Ваш дядюшка Эбенезер всегда был со странностями. Он постоянно называл вас бездарем, лентяем и транжирой, поэтому после его похорон вы вполне ожидаемо удивились письму от адвоката покойного. Старика не уняла даже могила: согласно его завещанию, вы могли бы сорвать приличный куш, если бы сумели продемонстрировать надлежащую финансовую хватку. В письме также разъяснялись условия: дядюшка Эбенезер оставил вам 25 000 фунтов стерлингов, которые следовало инвестировать и за пять лет превратить в 50 000. В случае успеха вас ждет куда больше — 1 миллион фунтов стерлингов, но в противном случае вам придется вернуть исходные 25 000 фунтов стерлингов, которые будут пожертвованы политической партии, которую вы терпеть не можете. Больше всего на свете вам хотелось бы доказать вздорному старикашке, что он был неправ, и забрать его деньги, но как свести риск к минимуму? Возможно, вас выручит старый добрый сберегательный счет?

Что тут скажешь: с тех пор, как примерно 5000 лет назад придумали деньги, капитализация процентов не переставала интересовать математиков, банкиров, экономистов — и всех, кто брал или давал ссуды. А ростовщичество — займы под немыслимые проценты — часто рассматривалось как грех и кое-где даже считалось незаконным. Недавние случаи кредитного мошенничества — когда люди были вынуждены выплачивать колоссальные суммы по микрокредитам «до зарплаты» — только ужесточили государственное регулирование в этой области.

Нам точно известно, что благодаря капитализации — сложному проценту, или начислению процентов на проценты, — накопления растут гораздо быстрее. Принцип прост: вы вносите определенную сумму, и на нее начинают начисляться проценты. Потом проценты переводятся на основной счет, а вы начинаете зарабатывать на общей сумме — и так далее, и так далее. Другими словами, вклад увеличивается быстрее, чем предполагает процентная ставка.

Очень важный фактор — насколько часто начисляются проценты. Допустим, вы вносите 25 000 фунтов стерлингов под 5% годовых, которые выплачиваются в конце каждого года. Чтобы увеличить любое число на 5%, его нужно умножить на 1,05, где 1 — сумма первоначального вклада, а 0,05 — 5%-ный прирост в виде десятичной дроби. К концу года — моменту начисления процентов — на вашем счете будет 25 000 × 1,05 = 26 250 фунтов стерлингов. Прекрасно! Накопительный счет принес вам кругленькую сумму в 1250 фунтов стерлингов.

Другой банк обещает открыть счет с аналогичной ставкой, однако проценты будут выплачиваться дважды в год — по 2,5% раз в шесть месяцев. Коэффициент для такого прироста составляет 1,025, но из-за двукратной выплаты умножать надо дважды: 25 000 × 1,025 × 1,025 = 26 265,63 (с точностью до пенни). Сложные проценты принесут вам на 15,63 фунта больше.

Доведем ситуацию до крайности. Еще один счет под 5% годовых предполагает ежедневную капитализацию, то есть за год вы 365 раз получите 0,01369863014%. Чтобы разобраться, вам нужно 365 раз умножить 25 000 фунтов стерлингов на 1,0001369863014. Как вы помните, многократное умножение числа само на себя — то же самое, что и возведение в степень, поэтому давайте прибегнем к более удобной форме записи:

25 000 × 1,0001369863014365 =
= 26 281,69 фунта стерлингов.

Такое количество знаков после запятой действительно необходимо: округление в меньшую или большую сторону повлияет на результат. Избавлю вас от вычислений и сообщу, что на счете, проценты по которому капитализируются каждый час, спустя год числилось бы 26 281,77 фунта, то есть всего на 8 пенсов больше. А как насчет ежесекундных процентов? На вкладе образовалось бы 26 281,78 фунта стерлингов — всего на пенс больше.

