Приложение В
Проверка делимости на число
Не составляет труда проверить, является ли одно число нацело делимым на другое без выполнения собственно деления.
Существуют следующие правила делимости:
1. Все числа делятся на 1.
2. Все четные числа делятся на 2. (Если последняя цифра числа делится на 2 или равна 0, число делится на 2.)
3. Если число нацело делится на 3, сумма его цифр также делится на 3. Обратное утверждение также верно. Например, 12 делится на 3, поскольку 1 + 2 = 3.
4. Если число, составленное из последних двух цифр числа, делится на 4, то все число делится на 4. Например, 116 делится на 4, так как 16 = 4 х 4.
5. Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.
6. Если число является четным и сумма его цифр делится на 3, то оно делится на 6.
7. * (См. замечание в конце списка.)
8. Если число, составленное из трех последних цифр проверяемого числа, делится на 8, то само проверяемое число делится на 8. Например, 1128 делится на 8, поскольку 128 = 8 х 16.
9. Если сумма цифр числа равна или кратна 9, то число делится на 9.
10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
11. Если разность между суммой цифр числа на четных местах и суммой цифр на нечетных местах равна 0 или является кратной 11, то число нацело делится на 11.
12. Если сумма цифр числа делится на 3 и число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4, то число делится на 12.
13. *
17. *
19. *
20. Если цифра десятков числа является четной и число оканчивается на 0, то оно делится на 20.
21. Если число делится на 7 и сумма его цифр является кратной 3, то число делится на 21.
23. *
29. *
* Существует простой метод проверки делимости, который может быть использован как для этих чисел, так и для других, больших по величине. При этом используются вспомогательные множители. Традиционные методы слишком сложны и требуют ручки и бумаги. Проверки же, о которых здесь идет речь, могут быть выполнены в уме.
Использование вспомогательных множителей
Чтобы проверить делимость на 7, будем использовать число 5 в качестве вспомогательного множителя. Умножим цифру единиц проверяемого числа на вспомогательный множитель.
Прибавляем полученный результат к проверяемому числу с удаленной цифрой единиц (то есть все разряды числа смещаются вправо на один, так что десятки становятся единицами, сотни — десятками и т. д.). Если сумма делится нацело на 7, то исходное число тоже делится на 7.
Например, делится ли 91 нацело на 7?
Нашим вспомогательным множителем является 5 (почему это так, объясню чуть позже). Умножаем цифру единиц числа 91 (1) на 5, получая в ответе 5. Прибавляем 5 к 9 и получаем 14, которое равно удвоенному 7. Таким образом, 91 делится на 7.
Делится ли 133 на 7?
Умножаем цифру единиц числа 133 (3) на наш вспомогательный множитель (5) и получаем 15. Прибавим его к 13 и получим 28 (7 х 4). Итак, мы выяснили, что 133 делится на 7. Возьмем еще один пример: делится ли 152 на 7? Умножим 2 на 5, получая 10. Складывая 10 и 15, получаем 25. 25 не является кратным 7, поэтому и 152 не делится на 7 нацело.
Последний пример: делится ли 1638 на 7 без остатка?
5 х 8 = 40
163 + 40 = 203
Поскольку мы не можем сходу определить, делится ли 203 на 7, повторим процедуру:
5 х 3 = 15
20 + 15 = 35
35 делится на 7 (5 х 7 = 35). Таким образом, 1638 нацело делится на 7.
Каким образом мы определяем вспомогательные множители?
Метод для определения вспомогательных множителей состоит в следующем:
Для определения положительного вспомогательного множителя увеличиваем проверяемый делитель на столько раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 9. В качестве вспомогательного берем цифру десятков числа, которое на 1 больше полученного результата.
Например, если мы хотим проверить делимость на 7, умножаем 7 на 7 и получаем 49. 49 на 1 меньше 50. Значит, вспомогательным множителем для 7 является 5.
