Затекстовые комментарии нацелены в основном на то, чтобы дать представление о современном положении дел. Непосредственно в тексте они отмечены заключёнными в квадратные скобки цифрами от [1] до [21]. В остальном колмогоровский текст печатается в том виде, в каком он был опубликован в «Научном слове», без каких-либо изменений, за исключением немногочисленных орфографических и пунктуационных поправок. Сопровождавшие статью комментарии редакции «Научного слово» – а именно предварявшая статью преамбула и подстрочные примечания – опущены.

Никогда ещё претензия математики на незыблемость и общезначимость её выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Гадамар [1] по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга или ещё каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадёжность прийти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, ещё в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» [2] несколько французских математиков, в том числе Гадамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу незадолго до этого предложенного Цермело так называемого принципа произвольного выбора. То, что казалось Гадамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишённым всякого смысла. Лебег и Бер [3] в своих письмах высказали ещё новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримирёнными до настоящего времени.

Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего развития вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался и самими сторонниками новых методов и в течение XIX в. был устранён. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь прочно, как и более старые отрасли математики, и поводу смысла его основных понятий не возникает никаких недоразумений. Для этого было достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие определения и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые опираются последующие логические построения. Разрешения же современных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть математиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажущийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишённым какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых. Дело идёт собственно о понятиях множества, его элемента и особенно о понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое определение этих понятий было бы пустой тавтологией.

Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной математики по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных вопросов классического анализа применяются те же самые методы, которые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоречиям [4]. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он убедительно показывает, что доказательство существования верхнего предела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совершенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем [5] и др.

Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас математики к углублённому исследованию оснований своей науки. При этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математических рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимающихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощенный характер.

Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения, волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.

Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это посредством превращения математики в чистую игру символами, в которой всё позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в этой игре противоречий. Интуиционизм Броуэра [6], напротив, предлагает изгнать из математики всё, что не имеет твёрдого основания в общей всем интуиции. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим течениям, занимает выжидательную позицию.

Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая сама имеет не столь древнее происхождение и ещё недостаточно хорошо известна нематематикам. Поэтому нам придётся сначала напомнить её развитие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмотреть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Броуэром.

Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого века в «Основаниях геометрии» Гильберта [7]. Здесь объявляется, что геометрия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямыми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвестной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно только то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например такой: «Существует одна и только одна прямая, проходящая через две данные точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии; всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати двум аксиомам, по мнению Гильберта, с одинаковым правом может быть названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии» показывается, что и другие математические теории могут быть изложены подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл математической теории в виде широко известного парадокса: «Математика – это наука, которая не знает, о чём она говорит и что она говорит».

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причём неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путём. Так, для доказательства реальности данной им системы аксиом евклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел – их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определённые их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики [9] оказались очень далёкими от рассматриваемой сейчас концепции.

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств – переходу от данного множества к множеству его частей.

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определённое число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить ещё сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получим без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикреплённой к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.

Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде законченной совокупности, иначе говоря, к отрицанию законности нашей аналогии с действительными вещами.

Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «вещей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получается. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегавших философии математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и является ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют» [11]; относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых аналитически функций и некоторых других пограничных предметов мнения расходятся; наконец, целые и действительные числа, непрерывные и другие «приличные» функции большинством признаются за существующие. Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные комбинации существующих предметов: например, комплексные числа, рассматриваемые как пары действительных.

Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает беспринципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной зависимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении каких-нибудь трансфинитных чисел с лёгким сердцем выбрасывают их за борт; занимающиеся их исследованием противятся этому.

Так как не было выработано никакого разумного критерия для разграничения «математически существующего» и «несуществующего», то математики, ставшие на описанную точку зрения, оказались беззащитными против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов первой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пределе числовой последовательности; были объявлены не имеющими смысла вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свойством; наконец, был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо которого было предложено счётное множество точек, включающее все алгебраические и элементарно-трансцендентные точки и будто бы вполне достаточное для всех практических нужд математиков.

