Книга: Быстрая математика: секреты устного счета

Назад: Глава 17 Приближенное значение квадратного корня

Дальше: Глава 19 Способы быстрых вычислений

Глава 18
Вычисление квадратного корня

Существует простой способ вычисления точного значения квадратного корня из числа. Речь идет о процессе, который я называю перекрестным умножением.

Вот как он работает.

Перекрестное умножение

Чтобы выполнить перекрестное умножение однозначного числа, вы просто возводите его в квадрат:

3² = 3 х 3 = 9

Если же у числа две цифры, тогда вы перемножаете их между собой и удваиваете результат.

34 = 3 х 4 = 12

12 х 2 = 24

В случае трехзначного числа следует перемножить первую и третью цифры, удвоить результат, а затем прибавить к этому квадрат средней цифры. Например, выполнить перекрестное умножение числа 345 — это значит:

3 х 5 = 15

15 х 2 = 30

30 + 4² = 46

Общее правило перекрестного умножения числа с четным количеством цифр:

Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока все цифры не будут перемножены. Затем сложите все полученные произведения и удвойте результат.

На практике вы складываете произведения одно за другим, а потом удваиваете полученную сумму.

Общее правило перекрестного умножения числа с нечетным количеством цифр:

Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока не дойдете до средней цифры. Сложите все полученные произведения и удвойте результат. Прибавьте к нему квадрат средней цифры.

Следующие примеры служат иллюстрацией этого:

123 = 1 х 3 = 3, 3 х 2 = 6, 6 + 2² (4) = 10

1234 = 1 х 4 (4), + 2 х 3 (6) = 10, 10 х 2 = 20

12345 = 1 х 5 (5), +2 х 4 (8) = 13, 13 х 2 = 26, 26 + 3² (9) = 35

Использование перекрестного умножения для извлечения квадратного корня

Метод извлечения квадратного корня состоит в следующем.

Например:

√2809 =

Прежде всего разобьем цифры попарно. Каждой паре цифр будет соответствовать одна цифра в ответе.

Таким образом, квадратный корень будет иметь две цифры (в целой своей части, разумеется).

Во-вторых, оценим величину квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары. Квадратный корень из 28 приближаем числом 5 (5 х 5 = 25). Таким образом, 5 — это первая цифра ответа.

Удвоим первую цифру ответа (2 х 5 = 10) и запишем результат слева от числа. Данное число будет нашим делителем. Запишем 5 — первую цифру ответа — над цифрой 8 в первой паре цифр (28).

Записанное нами выглядит так:

На этом мы закончили работу над первой цифрой ответа.

Чтобы найти вторую цифру, возведем в квадрат первую цифру нашего ответа и вычтем результат из первой пары цифр исходного числа.

5² = 25

28 – 25 = 3

Число 3 — это наш остаток. Переносим остаток 3 к следующей цифре числа, из которого извлекаем корень. Это дает нам новое рабочее число 30.

Разделим наше рабочее число (30) на делитель (10). Получаем 3 — следующую цифру ответа. 30 делится на 10 без остатка, поэтому переносить нечего. 9 — новое рабочее число.

Наше решение теперь выглядит так:

И наконец, выполним перекрестное умножение с последней цифрой ответа.

3² = 9

Вычтем результат из нашего рабочего числа:

9 – 9 = 0

Остатка нет: 2809 является точным квадратом. Его квадратный корень равен 53.

10 √2809 = 53

Рассмотрим другой пример:

√54756 =

Во-первых, разобьем попарно цифры и получим три пары цифр. Искомым корнем будет трехзначное число.

Теперь оценим приближенное значение корня из числа, образованного цифрами из первой пары. Речь в данном случае идет об одном числе: 5. В качестве приближения для корня из 5 берем 2 (2 х 2 = 4).

Запишем 2 в качестве первой цифры нашего ответа. Удвоим ее, чтобы получить делитель (2 х 2 = 4).

Теперь наше решение выглядит так:

Возведем в квадрат первую цифру ответа, запишем результат внизу и вычтем его из числа, составленного из цифр первой пары:

2² = 4

5 – 4 = 1

Переносим 1 к следующей цифре. Получаем новое рабочее число 14.

