Глава 13

Кванты

Я готов был пожертвовать любым из своих прошлых убеждений, касающихся физики.

Макс Планк

В 1900 году Макс Планк, который почти два десятка лет критиковал работы Больцмана, опубликовал статьи, намекавшие на перемену его взглядов. Более того, теперь он, похоже, утверждал, что статистические методы Больцмана применимы не только в термодинамике, и это было особенно неожиданно.

Вынужденная перемена взглядов была вызвана появлением новой технологии – электрической лампочки. В лампочках электрический ток проходит по нити накаливания, нагревает ее и заставляет светиться. Этот феномен подтолкнул ученых к изучению тонкостей взаимодействия теплоты и света.

Существуют три способа передачи теплоты: теплопроводность, конвекция и излучение. Все их можно наблюдать на большинстве кухонь.

Принцип теплопроводности при передаче теплоты реализуют электрические конфорки. Вся нагретая поверхность конфорки пребывает в контакте с нижней частью кастрюли, и теплота передается от одного тела к другому. Кинетическая теория объясняет это следующим образом: чем выше становится температура конфорки, тем быстрее колеблются молекулы, из которых она состоит. Они касаются молекул кастрюли и сотрясают их. Вскоре все молекулы кастрюли начинают колебаться сильнее, чем раньше, и это проявляется в повышении температуры кастрюли.

Передача теплоты через конвекцию происходит в духовках. Нагревательные элементы в стенке духовки заставляют соседние молекулы воздуха двигаться быстрее. Затем эти молекулы сталкиваются с теми, что находятся в глубине духовки, и увеличивают их скорость. Вскоре температура всей духовки возрастает.

Третий способ передачи теплоты – излучение – связан со светом. Включите гриль, и нагревательный элемент покраснеет, когда его температура возрастет. Кроме видимого красного света, он также излучает инфракрасный свет, который и ощущается горячим. Когда этот свет сталкивается с телом – скажем, с колбасками на гриле, – он заставляет молекулы тела колебаться, в результате чего температура тела повышается.

Понимание учеными теплового излучения сильно продвинулось в 1860-е годы благодаря Джеймсу Клерку Максвеллу, который опубликовал систему математических уравнений, описывающих “электромагнетизм”.

Понять логику Максвелла можно следующим образом: представьте, что держите конец очень длинной веревки. Она достаточно туго натянута, и другой ее конец находится, скажем, в километре от вас. Встряхните тот конец веревки, который держите в руке. Вы увидите, как от вас по веревке пройдет волна. Теперь встряхните веревку несколько раз. По ней пойдут последовательные волны.

Чтобы понять почему, представьте веревку в форме цепи из крошечных бусин. Каждая из них соединяется с соседней коротким отрезком резинки. Когда вы двигаете первую бусину в цепи, она тянет за собой соседнюю, которая, в свою очередь, тянет следующую, и так далее. Движение первой бусины вверх-вниз, таким образом, последовательно переносится на все бусины, и кажется, что по веревке проходит волна.

Как быстро волна проходит по веревке? Это зависит от тяжести бусин и натяжения связывающей их резинки. Если бусины тяжелые, волна идет медленнее, поскольку на передвижение бусин затрачивается больше усилий. Если резинка натянута туже, волна идет быстрее, поскольку каждая бусина в таком случае сильнее тянет за собой соседнюю. Интуитивно понятно, что если встряхнуть конец тяжелой, плохо натянутой веревки, то волна пойдет по ней медленно. По тугой и легкой гитарной струне волны, напротив, проходят со скоростью более 1000 км/ч.

В представлении Максвелла пустота заполнена тугими “струнами” такого типа. Они выходят из множества частиц, из которых состоит “материя” окружающего мира. Возьмем, например, крошечный отрицательно заряженный электрон – составную часть всех атомов. Представьте одинокий неподвижный электрон в пустом пространстве. Тугие струны тянутся от него во всех направлениях даже в вакууме. Называемые силовыми линиями электрического поля, они невидимы и неосязаемы, но если поместить другую заряженную частицу, например положительно заряженный протон, на силовую линию, то она потянется к электрону, прямо как одна бусина в цепи тянется к соседней.

Теперь представьте, что электрон начинает колебаться вверх-вниз. Подобно волне, которая проходит по веревке, волны распространяются от электрона по силовым линиям электрического поля, выходящим из него.

