Неполнота

Лекции Брауэра обеспечили Гёделя обильной пищей для размышлений. Закон исключенного третьего предполагает, что любая открытая задача всегда имеет конкретный ответ – или так, или иначе. По Брауэру, это все равно что заявлять безо всяких сомнений, что любая математическая задача имеет решение. Гильберт, конечно, именно так и считал. Но разве не могло быть такого, что формальные системы, которые так любил Гильберт, окажутся слишком слабыми, чтобы охватить математику в целом? Карнап, который виделся со своим тихим молодым коллегой Гёделем каждые несколько дней – обычно в кофейне, как правило, за беседой о логике – писал в дневнике:

23.12.1929. Гёдель. О неисчерпаемости математики. Его вдохновили венские лекции Брауэра. Математику невозможно формализовать полностью. Похоже, он прав.

Пока что лишь “похоже”, однако через полгода Гёдель пришел к новым чудесным открытиям, что позволило ему сформулировать доказательство, развеявшее все сомнения. Этот момент Карнап тоже зафиксировал в дневнике:

Вт., 26 августа 1930. 6–8.30. Кафе “Рейхсрат”. Открытие Гёделя: неполнота системы Principia Mathematica. Сложности с доказательством непротиворечивости.

В конце лета 1930 года несколько членов Венского кружка собрались в кафе “Рейхсрат” сразу за Парламентом, чтобы обсудить совместную поездку в Кенигсберг, на Балтийское побережье. В сентябре там должен был пройти ежегодный съезд Союза математиков Германии – ритуальный “рынок рабов”. После триумфа на Пражской конференции годом раньше было решено снова организовать свою секцию. У Венского кружка и теперь нашелся свой человек из местных, чтобы все организовать. В Праге это был Филипп Франк. А теперь агентом кружка в Кенигсберге охотно вызвался послужить Курт Рейдемейстер.

На этот раз главной темой секции должны были стать первоосновы математики. Там должны были сойтись в схватке три главные школы-соперницы: логицисты, чьей целью было свести математику к логике, формалисты, ищущие железное доказательство, что в математике нет противоречий, и интуиционисты, которые переопределили математику, провозгласив, что все можно сконструировать эксплицитно, и запретив применять закон исключенного третьего. У каждой из этих фракций был прославленный вождь – Рассел, Гильберт и Брауэр соответственно. Однако судьба распорядилась так, что на заседании секции никто из них не присутствовал. Даже Гильберт, который в это время приехал в Кенигсберг, не смог прийти, поскольку был очень занят на основном конгрессе математиков Германии.

Поэтому каждый из трех конкурирующих подходов представляло доверенное лицо: от имени логицистов выступал Рудольф Карнап, интуиционистов – Аренд Гейтинг, а точку зрения формалистов отстаивал любимый ученик Гильберта Джон фон Нейман. Кроме того, предусматривался доклад о воззрениях Витгенштейна: его решил сделать Фридрих Вайсман.

Однако у Вайсмана все с самого начала не заладилось. По дороге в Кенигсберг он заболел. Последнюю часть пути нужно было проделать на пароходе, и разыгралась страшная буря. Хуже того, Витгенштейн потребовал от Вайсмана начать выступление с заявления, что он, Витгенштейн, снимает с себя всякую ответственность за то, какие взгляды припишет ему докладчик. Не самый соблазнительный способ начать нести благую весть.

Как ни удивительно, никто из членов Венского кружка ни словом не упомянул в своих выступлениях новый фундаментальный результат Курта Гёделя. Даже сам Гёдель не стал рассказывать о своей теореме о неполноте, а предпочел сделать упор на той теореме о полноте, которую доказал годом раньше и доказательство которой стало темой его диссертации. Только на заключительной дискуссии он почти что мимоходом упомянул одно следствие из своей теоремы о неполноте. Это было перед самым обедом, в конце заседания.

Венгерский математик фон Нейман мгновенно потерял аппетит. Зато обрел пищу для ума, поскольку сразу же понял, какое колоссальное значение имеет небрежная ремарка Гёделя. И забросал Гёделя вопросами о его доказательстве.

Доктор фон Нейман (Янош, Иоганн или Джонни – он отзывался на любой вариант имени), живчик, бонвиван и прирожденный предприниматель, уже в то время считался звездой первой величины на математическом небосклоне. Ему едва исполнилось двадцать шесть, а он уже сделал важный вклад в развитие теории множеств, математического анализа и основ квантовой физики.

Джонни понял все с первой попытки. По быстроте мышления ему не было равных на планете. И его только что осенило, что открытие Гёделя одной ослепительной вспышкой взорвало его прежний взгляд на мир. Фон Нейман понял, что существуют истинные математические утверждения, которые нельзя вывести формальными способами из набора аксиом.

Через несколько недель фон Нейман написал Гёделю, что из доказательства неполноты следует полный крах программы Гильберта. То есть если математика непротиворечива, то утверждение “математика непротиворечива” как раз и есть одно из этих жутковатых гёделевских утверждений – истинное, но недоказуемое! На поверхностный взгляд это глубокий парадокс, но на самом деле рассуждения совершенно точны.

Однако Гёдель уже пришел к тому же заключению и обратной почтой отправил Джону фон Нейману корректуру своей статьи. Эпохальная работа “О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах, I” (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I) была опубликована несколько недель спустя в Monatshefte, математическом журнале, редактором которого был Ганс Ган. Римская цифра I в конце названия появилась потому, что первоначально Гёдель собирался написать вторую часть с более подробным разбором доказательств, но благодаря теплому приему первой со стороны Неймана и других математиков вскоре стало понятно, что можно обойтись и без второй. Часть I оказалась достаточно прозрачной, чтобы убедить верхушку математического мира. А к сведению и на благо философов Гёдель написал краткий синопсис, который напечатали в Erkenntnis, домашнем журнале Венского кружка.

Джон фон Нейман был потрясен до глубины души. Нашелся человек, который соображает быстрее него! Свои доказательства гений из Венгрии частенько придумывал во сне. Иногда, проснувшись, он обнаруживал в приснившемся доказательстве ошибку. Но он обожал повторять, что рано или поздно – не позднее третьего сна – к нему приходит верное решение. Ему уже дважды снилось, что он доказал непротиворечивость математики. Какая удача, смеялся он, что этот сон не повторился в третий раз! Более того, если бы фон Нейман обнаружил формальное доказательство непротиворечивости, это означало бы – благодаря результату Гёделя, так похожему на парадокс, – что математика и в самом деле противоречива.