Как частный консультант по безопасности вы не имеете себе равных: ряд недавних громких дел даже привлек внимание международных СМИ. Но как только на пороге вашего офиса появляется разодетая по последней парижской моде дама, вы тут же отменяете все свои встречи и, предложив ей чай/кофе, соглашаетесь выяснить, кто из сотрудников Лувра подменяет шедевры практически идеальными копиями. Бюджет, который музей выделяет на безопасность, сильно ограничен. Вместе с заказчицей вам предстоит придумать, как при минимальном количестве охранников уберечь картины, скульптуры и прочие художественные ценности, представленные на выставке, которая недавно открылась… ну, скажем, в зале математического искусства. При этом заказчица требует, чтобы каждая часть экспозиции находилась под постоянным наблюдением хотя бы одного охранника. Как эффективно решить поставленную задачу?

Мы должны обратиться к математической логике и попытаться мыслить геометрически. Давайте начнем рассуждать о помещении и его безопасности на языке математики. Итак: обозначьте необходимое количество охранников буквой g, а затем посмотрите, получится ли уменьшить это значение. Прежде всего вам нужно разобраться в многоугольниках (полигонах).

Многоугольники — плоские фигуры с прямыми сторонами. В большинстве случаев план помещения представляет собой совокупность многоугольников, которые в основном (но не всегда, что можно увидеть на представленной ниже планировке) имеют прямые углы.

Многоугольники принято называть по количеству сторон. Треугольник представляет собой многоугольник с тремя сторонами (для полигона это число сторон является минимально возможным). Если склеить два треугольника, сторона к стороне, получится четырехсторонняя фигура, известная как четырехугольник.

Четырехугольники — прямоугольник, квадрат, трапеция, дельтоид, параллелограмм и ромб. Добавьте к двум склеенным треугольникам еще один, и образуется пятиугольник — многоугольник с пятью сторонами. Приклеивая новые и новые треугольники, вы увеличиваете количество сторон полигона.

Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. У первых все внутренние углы меньше 180°: это означает, что, если вы смотрите на фигуру со стороны, вам кажется, будто ее стороны, как и углы, выдаются вперед, то есть являются выпуклыми. У многоугольников второй разновидности, невыпуклых, как минимум пара-тройка внутренних углов больше 180°, и появляется ощущение, что углы направлены внутрь фигуры.

Вообразите, что находитесь в комнате, план которой выглядит как выпуклый многоугольник. Где бы вы ни стояли, для обзора доступен любой угол. Если выражаться математическим языком, у вас есть возможность провести прямую от своего местоположения к каждой точке в помещении. В таком контексте линия будет означать направление обзора, а значит, для охраны любой выпуклой комнаты хватит одного человека.

К сожалению, проектировщик зала математического искусства хотел блеснуть оригинальностью или, возможно, просто увеличить площадь экспозиции, поэтому помещение приобрело вид невыпуклого многоугольника с 28 сторонами — икосиоктагона, если использовать точный термин. Точки внутри помещения, из которой можно провести прямую линию в любую часть многоугольника, не пересекая его сторон, не существует, и потому у нас есть все основания заявить: для наблюдения понадобится больше одного охранника. Итак, нам известно, что g > 1. Наверное, это и так было очевидно, однако теперь у нас появилась отправная точка.

Как уже было сказано, многоугольник можно собрать из треугольников. И, как вы, вероятно, помните со школьных времен, внутренние углы последних составляют в сумме 180°. У треугольника три угла, каждый из которых должен быть меньше 180°, а значит, эта фигура точно не является невыпуклой. Получается, что для полноценной охраны любой треугольной комнаты достаточно одного человека. (Подобное заключение, конечно, не относится к четырехугольникам или многоугольникам с количеством сторон больше трех, так как любая из этих фигур может оказаться невыпуклой.) Итак, теперь вам известно, что на каждый из треугольников, составляющих икосиоктагон, клиентке потребуется самое большее по одному охраннику. В этой связи, наверное, есть смысл упомянуть, что треугольников в многоугольнике всегда на два меньше, чем сторон: треугольник — это один треугольник (что само собой разумеется) и три стороны, четырехугольник — два треугольника и четыре стороны, пятиугольник — это три треугольника и пять сторон…

Итак, число g для комнаты с количеством стен n должно равняться по меньшей мере n – 2, что дает нам g ≤ n – 2. Если объединить это неравенство с предыдущим ограничением, получим вот что:

1 < g ≤ n – 2.

