После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство–время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси х в пространстве Минковского с постоянным ускорением с²/Х в направлении х. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.

Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей

На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах х и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует своё значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения х. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.

Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: А_-0 и 0A₊, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера — это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности, Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус А_-0 является горизонтом событий прошлого — ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A₊. является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой чёрной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.

Точно так же, как была представлена пространственно-временная диаграмма для сопутствующих наблюдателей в координатах Леметра, можно представить пространственно–временную диаграмму для равномерно ускоренных наблюдателей. Для этого каждому такому наблюдателю сопоставляют свою пространственную координату со значением X. Тогда метрика пространства Минковского (вернее его части, заключённой в углу Риндлера), в координатах этих ускоренных наблюдателей принимает форму:

Здесь Х₀ — произвольный пространственный масштаб, позволяющий сохранить размерность, кроме того, для наблюдателя, у которого X = Х₀, эта система является локально лоренцевой. Эти координаты введены американским физиком Вольфгангом Риндлером, и представлены на диаграмме на рис. Д3. Каждому ускоренному наблюдателю соответствует вертикальная прямая с соответствующим значением X. Вертикальная прямая X = 0 соответствует горизонту Риндлера. Если время Т является координатным временем в системе Риндлера, то собственным временем для ускоренного наблюдателя является τ = (g₀₀)^1/2T = XT/Х₀ как это было определено в главе 7.

Для ускоренного наблюдателя с параметром Х₀ собственное время совпадает с координатным. Собственное время ускоренных наблюдателей идёт тем быстрее, чем больше X, и тем медленнее, чем меньше X.

Рис. ДЗ. Координаты Риндлера

В этом проявляется сильный принцип эквивалентности (глава 6) — ускорение имитирует действие гравитационного поля, где ход часов замедляется тем сильнее, чем больше потенциал.

На горизонте собственное время «замораживается», в этом смысле ситуация аналогична поведению собственного времени для наблюдателей в пространстве–времени шварцшильдовой чёрной дыры. Если мы проследим за формой светового конуса, то для наблюдателя Х₀ его «лепестки» наклонены под «стандартным» углом 45° (это как раз потому, что для него система Риндлера оказалась локально лоренцевой). Для больших X угол наклона «лепестков» увеличивается, для меньших X — уменьшается. На горизонте «лепестки» световых конусов вообще слипаются, точно также, как на горизонте на диаграмме Шварцшильда, см. рис. 8.2. Горизонт в метрике Риндлера представляет лишь координатную особенность, как и горизонт в координатах Шварцшильда. Но поскольку система ускоренных наблюдателей — это система в пространстве Минковского, то в отличие от решения Шварцшильда, «решение Риндлера» не имеет истинной сингулярности.

Наконец, обратимся к мировой линии покоящегося наблюдателя в пространстве Минковского — на рис. Д2 вертикальная линия x₁ = const Она соответствует кривой линии на рис. Д3. Координаты Риндлера охватывают лишь часть пространства Минковского, как видно из рис. Д2, поэтому ясно, что кривая на рис. Д3 отвечает лишь части истории покоящегося наблюдателя на рис. Д2.