С какой скоростью движутся волны электрического поля? Совершив один из важных прорывов в науке, Максвелл понял, как ответить на этот вопрос. Возьмите одну силовую линию, идущую от электрона. Представьте, что по всей длине на ней размещены крошечные магнитные стрелки. При движении волны вдоль силовой линии стрелки крутятся из стороны в сторону – сначала к ней, а затем от нее. Возможно, читателям известно, что идущий по проводу электрический ток может проявлять подобный эффект, создавая вокруг так называемое магнитное поле. Максвелл утверждал, что при распространении по силовым линиям электрического поля волны порождают волны в сопутствующем магнитном поле. Он представлял, что эти волны распространяются под прямым углом друг к другу. Пусть волна электрического поля колеблется вверх-вниз при движении слева направо мимо вас. В таком случае сопутствующая волна магнитного поля будет колебаться, становясь то ближе к вам, то дальше от вас. Важно отметить, что генерация волн магнитного поля требует усилий, как и передвижение тяжелых бусин по веревке.

В своих рассуждениях Максвелл полагался на интуицию, на собственное чутье. Но в этом был огромный плюс. Как мы помним, при колебаниях цепи мы вычисляли скорость распространения волны, взвешивая одну из бусин и оценивая степень натяжения связующих резинок. Подобным образом Максвелл мог легко измерить их эквиваленты при работе с силовыми линиями. Степень натяжения оценивалась как сила притяжения двух заряженных тел друг к другу. Эквивалентом массы бусины была напряженность магнитного поля, создаваемого при течении тока известной силы по проводу.

На основе этих данных Максвелл вычислил, что “электромагнитные” волны распространяются со скоростью около 300000 км/с. Подумать только! Это значение оказалось на удивление близко к предполагаемой скорости света – слишком близко, чтобы списать это на совпадение. Представлялось крайне маловероятным, что свет “случайно” движется с той же скоростью, что и электромагнитные волны; гораздо более вероятным казалось предположение, что свет является электромагнитной волной.

Суть в том, что любой колеблющийся электрический заряд испускает электромагнитную волну. Следовательно, существование дневного света объясняется постоянными колебаниями электронов на солнце. Эти электроны пускают волны по силовым линиям, которые расходятся от них. Когда волны достигают наших глаз, они колышут заряженные частицы на нашей сетчатке. (И это называется зрением.)

Максвелл продемонстрировал, что цвет света определяется скоростью колебаний, или частотой, электромагнитных волн. Чем выше эта скорость, тем синее свет. Красный свет, имеющий самую низкую частоту из видимых, представляет собой электромагнитную волну, которая совершает 450 триллионов колебаний в секунду. Частота колебаний зеленого света выше – около 550 триллионов колебаний в секунду, а синего – около 650 триллионов колебаний в секунду.

Теория Максвелла не только описала видимые цвета, но и предсказала существование невидимых электромагнитных волн. Их действительно начали открывать с 1870-х годов. Так, частоты радиоволн находятся в диапазоне от менее 100 колебаний в секунду до около 3 миллионов колебаний в секунду. Частота микроволн составляет от 3 миллионов до 300 миллиардов колебаний в секунду. Инфракрасные волны занимают диапазон между микроволнами и видимым светом. Когда частоты выше частоты синего света, излучение называется ультрафиолетовым. Далее идет рентгеновское излучение, а затем – гамма-излучение, частота которого составляет более 100 миллиардов миллиардов колебаний в секунду. Весь диапазон – от радиоволн до гамма-излучения – называется электромагнитным спектром.

Открытие Максвелла показывало, что физики в принципе понимали, почему светится нить накаливания электрической лампочки. Электрический ток нагревает нить. Нагревание, в свою очередь, заставляет входящие в ее состав электроны колебаться и испускать электромагнитные волны. На самом деле электромагнитные волны испускают все тела. Атомы постоянно пребывают в движении, а значит, движутся и их электроны. Так, при нормальной температуре около 36,6 °C человеческие тела испускают поддающиеся обнаружению инфракрасные волны. У змей, например гадюк, питонов и удавов, в ходе эволюции появились органы, позволяющие им улавливать такое излучение, чтобы охотиться и находить прохладные места для отдыха.

В конце XIX века ученые пытались установить, как именно взаимосвязаны температура тела и частоты испускаемых им электромагнитных волн.

Чтобы понять, как физики подходили к этому вопросу, представьте печь для обжига. При нагревании электроны в ее стенках начинают колебаться, что наблюдается и при нагревании большинства других тел. И все же печь дает нам наглядный пример, поскольку цвет внутри нее легко сопоставить с ее температурой. Темно-красный показывает, что печь становится довольно горячей. Когда ему на смену приходит оранжевый, а затем – желтовато-белый, температура в печи возрастает. Большинству из нас интуитивно понятно, что “белое каление” горячее “красного каления”.

