5

Основы теории хаоса

Предположим, что как раз перед тем, как прочесть это предложение, вы попытались почесать у себя за плечом, заметили, что дотянуться до этого места становится труднее, подумали, что с возрастом ваши суставы кальцинируются, пообещали себе чаще делать зарядку и немедленно решили перекусить. Что ж, наука сказала свое слово — каждое из этих действий и мыслей, осознанных и неосознанных, как и вся лежащая в их основе нейробиология, детерминированы. Беспричинных причин не бывает.

Как бы тщательно вы его ни препарировали, каждое уникальное биологическое состояние оказывается вызвано предшествовавшим ему уникальным состоянием. И если вы действительно хотите докопаться до сути вещей, вам нужно разложить эти два состояния на части и выяснить, как каждый компонент, составляющий «раньше», привел к появлению каждого из компонентов «теперь». Так работает Вселенная.

Но что, если это неправда? Что, если некоторые моменты не обусловлены ничем из того, что им предшествовало? Что, если какое-то уникальное «теперь» может быть вызвано несколькими неуникальными «раньше»? Что, если стратегия изучения чего бы то ни было путем разложения на составные части оказывается бесполезной? Как выяснилось, так бывает. В прошлом веке картина Вселенной, нарисованная в предыдущем абзаце, перевернулась и на свет явились теории хаоса, эмерджентности и квантовой неопределенности.

Назвать эти теории революционными — не преувеличение. В детстве я прочел повесть «Двадцать один воздушный шар», утопию, повествующую о жизни изолированного общества на острове Кракатау, существующего благодаря изобретенной технологии воздушных шаров, которое вот-вот погибнет из-за знаменитого извержения вулкана, случившегося в 1883 г. Книга настолько меня увлекла, что, перевернув последнюю страницу, я в ту же секунду вернулся к началу, чтобы прочесть ее еще раз. Вторая такая книга, разделавшись с которой я немедленно начал чтение заново, попалась мне четверть века спустя — она была об одной из этих научных революций.

Невероятно интересная вещь. В этой главе и в пяти последующих мы познакомимся с тремя научными революциями и с мыслителями, которые верят, будто свободу воли можно откопать в их недрах. Признаюсь, что предыдущие три главы вызывают у меня сильные чувства. Меня приводит в особую, профессорскую, высоколобую ярость идея, будто поведение человека можно понять вне контекста всего того, что привело его в ситуацию «здесь и сейчас», что его история не имеет значения, что даже если его поведение кажется детерминированным, свободная воля таится где-нибудь там, куда вы не смотрите. Те же чувства вызывает у меня мысль, будто праведное осуждение — это нормально, поскольку, хотя жизнь и жестока, а ее дары и лишения распределены неравномерно, наша ценность измеряется тем, как мы решаем ими распорядиться. Такие взгляды питают океаны несправедливого страдания и незаслуженных привилегий.

Революционные открытия, описанные в следующих пяти главах, так глубоко моих чувств не задевают. Как мы увидим далее, не многие мыслители ссылаются на субатомную квантовую неопределенность, самодовольно заявляя, будто свобода воли существует и что сами они, очевидно, заслуживают принадлежности к 1% избранных человечества. Эти темы не пробуждают во мне желания возводить баррикады в Париже, распевая революционные гимны из «Отверженных». Напротив, они глубоко меня восхищают, поскольку открывают взору совершенно неожиданные структуры и закономерности: они скорее обогащают, чем притупляют ощущение, что жизнь гораздо интереснее, чем можно себе вообразить. Эти области знания в корне меняют наше представление об устройстве сложных вещей. И тем не менее свобода воли не обитает и там.

Эта и следующая главы посвящены теории хаоса, научной области, которая может сделать бесполезным изучение составных частей сложных систем. После введения в тему, которой посвящена эта глава, в следующей мы рассмотрим два способа, какими люди ошибочно полагают, будто могут отыскать свободу воли в хаотических системах. Первый — это идея, что если вы начинаете с чего-то биологически простого и неожиданно получаете чрезвычайно сложное поведение, то свобода воли по дороге возникает сама собой. Вторая мысль заключается в том, что если у вас есть сложное поведение, которое могло возникнуть из любого из двух разных предшествующих биологических состояний, и какое именно его вызвало, точно сказать нельзя, значит, можно спокойно утверждать, что оно ничем не вызвано, а было свободно от пут детерминизма.