Разделим 14 на наш делитель 4. Ответом будет 3 с остатком 2 (3 х 4 = 12). Переносим остаток к следующей цифре. Наше следующее рабочее число — 27.

Выполняем перекрестное умножение с цифрами ответа, за исключением первой, то есть с цифрой 3.

3² = 9

Вычтем результат из рабочего числа:

27 — 9 = 18

Разделим 18 на 4 и получим в ответе 4 с остатком 2. Таким образом, 4 является последней цифрой ответа. Все другие цифры, которые мы теперь будем получать, относятся к дробной, то есть после десятичной запятой, части ответа. Переносим остаток 2.

Наше очередное рабочее число — 25.

Выполняем перекрестное умножение с цифрами ответа, за исключением первой:

4 х 3 = 12

12 х 2 = 24

Вычитаем 24 из рабочего числа (25) и получаем в результате 1. Делим 1 на 4. Получаем в ответе 0 с остатком 1. Переносим 1 к последней цифре. Теперь нашим рабочим числом является 16.

Выполняем перекрестное умножение:

0 х 3 = 0

4² = 16

Вычитаем 16 из нашего рабочего числа и получаем в ответе 0. Остатка нет.

И в данном примере 54756 является точным квадратом. Его квадратный корень — 234.

Если бы мы получили остаток, то просто перенесли бы его к следующему числу и продолжили процесс до того количества знаков после запятой, которое нам требуется.

Сравнение методов

Каким был бы наш ответ, если бы мы оценивали приближенное значение корня посредством метода, описанного в предыдущей главе?

Определяем 2 в качестве оценки для первой цифры ответа. Следующие две цифры автоматически становятся нулями. Первой оценкой искомого корня является 200.

Разделим 54756 на 200. Сначала разделим на 100, а потом на 2.

54756: 100 = 547,56

547: 2 = 273

Находим среднее для 200 и 273, получим 236. Мы могли бы округлить в сторону уменьшения до 235 — на единицу больше, чем истинный ответ, что соответствует ошибке в размере примерно 0,5 процента. Такая точность вполне приемлема для большинства ситуаций. Однако, если вы желаете получить точное значение корня, тогда метод перекрестного умножения является самым простым из всех известных мне.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) √3249 = __; б) √2116 = __; в) √103041 = __

Ответы:

а) 57; б) 46;

Решим пример в) вместе:

√103041 =

Разобьем цифры числа на пары:

Есть три пары цифр, поэтому и в ответе будет три цифры в целой части.

Вычисляем приближенное значение квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары, то есть из числа 10. 3 на 3–9. 4 не годится, потому что 4 в квадрате превышает 10. Значит, первой цифрой ответа будет 3. Таким образом, нашим делителем является 6.

3 в квадрате дает 9. Поделив 10 на 9, получаем остаток 1. Переносим его к следующей цифре. Это дает нам новое рабочее число — 13.

Делим 13 на делитель 6:

13: 6 = 2 r1

Следующая цифра ответа — 2, а рабочее число — 10.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 2 и получаем 4. Вычтем 4 из рабочего числа:

10 — 4 = 6

Делим 6 на 6.

6: 6 = 1

1 — это последняя цифра целой части нашего ответа. У нас нет остатка для переноса.

Нашим новым рабочим числом будет 4. Выполняем перекрестное умножение. Такое умножение для числа 21 дает в ответе 4 (2 х 1 = 2, 2 х 2 = 4). Вычтем 4 из 4 и получим в результате 0.

Новым рабочим числом является 1.

Выполняем перекрестное умножение:

0 х 2 = 0

1² = 1

Вычтем 1 из 1. Нашим последним результатом является 0, поэтому 103041 — точный квадрат. Квадратный корень из этого числа равен 321.

Немного попрактиковавшись, вы сможете выполнять все вышеприведенные вычисления в уме, что произведет большое впечатление на окружающих.

Вопрос читателя

Один читатель спросил меня, как бы я находил квадратный корень из числа 2401.