Дело в том, что при низких температурах печь испускает лишь невидимое инфракрасное излучение. На ощупь она теплая, но при этом не светится. Когда температура поднимается, начинает также испускаться видимый красный свет более высокой частоты. Когда температура преодолевает отметку в 1000 °C, испускаться начинают высокочастотные цвета – сначала оттенки зеленого, а затем немного синего. Однако, поскольку печь продолжает испускать красный свет, при очень высоких температурах мы видим смешение красного, зеленого и синего, которое кажется нам оранжевым, желтым и желтовато-белым в зависимости от пропорционального соотношения компонентов.

Но даже при очень высоких температурах обычная печь для обжига испускает в основном инфракрасное излучение. Крошечная доля генерируемой ею электромагнитной энергии выходит в форме видимого света. Почти ничего не выходит в форме ультрафиолетового излучения или излучения с еще более высокой частотой. Кроме того, какой бы ни была температура, печь для обжига испускает очень мало энергии на низких микроволновых и радиочастотах.

Чтобы увидеть, что происходит при высоких температурах, обратите внимание на солнечный свет. Солнце сродни огромной печи, где поддерживается температура выше 5000 °C. При такой температуре испускается электромагнитное излучение другого типа. Солнце испускает некоторое количество инфракрасного света, но большая часть генерируемой им энергии проявляется в форме видимого света более высокой частоты.

Именно поэтому глаза человека и большинства животных в ходе эволюции приобрели чувствительность к красному, зеленому и синему, ведь на долю этих цветов приходится основная часть электромагнитной энергии, поступающей от Солнца. На более высоких и низких частотах к нам приходит относительно небольшое количество энергии, поэтому способность к их обнаружению не давала бы нам эволюционного преимущества.

Что происходит при еще более высоких температурах – скажем, при 12000 °C, как на сверхгиганте Ригеле? Эта звезда испускает более половины своей электромагнитной энергии в ультрафиолетовом диапазоне. Но даже такая горячая звезда испускает относительно небольшое количество сверхвысокочастотного рентгеновского излучения.

Чем объясняется наличие связи между температурой тел, подобных печи для обжига, и частотой испускаемого ими электромагнитного излучения? Чтобы ответить на этот вопрос, ученым пришлось обратиться к статистическим идеям Больцмана, а когда ответ был найден, он запустил цепочку событий, которые изменили физику.

* * *

Макс Планк, ставший катализатором этой трансформации, пришел в физику, не имея намерения произвести в ней революцию. Ему нравились универсальные законы, такие как первое начало термодинамики, которое однозначно утверждает, что энергия всегда сохраняется. Ему было не по душе предложенное Больцманом вероятностное объяснение второго начала. Планку казалось, что увеличение энтропии не должно происходить только потому, что статистически оно наиболее вероятно.

Планк считал, что, изучив свойства теплового излучения, можно составить новое представление о втором начале. Тепловой поток при конвекции или теплопроводности прекрасно объяснялся беспорядочным движением и столкновениями отдельных частиц. Тепловое излучение в форме незатухающих волн электромагнитной энергии казалось иным. Планк надеялся, что с его помощью перемещение теплоты удастся объяснить без применения законов вероятности.

Для этого Планк стал изучать, как устройства вроде печей для обжига создают электромагнитные волны, когда электроны в их стенках начинают колебаться под действием теплоты. В последние годы XIX века он усердно работал над выводом математического уравнения, которое соответствовало бы наблюдаемой связи между температурой тел вроде печей и частотами испускаемых ими электромагнитных волн.

Затем в деле случился неожиданный поворот. В 1900 году берлинские власти задумались, чем лучше освещать улицы – электричеством или газом. И электричество, и газ дают свет за счет теплоты, но какая система дешевле? Ответа ждали от Императорского физико-технического института, получавшего государственное финансирование и занимавшего в Берлине участок, предоставленный промышленником Вернером фон Сименсом. В 1900 году сотрудники института разработали устройство, которое назвали полостным излучателем.

Полостной излучатель, по сути, представлял собой печь для обжига в форме цилиндра 3,8 см диаметром и около 38 см длиной. Он позволял проводить высокоточные измерения интенсивности света на разных частотах при широком диапазоне температур.

Среди ученых Императорского физико-технического института, проводивших эксперименты с этими устройствами, был друг Планка Генрих Рубенс. Воскресным днем 7 октября 1900 года он заглянул к Планку в гости и принес как хорошие, так и плохие новости.