Чтобы проверить делимость на 13, умножаем его на столько раз, чтобы в разряде единиц ответа оказалась цифра 9:
13 х 3 = 39
39 на 1 меньше 40. Следовательно, для 13 используем в качестве вспомогательного число 4. В случае с 19 нам не нужно умножать его ни на что, поскольку оно уже оканчивается на 9. 19 на 1 меньше 20, поэтому используем 2 в качестве вспомогательного множителя.
Чтобы найти вспомогательный множитель для 23, замечаем, что цифрой единиц является 3. Поскольку 3 х 3 = 9, умножим 23 на 3, получая 69. Это на 1 меньше, чем 70, поэтому берем 7 в качестве вспомогательного множителя.
Почему метод работает?
Если мы хотим проверить, делится ли одно число на другое, прибавление последнего или кратного последнему к первому не повлияет на делимость.
Когда мы проверяем, делится ли 91 без остатка на 7, то на самом деле прибавляем 49 (7 х 7) к 91, получая в ответе 140. Если мы уберем нуль в конце, это никак не изменит результат.
Проверяя, делится ли 112 на 7, мы умножаем 2 на 5 и получаем 10.
После этого 11 + 10 = 21, что, в свою очередь, равно 7 х 3.
Прибавить 100 к 110 — это то же самое, что прибавить 98 (2 х 49 или 7 х 7 х 2) к 112.
98 + 112 = 210
210 = 3 х 7 х 10
Внимательно рассмотрим вспомогательный множитель для 13. Прежде всего определим, какое число является вспомогательным множителем для 13?
3 х 13 = 39
39 на 1 меньше, чем 40, поэтому берем 4 (цифру десятков числа 40) в качестве вспомогательного множителя. Чтобы проверить, делится ли число на 13, умножим цифру единиц на 4 и прибавим к полученной сумме цифру десятков.
Например, делится ли 78 без остатка на 13?
Цифрой единиц является 8:
8 х 4 = 32
32 + 7 (цифра десятков числа 78) = 39 (3 х 13)
Поскольку 39 равно 3 х 13, получаем, что 78 кратно 13. Если мы сомневаемся насчет 39, можно продолжить процесс:
9 х 4 = 36
36 + 3 = 39
Поскольку мы получили то же число, можно с уверенностью сказать, что исходное число без остатка делится на 13. Рассмотрим другой пример. Является ли 351 кратным 13? Цифрой единиц является 1:
1 х 4 = 4
4 + 35 = 39 (39 = 3 х 13)
Итак, мы доказали, что 351 кратно 13.
А как насчет 3289? Делится ли оно без остатка на 13? Проверяемое число оканчивается на 9:
9 х 4 = 36
328 + 36 = 364
Мы не знаем, делится ли 364 на 13, поэтому на этот раз подвергаем проверке число 364.
Его последней цифрой является 4.
4 х 4 = 16
36 + 16 = 52 (52 = 13 х 4)
Если бы мы не знали, что 52 равно 13 х 4, то могли бы продолжить проверку далее.
Цифрой единиц числа 52 является 2.
2 х 4 = 8
5 + 8 = 13
Теперь мы знаем наверняка, что 3289 без остатка делится на 13.
А как насчет делимости на другие числа из нашего списка в начале главы?
Чтобы проверить делимость на 17, в качестве вспомогательного множителя берем 12; для 19 — 2; для 3–7; для 29 — 3. Данные множители могут быть найдены с помощью метода для определения вспомогательных множителей.
Например, является ли 578 кратным 17?
Большинству из нас деление на 17 покажется довольно непростой задачей. И мы, скорее всего, воспользуемся калькулятором.
Нам известно, что 12 является вспомогательным множителем при проверке делимости на 17. Умножаем 8 (цифру единиц числа 578) на 12.
12 х 8 = 96
96 + 57 = 153
То, что 153 без остатка делится на 17, не является очевидным. Попробуем снова.
3 х 12 = 36
36 + 15 = 51
Если вы не уверены насчет 51, продолжим процесс:
1 х 12 = 12
12 + 5 = 17
Очевидно, что 17 делится без остатка на 17. Поэтому 578 кратно 17.