Сами видите: чем чаще выплачиваются проценты, тем меньше прирост доходности, однако нет сомнений в том, что 31,77 фунта стерлингов, или ежедневное начисление по ставке в 5%, выгоднее остальных вариантов: годовой доход соответствует ставке в 5,13%. По капле и море собирается.

В такой ситуации хорошо бы иметь формулу для расчета процентов. Вы наверняка обратили внимание, что в определении обозначенного прироста вложений используется кратный коэффициент (мультипликатор) — годовая процентная ставка, поделенная на периодичность выплаты процентов, плюс число 1, которое соответствует первоначальному вкладу. Достаточно просто многократно (соответственно частоте капитализации в течение года) умножать нужную сумму на мультипликатор. Таким образом, получается формула, где T — общая сумма, I — первоначальный вклад, r — процентная ставка, n — периодичность начисления процентов:

Формула позволяет определить годовой прирост, но вы понимаете, что для реализации вашего плана деньги дядюшки Эбенезера должны пролежать в банке куда больше года. Продлите вклад на год — получите сложные проценты еще n раз. Но если вы собираетесь держать деньги на счете в течение y лет, в формулу надо внести одно крошечное изменение (посмотрим, заметите ли вы, какое именно):

Итак, у нас есть формула. Подставив известные нам значения, увидим, когда общая сумма превысит 50 000 фунтов стерлингов. Хорошо бы выразить y. Однако y — это степень, и если вы подзабыли школьную программу, то действия по «расстепенению» станут понятны далеко не сразу.

Нам понадобится логарифм. Читатели постарше наверняка помнят времена, когда электронных калькуляторов не было и для расчетов использовались логарифмические таблицы и линейки. Сама идея в общем и целом проста, но вот на практике приходится ломать голову, поэтому в Великобритании логарифмы изучают исключительно те старшеклассники, которые готовятся к поступлению в вузы. Так что соберитесь с духом!

Рассмотрим степени для 10:

101 = 10
102 = 100
103 = 1000.

И так далее. Каждый раз, увеличивая степень на единицу, мы умножаем основание на 10. Степени могут и не являться целыми числами, однако тогда для вычислений лучше обратиться к электронному помощнику:

101,5 = 31,6227766
101,75 = 56,23413252.

Возможность записывать степени в виде десятичных дробей означает, что любое положительное число можно использовать как порядок. Если нам понадобится узнать, какая степень числа 10 дает 75, поразмыслим над таким выражением:

10t = 75.

Возьмем калькулятор и воспользуемся методом проб и ошибок. Понятно, что значение t должно лежать между 1,75 (так как 101,75 = 56,23413252) и 2 (поскольку 102 = 100). Недолго провозившись, вычисляем, что 101,875 = 74,99 с точностью до двух знаков после запятой. Однако «угадывать» и «вычислять» — разные вещи. Люди испокон веков предпочитали вычисления. И уж, конечно, играть в угадайку не собирались математики, искавшие решение уравнения, где неизвестная величина — степень.

Решение было найдено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером, который предложил использовать логарифм как вариант операции, обратной степени и, следовательно, отменяющей возведение в степень. Еще он создал первые таблицы, которые позволяют отыскать нужное значение степени.

Если мы пишем log10(75), то просто-напросто задаемся вопросом: в какую степень надо возвести число 10, чтобы получить 75? Раньше ответ помогла бы найти логарифмическая таблица, а сейчас это может сделать калькулятор. Согласно моему калькулятору, искомая степень равняется 1,875061263, что можно легко проверить, вычислив, сколько будет 101,875061263. Действительно — 75. Число 10 — основание логарифма. Чтобы уложить все это в голове, попробуем указать другое основание. Например, если бы мы искали, чему равно a в выражении 2a = 10, нам пришлось бы определить, в какой степени число 2 будет равняться 10. Это можно выяснить с помощью log2(10). Получается чуть больше 3,3, что неудивительно: 23 — это 8, а 24 — 16; значит, 2, возведенное в степень приблизительно между 3 и 4, будет равняться 10. Вернемся к нашей задаче:

