“Величайший логик со времен Аристотеля”

Вскоре после этого у Морица Шлика снова появилась причина обратиться к Отто Пётцлю.

Весной 1934 года, как и планировалось, вернулся из Принстона Курт Гёдель – он провел семестр в Институте передовых исследований в качестве приглашенного профессора. Однако вскоре стало ясно, что молодой логик страдает душевным расстройством, и ему срочно необходима врачебная помощь. Шлик написал Пётцлю с просьбой “не отказать в любезности и позволить мне привезти к вам моего уважаемого коллегу приват-доцента Курта Гёделя на профессиональную консультацию”.

Никаких хвалебных слов, подчеркивал Шлик в письме, не хватит, чтобы описать интеллектуальные способности Гёделя. Гёдель – чистый гений. “Это математик величайшего калибра, и общепризнанно, что его открытия начинают новую эру. Эйнштейн со всей уверенностью назвал Гёделя величайшим логиком со времен Аристотеля, и можно безо всяких сомнений сказать, что Гёдель при всей своей молодости величайший авторитет в мире по фундаментальным вопросам логики”.

“Величайшему логику со времен Аристотеля” еще не исполнилось и тридцати, но его постоянно терзали мания преследования и страх, что его отравят. Врач старался, как мог, но лечить случай глубокой паранойи всегда дело непростое.

О психиатрах рассказывают массу анекдотов, а в Вене, пожалуй, этих специалистов особенно много. Ведь именно здесь в основном работали и Зигмунд Фрейд, и Альфред Адлер, а также Юлиус Вагнер-Яурегг и Рихард фон Крафт-Эбинг. Существует даже каноническое собрание этих историй – глава в книге “Тетя Джолеш, или закат Запада в анекдотах” (Die Tante Jolesch oder Der Untergang des Abendlandes in Anekdoten) венского писателя Фридриха Торберга. Профессору Петцлю в этой главе отведено почетное место.

В одном анекдоте рассказывается, как Пётцль лечит больного, страдающего паранойей (нет, конечно, не Гёделя и не Нельбёка). Лечение дает плоды, больной явно идет на поправку. И вдруг, к вящему огорчению доктора, все симптомы возвращаются.

– Кругом полно людей, и все хотят убить меня, – бормочет больной, упорно отводя глаза.

– Ну же, полноте, – уговаривает его Пётцль, – никто ничего такого не планирует.

– Нет, меня хотят отравить, и я могу это доказать, – упирается пациент.

– Друг мой, никто не хочет вас отравить!

Но пациент твердо стоит на своем – как и Пётцль. Доктор с безупречной мягкостью излагает все обычные доводы, которые помогали с другими больными. Но в этом случае они больного не убеждают. Не помогают даже самые испытанные приемы.

– Все хотят меня убить! – твердит больной. – Я точно знаю. Все. Даже вы, профессор!

– Что? Я?! – кричит Пётцль, от изумления утратив контроль над собой. – Да вы с ума сошли!

Вернемся к Курту Гёделю. Профессор Пётцль сразу же направил “величайшего логика со времен Аристотеля” в санаторий в деревне Пуркерсдорф. Это здание в стиле ар-нуво – архитектурный шедевр, созданный Йозефом Хоффманом на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков. Санаторий расположен не слишком далеко от западной окраины Вены и совсем близко от прелестной церкви Св. Леопольда, которую построил Отто Вагнер на территории психиатрической клиники Ам Штейнхоф.

Через некоторое время Курта Гёделя выписали, но об излечении не шло и речи. Несколько последующих лет он провел в разъездах между Веной, где он вел математический семинар, Институтом передовых исследований в Принстоне и различными психиатрическими клиниками вроде Пуркерсдорфа, Рекавинкеля и Афленца. Странные “состояния” мучили его снова и снова. Он перестал быть завсегдатаем собраний Венского кружка, но на встречи Венского математического коллоквиума по возможности ходил.

И в самом деле, никто не сомневался, что труды Гёделя знаменуют начало новой эры. В тридцатые годы математическая логика расцвела и превратилась в одну из ведущих наук, по значимости сопоставимую с квантовой физикой. Ей заинтересовались блестящие молодые ученые, в том числе поляк Альфред Тарский и англичанин Алан Тьюринг, которые обогатили эту область своими восхитительными открытиями.

Альфред Тарский (1901–1983) был частым гостем в Вене, где вел бесконечные дискуссии с Гёделем, Поппером и Карнапом. Именно в тот период Тарский разработал формальное определение понятия истинности. Например, утверждение “Фидо лает” истинно тогда и только тогда, когда Фидо действительно лает. В этом примере утверждение высшего уровня – то есть “Следующее утверждение истинно” – применяется к утверждению низшего уровня – то есть “Фидо лает”. Формально этот акт связывания двух разных лингвистических уровней требует метаязыка вроде того, что разрабатывал в те годы Рудольф Карнап.

В дальнейшем, когда Тарский жил в США, он, к своему огорчению, утратил титул величайшего логика своего времени – эта честь, несомненно, принадлежала Курту Гёделю – зато остался “величайшим логиком в здравом уме”, как он частенько говаривал.

От абстрактных рассуждений Гёделя к рождению компьютера

Влияние Алана Тьюринга было даже сильнее, чем Тарского, и его открытия сформировали все грани современного мира. Однако в середине тридцатых годов представлялось, что абстрактные рассуждения Тьюринга несказанно далеки от любого практического применения.

