокруг них и вписанных в них, и формулы для вычисления объемов додекаэдра и икосаэдра, и все это тесно связано с золотым сечением. В решениях этих задач Фибоначчи проявляет глубочайшее понимание евклидовой геометрии. Хотя его математические приемы до определенной степени опираются на работы предшественников, в особенности на труд Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике», не приходится сомневаться, что Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого сечения при решении различных геометрических задач. Однако величайшую славу Фибоначчи принесла невинная на вид задача из «Liber abaci», которая и стала главным вкладом ученого в исследования золотого сечения.