НАЗАД, ГДЕ ВСЕ БЫЛО ПРОСТО

Предположим, Х = Y + 1

Чему тогда равно Х + 1?

Несложно подсчитать, что ответ будет (Y + 1) + 1.

Задайтесь вопросом, чему равно Х + 3, и вы немедленно получите ответ: (Y + 1) + 3. Самое важное здесь то, что, подсчитав, чему равно Х + 1, вы понимаете, чему равно Х + 3, не вычисляя предварительно, чему равно Х + 2. Вы можете экстраполировать решение в будущее, не рассматривая каждый из промежуточных шагов по отдельности. То же самое касается и выражений «Х + тьма тьмущая», или «Х + что-то типа тьмы тьмущей», или «Х + крот-звездорыл».

У мира, устроенного таким образом, имеется ряд свойств:

• Как мы только что видели, знание начального состояния системы (например, Х = Y + 1) позволяет точно предсказать, чему будет равно «Х + что угодно», пропустив все промежуточные этапы. Это свойство работает в обоих направлениях. Если вам дано «(Y + 1) + что угодно», вы знаете, что ваше начальное состояние — это «Х + что угодно».

• Этим подразумевается, что существует уникальный путь, связывающий начальное и конечное состояния системы; кроме того, никак не может быть, чтобы «Х + 1» равнялся «(Y + 1) + 1» не всегда, а только время от времени.

• Как было показано, если мы имеем дело с чем-то вроде «тьмы тьмущей», величина неопределенности и приблизительности в начальном состоянии пропорциональна ее величине в конце. Вы знаете, чего не знаете, и можете предсказать степень непредсказуемости.

Эта взаимосвязь между начальными и зрелыми состояниями позволила сформировать концепцию, на которой наука стояла веками. Я имею в виду редукционизм — идею о том, что, для того чтобы понять нечто сложное, нужно разложить его на составные части, изучить их и сложить воедино свои представления о каждой из этих частей. А если какая-то из них сама по себе сложна для понимания, разберите ее на крошечные детальки и изучите каждую.

Редукционизм подобного рода нам жизненно необходим. Если ваши часы, работающие на древней технологии зубчатых колесиков, ломаются, вы будете решать проблему редуктивно. Вы разберете часы на запчасти, найдете крошечное колесико со сломанным зубчиком, замените его, соберете все детали вместе, и часы заработают. Тем же методом пользуются в своей работе детективы — надо приехать на место преступления и опросить свидетелей. Первый свидетель видел только первый, второй и третий фрагменты события. Второй — только второй, третий и четвертый фрагменты, а третий — фрагменты три, четыре и пять. Вот беда, всего не видел никто. Но — спасибо редуктивному мышлению — детектив разгадает загадку и узнает всю последовательность событий целиком, если суммирует отдельные фрагменты частично совпадающих показаний трех свидетелей. Другой пример: в первый год пандемии мир с нетерпением ждал ответов на редуктивные вопросы: например, с каким рецептором на поверхности клетки связывается спайк-белок вируса SARS-CoV-2, когда проникает в клетку и заражает ее.

Разумеется, редуктивный подход применяется не везде. Если при засухе небо усеяно пухлыми тучками, а дождя не было уже год, нет смысла изолировать тучу, изучать ее левую и правую половину, а потом половину каждой половины и так далее до тех пор, пока в серединке не отыщется крошечное колесико со сломанным зубчиком. Тем не менее редуктивный подход долгое время был золотым стандартом научного познания сложных систем.

Но затем, в начале 1960-х гг., случилась научная революция, которую назовут хаотицизмом, или теорией хаоса. Ее центральная идея состоит в том, что действительно интересные, сложные вещи бывает невозможно понять на редуктивном уровне. Чтобы понять, скажем, человека, чье поведение ненормально, подходить к задаче нужно, как если бы перед нами была туча, не дающая дождя, а не часы, которые перестали тикать. И естественно, парадигма «люди-как-тучи» порождает практически непреодолимую тягу сделать вывод, что мы здесь наблюдаем свободу воли в действии.

