Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т. е. квадрата со стороной, длина которой единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Для измерения величины какого угодно рода (длины, веса, температуры или напряжения) требуется прежде всего назначить эталон измерения, т. е. такую величину этого рода, мера которой объявляется равной единице. Тогда мера любой величины того же рода определяется числом, отражающим отношение измеряемой величины к эталону. В частности, для измерения длин надлежит в первую очередь указать в качестве эталона отрезок, длиной которого объявляется число один. Этот отрезок называется единичным. Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке 7 или 77 раз, то этому другому отрезку приписывается длина 7 или 77. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, скажем, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном – 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается 18/12 единичного отрезка, и ему приписывается длина 18/12. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры, и притом в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном – 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном – 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном – 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном – 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину 180/120, и длину 9/6, и длину 6/4, и длину 3/2. Именно поэтому дроби 180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как разные имена этого числа, т. е. как синонимы. Таким образом, длина у отрезка одна, хотя именоваться она может по-разному.

Числа, выражаемые дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяются под названием рациональных чисел. (Для простоты изложения мы ничего не говорим об отрицательных числах; для наших целей они не нужны, и о них можно просто забыть.) Казалось бы, какие ещё могут быть числа? Но, как мы знаем, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо вовсе нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, каковой тип ещё только надлежит ввести в рассмотрение. Числа этого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональными они образуют систему действительных, или вещественных, чисел. В этой системе каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в его объём и иррациональные числа, есть взгляд современный. Чтобы прийти к нему, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Постепенно (очень медленно) в обиход входили дроби – сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть бóльшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и т. д. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе – как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и в конечном счёте – к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII в. Насирэддин Туси. Рассуждая об однородных величинах (каковыми являются длины, веса, объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются всего лишь как полезные комментарии. Вербализация указанных формулировок свидетельствует, что в XIII–XVIII вв. понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Однако со временем одного интуитивного осознания сделалось мало, возникла потребность в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона таковыми не являются, потому что содержащиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним строгим требованиям, появились лишь около 1870 г. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835–1911). На его долю выпало два звёздных мгновения, поставивших Мерэ на почётнейшее первое место в некой значимой сфере. В 1854 г. Мерэ оказался касиком, т. е. первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (знаменитую École normale supérieure («Эколь нормаль»), каковую благополучно окончил в 1857 г. [Изначально слово «касик» (cacique) означало индейского племенного вождя в доколумбовой Центральной Америке, Мексике и Вест-Индии.] В 1869 г. Мерэ опубликовал статью, в которой впервые было дано определение действительного числа и изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе событие остались лишь фактами его биографии. Мерэ приобрёл статус уважаемого, но всё же не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться ведущим. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. А повлияли на это развитие появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дéдекинда (Richard Dedekind, 1831–1916) и Георга Кантора (Georg Cantor, 1845–1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.

У нас здесь нет возможности излагать теории Дедекинда и Мерэ – Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Крóнекеру (1823–1891) произнести в 1886 г. знаменитую фразу «Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»). Возможно, более точным переводом немецкого слова ganzen было бы здесь русское слово «натуральные», потому что не вызывает сомнений: Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Ибо ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) определения количества предметов. Это разные процессы, и они с философской точки зрения приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть раз (один, единица). Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел, с ноля, другие же – с единицы.

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа [а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название – «Что такое числа и каково их назначение» (Was sind und was sollen die Zahlen)]. Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже, скажем, число два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать или прочитать можно слово «два», но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как «электрон», «протон» и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда (который работал на механико-математическом факультете Московского университета) одним из участников: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.