Но и по поводу вопросов, выдвинутых математической практикой, а не спекуляциями общей теории множеств, возникли если не противоречия, то затруднения, имеющие тот же источник – чрезмерно реалистическое отношение к тем «вещам», с которыми имеет дело математическая теория. Здесь следует указать прежде всего на вопрос о так называемой аксиоме Цермело, или «принципе произвольного выбора», который уже упоминался в начале статьи. Тщательный анализ выяснил, что этот принцип, не будучи точно формулирован, неоднократно применялся в элементарных учебниках [12]. Общая формулировка его такова: если имеется множество множеств, содержащих каждое хотя бы по одному элементу, то существует множество, имеющее по одному и только одному общему элементу с каждым данным множеством [13]. Было предложено следующее популярное изъяснение этого принципа: имеется большое количество пар сапог, требуется образовать множество, содержащее по одному элементу каждой пары; очевидно, достаточно для этого из каждой пары взять правый сапог.

Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в безнадёжное столкновение с тем представлением, что математическое существование должно быть поддержано соответствующей конструкцией [14]. Обнаружилось, что действительное определение множества, существование которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совершенно безнадёжным. К тому же те объекты, существование которых доказывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических теорий [15]. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только «измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно приписать определённое число – их меру, – вполне аналогическое длине отрезка; есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя построить [16]; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неизмеримых множеств [17].

Таким образом, мы видим, что постулируемое при аксиоматическом изложении той или иной математической теории «существование» соответствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях, которые нам известны. Наиболее естественным выходом из положения является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, какие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о них. Это и делает Броуэр.

В основу своих построений Броуэр кладёт последовательность, закономерность определённых предметов, например натуральных чисел. Они заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каждое из них обозначается определённой комбинацией известных символов в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого Броуэр считает натуральные числа вполне хорошо определёнными.

Но известно в силу известной теоремы Кантора, что для действительных чисел нельзя дать регулярного метода обозначения каждого из них при помощи конечных комбинаций заранее определённого запаса символов. Это вызывается тем, что континуум действительных чисел неперечислим [18], т. е. не может быть занумерован натуральными числами так, чтобы каждому его элементу соответствовал свой собственный номер. Броуэр и делает основным предметом своего изучения способы задания элементов континуума. При этом он рассматривает континуум в форме совокупности последовательностей натуральных чисел; другие представления континуума могут быть сведены к этому, и их рассмотрение привело бы к тем же результатам.

Итак, элементом континуума является бесконечная последовательность натуральных чисел

Такая последовательность не может быть написана вся полностью. Если мы хотим дать какую-либо одну определённую последовательность, то мы можем определить её только посредством некоторого закона её образования, например такого:

который позволил бы последовательно находить её элементы. Но закон образования не есть сама последовательность; двум различным законам может соответствовать одна и та же последовательность. Например, определённая выше последовательность может быть получена ещё по формуле

Сама же последовательность, независимо от того или иного способа её задания, по Броуэру, может мыслиться только как незаконченная, становящаяся. Но тогда это не есть последовательность, определённая до конца, так как ещё неизвестно, каковы будут её элементы, следующие за уже определёнными. Такую последовательность Броуэр называет «свободной последовательностью», характер которой может быть ограничен только указанием конечного числа её первых элементов. Но раз последовательность мыслима только как становящаяся, то исчезает сам континуум в качестве совокупности множества элементов. Континуум остаётся, как говорит Броуэр, только той средой, в которой развёртывается становящаяся последовательность. Задание конечного числа элементов последовательности лишь выделяет из континуума известную часть, в которой после этого она обязана оставаться. Геометрически становящаяся последовательность соответствует точке, положение которой на прямой определяется со всё бóльшим приближением, но никогда не даётся вполне точно.

Правда, при помощи того или иного закона развёртывания последовательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме выделить одну или несколько вполне определённых точек, но, по Броуэру, это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости [18] континуума мы никогда не исчерпаем его полностью.

Таким образом, Броуэр считает, что никакой совокупности предметов, удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное число, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать геометрию в духе Гильбертовых «Оснований» как теорию «системы вещей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Броуэра. Вместо этого даётся определение множества как закона построения его элементов. С этого определения начинается положительная работа интуиционистов над построением математики на новых основаниях. При этом, особенно Вейлем, подчёркивается, что вместо теоретического описания объективно данного на первый план выдвигается известная деятельность – конструктивное творчество.

Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Броуэр с этой перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание неограниченной применимости принципа исключённого третьего. Вопрос этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слишком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться от принципа исключённого третьего тесно связывается интуиционистами с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исключённого третьего по Броуэру неприменим лишь к суждениям особого рода, в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Броуэра вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой, которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.

Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ряде статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зародыши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии или иной математической дисциплины нет никакой надобности доказывать существование соответствующей системы предметов конструктивным путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.

Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.

Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].

Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.

Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.

Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].

С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.

Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.

Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.

1. Написание собственных имён во всех случаях оставлено таким, как оно было в исходном тексте. В 20-е гг. XX в. при передаче кириллицей иностранных имён стремились в большей степени отразить их написание, нежели произношение. Впоследствии тенденция сменилась на противоположную, и сейчас фамилия французского математика Hadamard передаётся как Адамар.

2. Имеются в виду письма, которыми обменялись между собой Адамар, Борель, Бэр и Лебег: Cinq lettres sur la théorie des ensembles // Bulletin de la societé mathématique de France. 1905. T. 22. P. 261–273. Возникшая по инициативе Бореля, эта переписка публиковалась затем во втором и последующих изданиях его «Лекций по теории функций» (Borel Е. Leçons sur la théorie des functions. 2ème éd., augmentée. Paris, 1914), а также в собрании его трудов (Œvres de Emile Borel. Paris, 1972. P. 1253–1265).

3. Сейчас французская фамилия Baire передаётся как Бэр.

4. Например, в параграфе 13 монографии S. С. Kleene «Introduction to Metamathematics» (N. Y., Toronto, 1952; русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. – М., 1956) показывается, что при доказательстве теоремы о существовании наименьшей верхней грани используются рассуждения, сходные с теми, которые в другой ситуации приводят к знаменитому парадоксу Рассела о множестве всех множеств, не содержащих самого себя в качестве элемента. Ниже, в разделе III статьи А. Н. Колмогорова, этот парадокс Рассела будет изложен.

5. Сейчас английская фамилия Russell передаётся как Рассел.

6. Сейчас голландская фамилия Brouwer передаётся как Брауэр.

7. Русский перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л., 1948.

8. Такая система предметов и отношений называется моделью рассматриваемой совокупности аксиом.

9. В литературе по основаниям математики термин логистика понимается в двух близких значениях: 1) как учение о формализованных языках, ограничивающееся чисто синтаксическими методами конструирования и анализа этих языков без апелляции к их семантике; 2) как направление в основаниях математики, пытающееся свести математику к логике (это направление называют также, и притом более часто, логицизмом).

10. Значение термина «предмет» имеет более абстрактный характер, чем значение термина «вещь». Ср. «предмет исследований» и «С вещами на выход!».

11. Сейчас трансфинитные числа, т. е. порядковые типы вполне упорядоченных множеств, чаще называют порядковыми числами, или ординалами. При этом порядковые числа конечных множеств образуют первый класс, а порядковые числа счётных множеств – второй. Каждое трансфинитное число третьего класса является порядковым типом некоторого несчётного множества. Речь здесь идёт о несуществовании чисел третьего класса в некоем неформальном представлении о «реальном с существовании», оставленном в статье без попытки его уточнить. Заметим, что уточнить его не так просто. Ведь буквальное следование этому представлению приводит к тому, что, хотя каждый ординал второго класса существует, множества всех таких ординалов не существует. Действительно, если бы указанное множество существовало, то его порядковое число принадлежало бы третьему классу. Возможно, что, говоря о «несуществовании» ординалов третьего класса, Колмогоров имеет в виду несуществование множества всех таких ординалов в целом, притом что существование отдельных «небольших» ординалов третьего класса допускается. Возможно также, что утверждение о «несуществовании» следует здесь понимать как констатацию того факта, что не известны такие математические задачи вне сферы теории множеств и некоторых специальных разделов алгебры и общей топологии, которые приводили бы к ординалам третьего класса.

12. В частности, без этого принципа невозможно доказать такие общеизвестные факты: эквивалентность различных определений непрерывности функции в заданной точке; наличие у произвольного бесконечного множества счётного подмножества; счётность счётного объединения счётных множеств; счётную аддитивность меры Лебега и т. п. Вспомнив соответствующие доказательства, нетрудно обнаружить применения этого принципа.