В 1931 году теорема Гёделя о неполноте пролила свет на безумное на первый взгляд обстоятельство, что любая система аксиом, достаточно богатая, чтобы вместить в себя теорию чисел, должна содержать истинные утверждения, не имеющие формальных доказательств, причем таких утверждений бесконечно много. Это обескураживает, однако еще остается надежда, что существует механическая процедура, позволяющая определить, истинно или ложно то или иное утверждение, относящееся к теории чисел. Можно представить себе, что такой механизм определения истины позволит полностью обойти понятие формальной доказуемости. Может быть, есть какой-то характерный признак, который таится во всех этих последовательностях символов, выражающих математические истины, и отсутствует во всех остальных последовательностях? Может быть, есть какой-то способ распознать наличие или отсутствие этого признака? Может быть, это можно как-то сделать?

Давид Гильберт в своей знаменитой парижской лекции в 1900 году сформулировал этот важнейший вопрос, затрагивающий самую суть природы математики, и назвал его Entscheidungsproblem – проблема разрешения. Алан Тьюринг постоянно ломал себе голову над этим вопросом Гильберта – задача попросту не давала ему покоя.

Разумеется, Тьюринг впитал идеи Курта Гёделя и блестяще применил их к миру вычислительных машин (которых в то время еще не существовало), чтобы исследовать глубочайшую проблему, которую поставил Гильберт в 1900 году. Но для этого Тьюрингу сначала надо было ответить на другой вопрос: что такое общая вычислительная процедура, она же алгоритм? С этой целью он изобрел набор рудиментарных машин, которые впоследствии получили название “машины Тьюринга”. Эти машины могли производить разные вычисления. Например, машина Тьюринга одного типа складывала два данных числа (и больше ничего не умела). Машина другого типа перемножала два данных числа (и все). Третий тип определял, простое число или нет, и так далее и тому подобное. Такие гипотетические машины, если бы их и в самом деле создали, не имели бы никакого практического применения, более того, были бы удручающе громоздкими и немыслимо медленными, но работали бы с гарантией, а больше от них в этом абстрактном контексте ничего и не требовалось.

Некоторые машины Тьюринга вынуждены были работать вечно, поскольку их задача никогда не кончалась – например, “найти самое большое простое число”. Поскольку в природе его не существует, машина Тьюринга, созданная для решения этой цели, не остановилась бы никогда. Тьюринг показал, что вопрос, остановится ли когда-нибудь такая-то и такая-то машина, равносилен проблеме разрешения Гильберта. А эта мысль позволила ему, в сущности, преобразовать вопросы о математической истинности в вопросы о вычислительной технике. Потрясающее достижение.

Однако величайший понятийный прорыв произошел позднее, когда Тьюринг показал, что существует особая разновидность машины Тьюринга, которая в принципе способна имитировать работу любой другой машины Тьюринга. Такую обобщенную машину он назвал “универсальный автомат”, хотя сегодня ее заслуженно именуют “универсальная машина Тьюринга” – а мы условимся в дальнейшем для краткости называть ее УМТ.

Идея в том, что если скормить УМТ описание машины Х, а также ввести все численные данные, которые мы ввели бы в Х (например, если Х – машина, проверяющая числа на простоту, и вы даете Х задание обработать число 641), УМТ начнет работать, имитируя работу машины Х над этими численными данными, и в конце концов выдаст тот же самый результат, что и Х (в данном случае – “да”, поскольку 641 – простое число), хотя работать УМТ будет гораздо медленнее, чем машина Х.

Так вот, у Алана Тьюринга было весьма развитое воображение, и в один прекрасный день, когда он прилег на лужайку, чтобы отдышаться после дальней пробежки в одиночку, ему пришла в голову гениальная мысль, вдохновленная трудами Гёделя. К тому времени, когда Тьюринг встал и отправился домой, у него был готов ответ на проблему разрешения Гильберта.

Идея Тьюринга, восхитительно-гёделевская по духу, состояла в том, чтобы ввести в УМТ описание ее самой. Тогда УМТ будет имитировать не какую-то другую машину, а саму себя. Эта хитроумнейшая идея задавала парадокс самого что ни на есть провокационного толка: ведь если машина имитирует сама себя, то волей-неволей имитирует себя, занятую имитацией себя, и так далее до бесконечности.

Когда Тьюринг тщательно разбирал все следствия подобной бесконечной регрессии (подобно зеркалам, отражающим друг друга, колесам внутри колес и змеям, кусающим собственный хвост…), он открыл, что у всех возможных машин Тьюринга есть фундаментальные ограничения, в частности невозможно создать машину, которая всегда могла бы предсказать, остановится когда-нибудь данная машина Тьюринга или нет. Это открытие было равносильно доказательству, что проблема разрешения Гильберта не имеет решения. Это был результат, значение которого для математики, логики и теории вычислений, пожалуй, трудно описать. Его следствия сказываются на всех аспектах современного мира компьютеров.

Через несколько лет, во время Второй мировой войны, Алан Тьюринг работал в Блетчли-парке над расшифровкой вермахтовского кода “Энигма”. Это была сложнейшая вычислительная задача, которая вскоре заставила его вернуться к прежним размышлениям над УМТ. Это, в свою очередь, натолкнуло его на задачу разработать и создать настоящий, физический программируемый компьютер (а не просто теоретическую абстракцию).

В то же самое время, но по другую сторону Атлантики вдохновленный Гёделем математик Джон фон Нейман возглавил работу в параллельном направлении. Так зародилась эра электронных компьютеров. И, как показывает наша история, цифровой мир, овладевший сегодня всей планетой, вырос из крайне отвлеченных изысканий по математической логике, которыми занимался молчаливый, скромный и, увы, страдающий паранойей участник Венского кружка еще в начале тридцатых годов.