После разбивки цифр на пары задача выглядит следующим образом:

Мы имеем две пары цифр, поэтому в ответе будут две цифры.

Читатель спрашивает: «Когда я беру 4 в качестве приближения квадратного корня из 24 (4 х 4 = 16), то получаю в качестве делителя 8, а затем, вычитая 16 из 24, получаю 8, которое после переноса к следующей цифре 0 дает 80, а 80 делится на 8 десять раз. Что я делаю не так?»

Есть небольшой нюанс. Поскольку 10 не является цифрой, мы уменьшаем 10 на 1, получая в качестве второй цифры ответа 9, а также остаток 8, который мы переносим к следующей цифре 1, имея в результате 81.

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 9 (9 в квадрате), что дает в ответе 81. Вычтем 81 из текущего рабочего числа (81).

81 – 81 = 0

Итак, мы имеем нулевой остаток. Ответ (49) является точным квадратным корнем.

Затем читатель спросил, как бы я вычислял следующий квадратный корень:

√23222761 =

Разбиваем цифры на пары и получаем:

Полностью решенная задача выглядит следующим образом:

Каждый раз, выполняя деление, вам необходимо помнить о том, что переносимый остаток должен давать результат, превышающий число, получаемое в итоге перекрестного умножения. Кроме того, 9 является самым большим значением, которое можно использовать в качестве остатка, даже если в результате деления выходит 10 или 11. Если деление не дает остатка, а у вас в ответе уже имеются цифры, с которыми можно выполнить перекрестное умножение, необходимо уменьшить результат, по крайней мере, на 1.

Я обычно использую первый метод для вычисления приближенного значения квадратного корня; но если мне нужен точный ответ, я применяю способ, рассмотренный в настоящей главе. Чем больше числа, с которыми вы имеете дело, тем труднее будут вычисления, поскольку приходится выполнять перекрестное умножение с большим количеством цифр. К тому же метод приближенного вычисления квадратного корня проще сам по себе.

Давайте сравним оба метода в процессе нахождения квадратного корня из 196. Сначала методом оценки:

Разделим число на пары цифр. Их две, поэтому в ответе будут две цифры.

Находим приближение для квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1).

Квадратный корень из 1 равен 1. Первая цифра ответа — 1.

Второй цифрой будет, как обычно, 0. Первое приближение, таким образом, равняется 10.

196: 10 = 19,6

Округляем в сторону уменьшения и находим среднее. Округляем до 19. Разница равна 9 (19–10 = 9). Половина от 9 равна 4,5. Прибавляем 4,5 к 10 и получаем ответ: 14,5.

Чтобы повысить точность, можно использовать 15 в качестве второй оценки.

Делим 196 на 15. Простой способ сделать это состоит в том, чтобы удвоить оба числа (196 = 200 — 4, удвоив 200 — 4, получаем 400 — 8). Теперь мы имеем 392: 30. Чтобы разделить 392 на 30, делим сначала на 10, а затем на 3.

392: 10 = 39,2

39,2: 3 = 13,06

Округляем в сторону уменьшения до 13.

Разделим разницу между 13 и 15. Половина от 2 равна 1. Отнимаем это от нашей исходной округленной оценки (15 — 1 = 14). Ответом является 14 — точный корень из 196.

Как работал бы наш метод с перекрестным умножением в случае извлечения корня из 196?

√196 =

Разобьем число на пары цифр:

Оцениваем значение квадратного корня из числа, составленного из цифр первой пары (1). Квадратный корень из 1 равен 1. Это первая цифра ответа. Удваиваем ее и получаем делитель. 2 на 1–2.

Делим следующую цифру числа (9) на делитель.

9: 2 = 4 с остатком 1

Записываем 4 в качестве второй цифры ответа и переносим остаток к следующей цифре (6), получая в итоге 16.

Выполняем перекрестное умножение (возводим в квадрат) для цифры 4 в ответе (первую цифру, как требует метод, мы не трогаем) и отнимаем результат из нашего рабочего числа 16. 4 в квадрате дает 16, вычитаем его из 16 и получаем 0. Таким образом, 196 — точный квадрат (числа 14).