Замечание: чуть позже я покажу альтернативный метод, с помощью которого можно проверить делимость на 17.
Рассмотрим какой-нибудь пример в обратную сторону. Произведение 7 х 13 равно 91, поэтому 91 является кратным для обоих чисел.
Проверка для 7:
1 х 5 = 5
5 + 9 = 14
14 равно 2 х 7, поэтому 91 без остатка делится на 7. Проверка для 13:
1 х 4 = 4
4 + 9 = 13
Таким образом, 91 делится на 13.
Попробуйте определить делимость самостоятельно:
а) Является ли 266 кратным 19?
б) Является ли 259 кратным 7?
в) Является ли 377 кратным 13?
г) Является ли 377 кратным 29?
Ответ утвердительный в каждом случае.
Отрицательные вспомогательные множители
Проверять делимость на число можно также с помощью отрицательного вспомогательного множителя.
Чтобы определить отрицательный вспомогательный множитель, увеличиваем проверяемый делитель на столько раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 1 (цифра единиц). Количество десятков полученного числа берем в качестве вспомогательного множителя.
Отрицательным вспомогательным множителем для 17 будет 5, поскольку 3 х 17 = 51. Попробуем еще раз решить некоторые вышеприведенные примеры, решенные с помощью положительного вспомогательного множителя.
Является ли 578 кратным 17?
Нашим отрицательным вспомогательным множителем является 5 (—5).
-5 х 8 = -40
Вычитаем результат произведения из числа, полученного после отбрасывания цифры единиц:
57 – 40 = 17
Мы доказали, что 578 делится на 17 без остатка за один шаг.
Попробуем решить другой пример. Делится ли 918 на 27 нацело?
Во-первых, необходимо определить отрицательный вспомогательный множитель для 27. Произведение 3 х 27 равно 81. Нашим искомым множителем является —8.
Умножаем цифру единиц числа 918 на множитель —8:
-8 х 8 = -64
91 – 64 = 27
Получили, что 918 делится на 27.
Еще один пример. Является ли 135 кратным 27?
Вспомогательным множителем является —8.
5 х -8 = -40
13 – 40 = -27
В ответе получили —27, доказав, что 135 делится на 27 без остатка. (Чтобы получить —27, все, что нам надо было сделать, — это вычесть 13 из 40 и поставить знак «минус» перед результатом.)
Попробуйте определить делимость самостоятельно:
а) Является ли 136 кратным 17?
б) Является ли 595 кратным 17?
в) Является ли 1426 кратным 31?
г) Является ли 756 кратным 27?
Во всех данных примерах ответ утвердительный. Проверка не представляет никаких трудностей.
Какой вспомогательный множитель выбрать — положительный или отрицательный?
Если числа оканчиваются на 7 или 1, то лучше использовать отрицательные вспомогательные множители. Посмотрим, какие цифры единиц могут быть у делителей, подвергающихся проверке.
Если делитель оканчивается на 1, в этом случае мы используем отрицательный вспомогательный множитель. Это число, составленное из цифр, стоящих перед 1, и со знаком «минус». Например, для числа 31 вспомогательным множителем будет —3.
Если делитель оканчивается на четную цифру, то сначала его следует разделить пополам, а затем использовать самый подходящий из методов для определения вспомогательного множителя.
Если делитель оканчивается на 3, то после умножения на 3 мы получаем число, оканчивающееся на 9, и легко определяем положительный вспомогательный множитель.
Если делитель оканчивается на 5, то сначала его следует разделить на 5, а затем использовать самый подходящий из двух методов.
Если делитель оканчивается на 7, то после умножения на 3 мы получаем число, оканчивающееся на 1, и легко определяем отрицательный вспомогательный множитель.
Наконец, если делитель оканчивается на 9, то после прибавления к нему 1 мы берем число, стоящее перед последним нулем в полученной сумме, в качестве положительного множителя.