С одной стороны, в видимом свете и коротких ультрафиолетовых диапазонах математика Планка работала. Его уравнения точно предсказывали, сколько высокочастотного излучения испускается при нагревании полостного излучателя. С другой стороны, с более длинными волнами они работали не так хорошо. При любой заданной температуре уравнения Планка предсказывали меньше инфракрасного света, чем показывали замеры.

Рубенс также сообщил о другом открытии: английский физик лорд Рэлей нашел объяснение для низкочастотного конца спектра. Рэлей поставил перед собой такой вопрос: волны какого размера помещаются в таком устройстве, как полостной излучатель? По сути, он заявил, что для длинных волн там меньше места, чем для коротких.

Представьте туго натянутую гитарную струну. Ущипните ее ровно посередине, и зазвучит ее самая низкая – основная – нота. Ущипните ее ближе к концу, и звук окажется другим, потому что вместе с низкой нотой зазвучат и более высокие гармонические тона. Это объясняется тем, что струна может одновременно производить колебания в разных “модах”. В самой низкой моде середина струны колеблется вверх-вниз. В следующей моде струна вибрирует в форме буквы S. Затем – в форме двойной S и так далее. Эти моды называются стоячими волнами.

Электромагнитные волны также создают стоячие волны внутри полостных излучателей. Как мы помним, излучатель имеет цилиндрическую форму. Его концы подобны двум концам гитары. Разные моды помещаются в длину цилиндра, как и моды гитарной струны помещаются в длину инструмента. Однако, по мысли Рэлея, размер полостного излучателя устанавливает ограничения для более длинных волн.

Разные “моды” гитарной струны

Почему? Потому что в полостной излучатель помещается гораздо больше коротковолновых мод, чем длинноволновых. Пусть длина устройства составляет 60 см. В него поместится волна не длиннее 120 см – это первая мода с пиком в середине устройства. Длина следующей составит 60 см – это вторая мода с двумя пиками. Третьей – 40 см, четвертой – 30 см. Таким образом, в диапазоне от 30 до 120 см в излучатель поместятся лишь волны четырех длин. Теперь вычислите, волны скольких длин в диапазоне от 0,5 до 1,5 см поместятся в то же устройство. Ответ: таких длин 79.

Руководствуясь этой логикой, Рэлей пришел к выводу, что полостной излучатель должен испускать меньше длинноволнового излучения, чем коротковолнового. Его аргумент естественным образом вытекал из волновой природы света и, что важнее, позволял сделать математические прогнозы, соответствующие данным для низких частот.

Однако на высоких частотах этот аргумент не работал. Поскольку теоретически количество коротковолновых мод, которые помещаются в полостной излучатель, не ограничено, метод Рэлея предполагал, что даже при низких температурах он должен быть полон ультрафиолетового света и рентгеновских лучей. На самом деле такого излучения почти не было даже при самых высоких температурах.

Что это значит? Если не вдаваться в детали, математические выкладки Планка не соответствовали низкочастотной энергии, наблюдаемой в полостном излучателе, но были верны для высоких частот.

С анализом Рэлея ситуация обстояла наоборот. Его выкладки были верными для низких частот, но значительно завышали показатели для высоких.

Раздосадованный, что у него не получается объяснить эту нестыковку, Планк решился на то, что впоследствии назвал “шагом отчаяния”. “Я готов был пожертвовать любым из своих прошлых убеждений, касающихся физики”, – признался он.

К чему это привело? Посвятив работе пять лет, Планк – вопреки своим надеждам – не вытеснил статистику из термодинамики, а вынужден был расширить ее применение.

Людвиг Больцман использовал статистику, чтобы объяснить, как теплота рассеивается при столкновении атомов и молекул друг с другом. Планк обнаружил, что, лишь применив такие же статистические методы к колеблющимся электронам в стенках полостного резонатора, можно вывести уравнение, точно соответствующее результатам наблюдений. В важнейшей статье 1900 года Планк признал, что ему пришлось прибегнуть к “статистическим представлениям, важность которых для второго закона термодинамики была открыта, прежде всего, г-ном Л. Больцманом”. Планк пять лет пытался доказать, что Больцман ошибается, но у него ничего не вышло.

Планку пришлось не только применить статистику, но и сделать странное допущение о физическом мире. Представьте, что внутренняя сторона резонатора (замкнутой непрозрачной полости) напоминает пещеру, где на стенах висят колокольчики, каждый из которых имеет свой тон – от низкого звона до высокого “звяканья”. Если бы пещера содрогнулась от мощного землетрясения, все колокольчики зазвенели бы примерно на одной громкости.