ХАОТИЧЕСКАЯ НЕПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ

У теории хаоса имеется собственный миф о сотворении. В 1960-х гг., когда я был ребенком, неточные прогнозы погоды высмеивали ехидными остротами, например такими: «Метеоролог по радио [неизменно, кстати, мужчина] сообщил, что сегодня будет солнечно, так что лучше прихватите с собой зонтик». Метеоролог из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц, желая повысить точность прогнозов, пробовал моделировать погодные условия при помощи допотопного компьютера. Введите в модель такие переменные, как температура и влажность, и посмотрите, насколько точными станут прогнозы. Проверьте, улучшат ли предсказуемость дополнительные переменные, другие переменные, различные весовые коэффициенты переменных.

Итак, Лоренц изучал на своем компьютере модель с 12 переменными. Подошло время обеда; он остановил программу посреди цикла вычислений. Вернувшись, ученый, чтобы сэкономить время, перезапустил программу не с самого начала, а с точки, на которой остановился. Он ввел значения 12 переменных, какими они были на тот момент времени, и позволил модели вернуться к составлению прогноза. И когда Лоренц это сделал, наше представление о Вселенной перевернулось.

В указанный момент одна из переменных, хранившихся в памяти компьютера, имела значение, равное 0,506 127. Вот только в распечатке компьютер округлил его до 0,506; возможно, он не хотел слишком уж затруднять этого «человека версии 1.0». Как бы то ни было, 0,506 127 превратилось в 0,506, и Лоренц, не зная об этой небольшой неточности, запустил программу со значением переменной 0,506, думая, что по-прежнему имеет дело со значением 0,506 127.

Итак, теперь он работал со значением, которое на йоту отличалось от реального. А мы знаем, что в этом случае должно было произойти в нашем якобы чисто линейном, редуктивном мире: величина отклонения введенного начального состояния от реального (то есть 0,506 от 0,506 127) должна была бы предсказать величину отклонения конечного состояния — программа сгенерирует точку, которая будет лишь на йоту отличаться от той же точки, полученной до обеденного перерыва, и, если наложить два графика друг на друга, едва ли можно будет увидеть разницу.

Но когда Лоренц позволил программе, которая пользовалась значением 0,506, а не 0,506 127, продолжить расчеты, он получил результат, который гораздо сильнее расходился с результатами предыдущего, дообеденного просчета. Странно. С каждой следующей точкой все становилось еще более странным — иногда казалось, что значения возвращаются к дообеденной кривой, но затем они снова с ней расходились, и эти расхождения становились все более непохожими друг на друга, непредсказуемыми и безумными. В конце концов программа вообще перестала генерировать нечто, хотя бы отдаленно похожее на первоначальную картинку, и две кривые разошлись окончательно.

Вот что увидел Лоренц, наложив друг на друга два графика (дообеденный и послеобеденный), — сегодня эта распечатка приобрела статус священной реликвии в своей области знаний (см. рис. ниже).

Наконец Лоренц заметил небольшую ошибку округления, введенную в программу после обеда, и понял, что эта ошибка превратила систему в непредсказуемую, нелинейную и неаддитивную.

В 1963 г. Лоренц объявил о своем открытии в статье «Детерминированное непериодическое течение» (Deterministic Non-periodic Flow), напечатанной в узкоспециализированном издании Journal of Atmospheric Sciences. (В ней Лоренц, который уже начал понимать, как его открытия подрывают вековые традиции редуктивной мысли, не забывал, с чего начинал. «Сможем ли мы когда-нибудь безошибочно предсказывать погоду?» — печально вопрошали читатели журнала. «Нет, — отвечал Лоренц, — такого шанса попросту не существует».) С тех пор эту статью процитировали в других работах более 26 000 раз — умопомрачительное число.