Так как нам хотелось бы использовать логарифм, будет проще, если мы определим основание степени (в данном случае — то, что в скобках). Для этого делим обе части уравнения на I:

Упрощаем, подставляя известные значения. Искомая общая сумма — 50 000, имеющийся стартовый капитал — 25 000, процентная ставка — 0,05, банк выплачивает проценты ежедневно. Получаем следующее выражение:

Теперь нужно выяснить, в какой степени равняется 2, и это должно равняться 365y. Получаем:

Вычисляем левую часть выражения на калькуляторе:

5060,320984 = 365y.

Чтобы найти y, обе части делим на 365:

13,86389311 = y.

Переводим результат в годы и дни и видим, что нужная общая сумма — 50 000 фунтов стерлингов — накопится через 13 лет и 316 дней. Слишком долго. За счет чего можно ускорить процесс? И тут вы понимаете, что условия, выдвинутые дядюшкой Эбенезером, не запрещают вам задействовать собственные деньги. Если ежемесячно откладывать по чуть-чуть — посредством все тех же сложных процентов, — не поможет ли это компенсировать разницу?

Для начала подсчитаем, воспользовавшись формулой капитализации процентов, в какую сумму превратятся 25 000 фунтов стерлингов через пять лет:

I — это ваши первоначальные 25 000 фунтов стерлингов, r — 5% годовых (что в виде десятичной дроби выглядит как 0,05), n — 365, так как проценты выплачиваются ежедневно, и y — 5, поскольку вклад размещается на пять лет:

Считаем:

T = 25 000 × 1,0001369861825;
Т = 32 100,09.

Итого вам остается накопить 17 899,91 фунта стерлингов, если вы будете следовать плану. Математическая сторона этого вопроса немного сложнее, чем предыдущая формула расчета сложных процентов. Предположим, что под все те же 5% годовых, или 0,417% в месяц, вы станете ежемесячно вносить на счет 100 фунтов. Сбережения будут расти вот так:

Можно заметить последовательность, которую математики называют рядом. Начальное значение (в нашем случае 100) многократно умножается на одно и то же число (в нашем случае 1,00417) — так образуются члены ряда. К счастью, математики уже давно изучают ряды: это весьма полезно при определении различных констант (π, e) и других важных чисел. Существует формула нахождения суммы первых n членов числового ряда, которую мы и рассмотрим применительно к вашим накоплениям. Если каждый месяц в течение n месяцев вы будете вносить на счет a фунтов стерлингов при ежемесячной процентной ставке r, размер вклада можно вычислить по следующей формуле:

Таким образом, ежемесячный вклад в размере 100 фунтов стерлингов на протяжении пяти лет (60 месяцев) принесет:

T = 6801,3 фунта стерлингов.

Узнать, сколько придется откладывать каждый месяц, чтобы на счете образовалось 17 899,91 фунта стерлингов (исключительно важная для нас сумма), поможет следующая формула:

Разбираемся с правой частью формулы при помощи ряда вычислений, чем существенно облегчаем себе жизнь:

Далее обе части формулы умножаем на 0,00417:

74,6426247 = 0,28361431а.

Наконец, поделив обе части на 0,2836143, находим a:

а = 263,18 фунта стерлингов.

Округляем в меньшую сторону — до ближайшего пенса. Ежемесячно пополняя вклад на а, вы накопите требуемую сумму с точностью до 25 пенсов. И, хотя это приличная часть вашего текущего дохода, вы приходите к выводу, что овчинка — ценный приз в размере 1 миллиона фунтов стерлингов — стоит выделки.

Представив себе выражение лица дядюшки Эбенезера, осознавшего, что его вызов принят, вы хохочете, однако впоследствии задумываетесь. Что, если старик, заставив вас впервые серьезно задуматься о финансах, оказал вам услугу? Чтобы отпраздновать предстоящий успех, вы кладете в карман недельный заработок и отправляетесь в местное казино.