Подобным образом в полостном резонаторе есть осцилляторы – обычно в их роли выступают колеблющиеся электроны, которые испускают широкий диапазон электромагнитного излучения, от низкочастотных радиоволн до высокочастотных рентгеновских лучей. При повышении температуры резонатора под действием теплоты осцилляторы начинают дрожать, как колокольчики в пещере. Но здесь проявляется ключевое различие. Планку пришлось допустить, что для излучения высокочастотному осциллятору требуется гораздо больше энергии, чем низкочастотному. Если провести аналогию, то колокольчик высокого тона придется встряхнуть гораздо сильнее, чем колокольчик низкого тона, чтобы он вообще издал звук. Если бы пещера с такими колокольчиками содрогнулась от землетрясения, звон колокольчиков низких и средних тонов поглотил бы звон колокольчиков высоких тонов.

В целом Планк рассудил, что, получая большие порции энергии, осцилляторы испускают высокочастотное излучение. Для низкочастотного излучения нужны гораздо меньшие порции энергии. Представьте два осциллятора. Один может испускать инфракрасный свет, частота которого составляет 300 триллионов циклов в секунду. Второй может испускать синий свет, частота которого составляет 600 триллионов циклов в секунду. Чтобы испустить свет, второму осциллятору понадобится вдвое больше энергии, чем первому. Из этого есть и другое следствие: осцилляторы испускают свет дискретными порциями. В приведенном выше примере это значит, что наименьшая порция синего света содержит вдвое больше энергии, чем наименьшая порция инфракрасного света.

Затем Планк объединил эти идеи с больцмановской статистикой, чтобы объяснить, как горячие тела, такие как полостные резонаторы, печи для обжига и даже звезды, излучают электромагнитную энергию. Чтобы понять, как он это сделал, рассмотрим следующий мысленный эксперимент:

Представьте магазин, где синие конфеты продаются по j долларов за штуку, зеленые – по 3 доллара, а красные – по 1 доллару. В ассортименте также есть крупные, но дешевые бесцветные конфеты, которые продаются всего по 20 центов за штуку. Последних довольно мало, поскольку они занимают очень много места.

Теперь представьте, что у покупателей в среднем есть по 2 доллара на конфеты. У некоторых есть 3 доллара, у немногих – 5. Если через некоторое время подсчитать проданные конфеты, выяснится, что среди них относительно немного синих, зеленых и бесцветных, но много красных. Если бы покупатели были богаче – скажем, если бы большее их число имело по 3 и 5 долларов, – продавалось бы больше зеленых и синих конфет. Суть в том, что обеспеченность клиентов и цвет покупаемых конфет состоят не в прямой, а в статистической зависимости.

Точно так же соотношение между тепловой энергией в непрозрачной замкнутой полости и излучаемым ею светом, по природе своей, является статистическим. Кроме того, этот анализ объясняет различия в природе электромагнитного излучения, испускаемого сверхгорячей звездой вроде Ригеля и нашим Солнцем. У первой звезды больше денег в форме энергии, а потому она с большей вероятностью “покупает” ультрафиолетовый свет. Вторая “беднее”, поэтому ей в основном доступен видимый свет.

В далеком 1900 году это открытие возвестило о рождении квантовой физики. Ее назвали именно так, поскольку Планк вскоре начал называть порции энергии, поглощаемые и испускаемые колеблющимися электронами, квантами.

Важно, однако, отметить, что Планк считал свои кванты продуктом, который появляется, когда колеблющиеся электроны испускают электромагнитную энергию. Он был убежден, что свет представляет собой непрерывную волну электромагнитной энергии, интенсивность которой может принимать любое значение при любой частоте. Лишь через 20 лет напряженной работы в научном мире закрепилась идея о том, что существование квантов – это фундаментальное свойство природы.

Оглядываясь назад, можно сказать, что опубликованная в 1900 году статья Планка ознаменовала собой точку невозврата. Открытие квантов в излучаемой теплоте невозможно было не принимать в расчет. Именно поэтому допланковский период в физике называют классическим, а постпланковский – современным. Справедливо. Но роль Больцмана в этой истории недооценена. Его относят к ученым доквантовой эпохи, не признавая важность его трудов для квантовой революции.

В 1920 году, выступая с речью после получения Нобелевской премии за открытие квантов энергии в 1900 году, Планк сказал: “После многих испытанных разочарований мне доставило особенное удовлетворение, что Людвиг Больцман выразил свой интерес и принципиальное согласие с развитыми мной идеями”.

Налицо намеренное искажение фактов. Это не Больцман выразил согласие с идеями Планка, а Планк согласился с Больцманом.