Если бы программа Лоренца содержала не 12, а только две переменные, привычная редуктивность сохранилась бы — если же в компьютер ввели бы немного неправильное число, результат на каждом шаге в течение всего оставшегося времени отличался бы именно на величину первоначальной ошибки. Предсказуемо. Представьте себе Вселенную, состоящую всего из двух переменных, Земли и Луны, оказывающих друг на друга гравитационное воздействие. В таком линейном, аддитивном мире можно точно определить, где они находились в любой момент прошлого, и точно предсказать, где они будут находиться в любой момент в будущем; если бы в вычисления случайно вкралась ошибка округления, одна и та же величина аппроксимации сохранялась бы вечно. Но добавьте в систему Солнце, и она станет нелинейной. Дело в том, что Земля влияет на Луну, а это значит, что Земля влияет и на то, как Луна влияет на Солнце, а это, в свою очередь, означает, что Земля влияет на то, как Луна влияет на то, как Солнце влияет на Землю… И не забывайте о цепочке влияний в другом направлении, Земля — Солнце — Луна. Взаимодействие трех переменных исключает возможность линейного прогнозирования. Как только вы вступаете в область взаимодействия трех и более переменных — сегодня она известна как задача трех тел, — будущее немедленно и неизбежно становится непредсказуемым.

Когда мы имеем дело с нелинейной системой, следствием мельчайших отклонений в начальном состоянии может стать огромное, и даже экспоненциальное, расхождение конечных состояний; сегодня этот феномен называют «чувствительность к начальным условиям». Лоренц заметил, что непредсказуемость, вместо того чтобы навсегда устремляться в экспоненциальную стратосферу, иногда бывает ограниченной, связанной и «диссипативной». Другими словами, значения функции беспорядочно колеблются вокруг расчетных и все время оказываются то чуть больше, то чуть меньше спрогнозированной величины, причем величина отклонения всегда разная. Как будто каждое полученное значение притягивается к предсказанному, но недостаточно сильно, чтобы и в самом деле его достичь. Очень странно. Потому-то Лоренц и назвал наблюдаемые феномены странными аттракторами.

Итак, крошечные отклонения в начальных условиях способны непредсказуемо усиливаться со временем. Лоренц обобщил эту идею метафорой о чайках. Друг предложил ему другую, получше, и в 1972 г. она станет названием доклада Лоренца, а позже — еще одной священной реликвией этой области знаний (см. на следующей странице).

Так на свет появилась выразительная аллегория теории хаоса и связанной с ней научной революции — эффект бабочки.

ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ХАОСОМ В ДОМАШНИХ УСЛОВИЯХ

Давайте посмотрим, как хаотичность и чувствительность к начальным условиям выглядят на практике. Здесь нам пригодится модель системы, такая классная и забавная, что я на миг размечтался научиться программировать, чтобы мне было проще с ней играть.

Начнем с сетки, изображенной на листке бумаги в клеточку, где первый ряд клеток — это наше начальное состояние. Если точнее, каждая из клеток в ряду может принимать одно из двух значений — быть или пустой, или заполненной (или, на языке двоичного кода, нулем или единицей). Для этого ряда существует 16 384 возможных комбинации; мы случайным образом выбрали такую:

Теперь давайте сгенерируем второй ряд клеток, каждая из которых тоже будет пустой или заполненной, а конфигурация второго ряда будет детерминирована конфигурацией первого. Для этого нам потребуется какое-нибудь правило. Вот, например, самый скучный из возможных вариантов: клетка второго ряда, расположенная под заполненной, тоже будет заполненной, а клетка под пустой клеткой тоже будет пустой. Применяя это правило снова и снова, используя второй ряд как основу для третьего, а третий — как основу для четвертого и так далее, мы получим ряд тоскливых колонок. Можно ввести противоположное правило: клетка под заполненной остается пустой; под пустой клеткой, соответственно, будет тогда заполненная. Результат тоже ничем не примечателен: какие-то кривобокие шашечки.

Смысл вот в чем: если вам известно начальное состояние (например, конфигурация первого ряда), то, применяя одно из этих правил, вы сможете точно предсказать, как будет выглядеть любой последующий ряд. Перед нами знакомая линейная вселенная.

А теперь вернемся к первому ряду:

И введем новое правило: состояние клетки второго ряда (пустая она или заполненная) определяется состоянием трех клеток первого ряда: клетки непосредственно над ней и тех двух, что соседствуют с задающей клеткой в первом ряду.

Вот случайное правило, согласно которому три соседние клетки первого ряда задают состояние клетки во втором ряду: клетка второго ряда заполненная, если заполнена одна и только одна из тех трех, что расположены в предыдущем ряду над ней. Иначе клетка второго ряда остается пустой.