В случае с нашим залом, где по условию n = 28, диапазон возможных значений g будет представлен так:

1 < g ≤ 26.

Разбить полигональное помещение на треугольники можно следующим образом:

Разумеется, существуют и другие варианты, однако в том, что 28-сторонний полигон будет составлен из 26 треугольников, можно быть абсолютно уверенным.

Ход ваших рассуждений, кажется, устраивает клиентку, но у нее имеются вполне понятные опасения, что по залу — при достаточном бюджете — будут слоняться 26 охранников. Заверьте даму, что работа еще не закончена и что вы, приложив еще больше усилий, сумеете значительно уменьшить количество персонала.

Давайте подумаем, что получится, если распределить охранников по углам треугольников. Обозначим вершины каждого из них буквами A, B и C, причем таким образом, чтобы углы с одной и той же буквой не соседствовали друг с другом.

На иллюстрации буквы необходимо расставить в нужных местах.

«Почему это так важно?» — возможно, поинтересуетесь вы. Вот почему: выбрав вершину, обозначенную буквой А, В или С, и поместив туда соответствующего охранника, мы дадим каждой фигуре персонального наблюдателя, но некоторые из них будут обозревать больше одного треугольника. Дело в том, что некоторые углы относятся сразу к нескольким треугольникам. Разбивая помещение на простейшие выпуклые многоугольники, мы стремились, чтобы общими вершинами — особенно в двух углах зала, обведенных кружками, — обладало как можно большее количество треугольников. Таким образом, если у многоугольника n вершин, то количество углов, обозначенных как A, B или C, должно быть около n ÷ 3. Поскольку n ÷ 3 не обязательно будет целым числом, нам придется округлять его в меньшую сторону. В зависимости от точной формы помещения могут найтись способы, как еще уменьшить количество персонала, но будьте уверены: полученный ранее результат окажется верхней границей минимального числа охранников. Итак, теперь вы знаете:

Такие полускобки означают округление в меньшую сторону. В нашей ситуации число охранников будет подсчитываться так:

Это означает: независимо от конфигурации помещения с 28 сторонами для его охраны понадобится не более восьми человек. Клиентку это, кажется, радует — ведь количество персонала уменьшилось более чем втрое. Но можно ли улучшить результат?

А теперь вам придется пойти опытным путем и выявить те закономерности, что помогут улучшить промежуточный результат. Нет никакой гарантии, что эвристический подход поможет оптимизировать предыдущее решение, но клиентка совершенно точно обрадуется, если охранников в зале станет еще меньше.

Вы замечаете, что на плане есть несколько мест с наилучшим обзором. Например, из точки на иллюстрации ниже зал просматривается почти полностью (за исключением заштрихованных областей):

Следующего охранника вы помещаете таким образом, чтобы слепые пятна оказались в его поле зрения. Большинство нужных областей он увидит из этой точки:

За неохваченной крошечной зоной — она находится в нижнем левом углу — сможет наблюдать третий охранник.

Клиентка, которая выглядит приятно удивленной как простотой ваших рассуждений, так и экономией на охране, тянется к своей сумке Louis Vuitton — хочет выплатить гонорар.

— Не стоит, мадам, — останавливаете вы даму. — Я с радостью откажусь от денег в обмен на пожизненный абонемент в Лувр и индивидуальную экскурсию по залу математического искусства.

— Конечно, мсье, — подсчитывая в уме расходы на троих охранников, соглашается она.

Очевидно, прежде чем совершить экскурсию, вам придется дождаться поимки преступника.