Давайте начнем со второй клетки второго ряда. Вот как выглядит тройка клеток непосредственно над ней (то есть три первые клетки первого ряда):

Одна из трех клеток заполненная, а это означает, что интересующая нас клетка второго ряда тоже будет заполненной:

Посмотрим на следующие три клетки первого ряда (то есть клетки 2, 3 и 4). Заполненная только одна из них, соответственно, третья клетка во втором ряду тоже будет заполненной:

В первом ряду, в тройке клеток 3, 4 и 5, две клетки (4 и 5) заполненные, поэтому следующая клетка второго ряда остается пустой. И так далее. Правило, которого мы придерживаемся (заполняй клетку нижнего ряда только в том случае, если заполнена одна и только одна из тройки клеток над ней), графически можно изобразить следующим образом:

Существует восемь возможных комбинаций троек (два возможных состояния первой клетки умножить на два состояния второй клетки и умножить на два состояния третьей клетки), и только четвертая, шестая и седьмая комбинации дают нам заполненную клетку во втором ряду.

Вернемся к нашему начальному состоянию. Применяя выбранное правило, мы получаем второй ряд вот такого вида:

Но подождите — а как быть с первой и последней клетками второго ряда, ведь у клетки над ними только по одной соседке? Это не было бы проблемой, если бы первый ряд длился в обе стороны до бесконечности, но нам такая роскошь недоступна. Как быть? Будем решать по имеющимся двум клеткам верхнего ряда: если одна из них заполнена, заполняем и интересующую нас клетку во втором ряду; если обе заполненные или обе пустые, мы оставляем ее пустой. Итак, с этим расширением правила второй ряд выглядит следующим образом:

Теперь применим то же самое правило, чтобы сгенерировать третий ряд:

Если вам больше нечем заняться, продолжайте в том же духе.

Теперь давайте применим наше правило к другому начальному состоянию:

Первые два ряда будут выглядеть так:

Заполните рядов этак 250 — и получите вот такую картинку:

Возьмите другое случайное начальное состояние, с рядами подлиннее, применяйте то же самое правило снова и снова — и получите что-то такое:

Ничего себе.

А теперь попробуйте такое начальное состояние:

И уже ко второму ряду получите вот что:

Ровным счетом ничего. В случае этого конкретного начального состояния весь второй ряд целиком состоит только из пустых клеток, и, соответственно, все последующие ряды тоже. Паттерн первого ряда угас.

Давайте попробуем описать наши новые знания метафорически, отказавшись от терминов ввод, вывод и алгоритм. Некоторые начальные состояния и законы воспроизводства, согласно которым на свет появляются следующие поколения, способны эволюционировать в весьма интересные зрелые состояния, зато какие-нибудь другие могут и вымереть, как в последнем примере.

К чему эта биологическая метафора? Дело в том, что мир генерации паттернов, подобный этому, существует и в живой природе (см. рис. ниже).

Мы только что познакомились с примером клеточного автомата, в котором вы начинаете с ряда клеток — пустых либо заполненных, — применяете правило воспроизводства и повторяете процесс.

Правило, которому мы с вами следовали (если и только если одна клетка из тройки вышележащих клеток заполнена), в мире клеточных автоматов называется правило 22; всего их 256. Не все из них порождают что-нибудь интересное — в зависимости от начального состояния одни дают паттерны, которые инертно и безжизненно повторяются до бесконечности, а другие угасают уже ко второму ряду. Очень немногие порождают сложные динамические паттерны. Правило 22 — самое популярное из этих немногих. Ученые на его хаотичности строят свои научные карьеры.

Что хаотичного в правиле 22? Мы видели, что, в зависимости от начального состояния, применяя правило 22, можно получить один из трех зрелых паттернов: (а) ничего, потому что паттерн угас; (б) кристаллизованный, скучный, неорганический периодический паттерн; (в) паттерн, который растет, ветвится и меняется, а структурированные зоны уступают место чему-то явно динамического, органического характера. И, что самое главное, не существует способа взять какое-нибудь непериодическое начальное состояние и предсказать, каким будет его сотый, тысячный или любой другой ряд. Чтобы выяснить это, придется пройтись по всем промежуточным рядам и их смоделировать. Невозможно предсказать, угаснет ли зрелая форма какого-нибудь начального состояния, будет ли она кристаллической или динамической, а если будет, то как она будет выглядеть; выдающиеся математики пытались и потерпели неудачу. Это ограничение, как ни парадоксально, распространяется и на то, что вы не можете доказать, что где-то за пару шажочков до бесконечности хаотическая непредсказуемость не выродится внезапно в аккуратный повторяющийся паттерн. Перед нами один из вариантов проблемы трех тел, взаимодействие которых и не линейно, и не аддитивно. Вы не можете прибегнуть к редуктивному подходу, разобрать правило на составные части (восемь разных вариантов троек и их следствия) и предсказать, что получится. Эта система не подходит для сборки часов. Она порождает тучи.

Итак, как мы только что поняли, знание начального состояния не дает никакой прогностической силы в отношении зрелого состояния — нам придется воспроизводить каждый промежуточный шаг по порядку.

Предположим теперь, что правило 22 применили к каждому из следующих четырех начальных состояний (см. рис. ниже).

Два из этих четырех состояний уже в десятом поколении вырождаются в один и тот же бесконечно повторяющийся идентичный паттерн. Попробуйте внимательно рассмотреть их и сказать, о каких идет речь. И вы не сможете этого сделать.

Возьмите листочек в клеточку, прорешайте задачу с карандашом в руках, и вы увидите, что два из этих четырех состояний конвергируют, то есть сходятся. Другими словами, зная зрелое состояние системы вроде этой, вы не сможете понять, каким было ее начальное состояние и не могло ли оно возникнуть из нескольких разных начальных состояний, — вот вам еще один признак хаотичности системы.

И наконец, посмотрите на такое начальное состояние:

Оно угасает к третьему ряду:

Внесите крошечное изменение в это нежизнеспособное начальное состояние, а именно поменяйте состояние всего одной из 25 клеток, и пусть теперь 20-я клетка будет не пустой, а заполненной:

И внезапно, откуда ни возьмись, в этот асимметричный паттерн врывается жизнь (см. следующий рис.).

Давайте скажем то же самое на языке биологии: одна-единственная мутация в 20-й клетке может повлечь за собой серьезнейшие последствия.

Давайте теперь скажем то же самое на формальном языке теории хаоса: эта система демонстрирует чувствительность к начальному состоянию 20-й клетки.

Давайте сформулируем то же самое максимально глубокомысленно: бабочка в 20-й клетке или взмахнула крылышками, или не взмахнула.

Обожаю такие вещи. Во-первых, с их помощью можно моделировать биологические системы — эту идею внимательно изучил Стивен Вольфрам. Клеточные автоматы к тому же необычайно круты, поскольку их размерность можно увеличить. Версия, которую изучали мы, одномерная: вы начинаете с линии клеток и генерируете новые линии. Игра «Жизнь» (придуманная ныне покойным математиком Джоном Конвеем из Принстонского университета) — это двумерная версия: вы начинаете с решетки ячеек, генерируете решетки следующих поколений и получаете совершенно завораживающие динамические, хаотические паттерны; ячейки в них называются «живыми» и «умирающими». Свойства все те же самые: вы не можете предсказать зрелое состояние, основываясь на начальном, — вы вынуждены моделировать каждый промежуточный шаг; вы не можете понять, каким было начальное состояние, потому что несколько начальных состояний могут сходиться к одному и тому же зрелому (к конвергенции мы еще вернемся); система демонстрирует чувствительность к начальным условиям.

(Существует и другой классический способ познакомить с теорией хаоса. Однако здесь я не стану его касаться, поскольку на собственном преподавательском опыте убедился в его чрезвычайной сложности и/или своей неспособности его доступно изложить. Если вам интересно, почитайте о водяном колесе Лоренца, удвоении периода и значении периода 3 для возникновения хаоса.)

Разобравшись наконец с азами теории хаоса, мы можем переходить к следующей главе, где узнаем о том, как концепции теории хаоса нежданно-негаданно обрели невероятную популярность, заронив семена еще одной разновидности веры в свободу воли.