13. В наших комментариях для удобства условимся говорить «коллекция множеств» вместо «множество множеств». К приведённой в комментируемой статье формулировке принципа произвольного выбора, или аксиомы Цермело, необходимо добавить, что никакие два различных множества из рассматриваемой коллекции не должны иметь общих элементов (а иначе требуемого множества может и не существовать).

14. Читателю полезно отдавать себе отчёт в том, что в примере с сапогами соответствующая конструкция как раз имеется: она состоит в образовании множества правых сапог. Теперь представим себе, что каждая пара состоит из двух правых сапог одинакового размера и цвета. Тогда предложенная конструкция не работает и однозначно определить или назвать какое-либо множество сапог, содержащее ровно по одному сапогу из каждой пары, не представляется возможным. Именно неконструктивность по сути аксиомы Цермело (она же аксиома выбора, она же принцип произвольного выбора) лишает её бесспорности. Ведь гипотетическое лицо, выбравшее на основе этой аксиомы по одной точке каждого из предъявленных множеств и собравшее все эти точки в новое множество, не в состоянии идентифицировать это новое множество, не в состоянии отличить одно такое множество от другого, образованного тем же неопределённым, неконструктивным способом.

15. Вот яркий пример. При помощи аксиомы Цермело удаётся доказать следующую теорему, не укладывающуюся в привычные рамки геометрической интуиции: существует такое разбиение шара на конечное число частей, что, передвигая эти части в пространстве, из них можно сложить два таких же шара. (Для ясности: под шаром понимается самый обычный шар в трёхмерном евклидовом пространстве, а под движением – преобразование, составленное из поворотов и параллельных переносов.) Кажется, что эту теорему можно легко опровергнуть, произведя подсчеты объёмов, но всё дело в том, что каждая из частей разбиения отнюдь не является «сплошной», а представляет собою множество точек, настолько прихотливо расположенных, что оно, это множество, не имеет объёма (на точном математическом языке не является измеримым). Указанную теорему получили в 1924 г. польские математики Банах и Тарский, и сформулированное в ней утверждение принято называть парадоксом Банаха – Тарского.

Парадокс Банаха – Тарского может быть усилен в двух направлениях. Во-первых, как исходный шар, так и результирующая пара шаров могут быть заменены на произвольные множества из обширного класса множеств. А именно: пусть А и В суть два множества в трёхмерном евклидовом пространстве, каждое из коих ограничено и обладает непустой внутренностью; тогда существует такое разбиение множества А на конечное число частей, что, передвигая эти части, из них можно сложить множество В. Говоря образно, бильярдный шар можно разломать на конечное число частей и затем сложить из этих частей планету или – при другом способе разламывания – цветок (разумеется, в подобного рода метафорических иллюстрациях словосочетанию «можно разломать» не следует придавать буквального физического смысла). Во-вторых, если в качестве А взять шар, а в качестве В – пару конгруэнтных с А шаров, то для переделки А в В достаточно разбить А на пять частей (меньшего числа частей уже недостаточно). Доказательства этих двух усилений можно найти, например, в интернете, в статье Francis Е. Su «The Banach – Tarski Paradox» (, см. там соответственно теоремы 14 и 20). Вообще, парадокс Банаха – Тарского достаточно освещён в литературе; среди публикаций выделяются энциклопедическая монография S. Wagon «The Banach – Tarski paradox» (Cambridge etc., 1985. XVI. 251 p.) и популярная статья R. M. French «The Banach – Tarski Theorem» (The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. № 4. Pp. 21–28).

16. И действительно, как показал в 1970 г. Соловей (Solovay), такая точка зрения (все множества измеримы) не может привести к противоречию. Вместе с тем ещё за 20 лет до этого П. С. Новиков построил точечное множество (так называемое второе множество Новикова), относительно которого непротиворечиво полагать, что оно неизмеримо. (В подобных результатах «построить объект» понимается в смысле 'указать имя объекта в языке теории множеств', так что использование аксиомы Цермело не допускается.)

17. При доказательстве указанных в комментарии 12 общеизвестных фактов из математического анализа необходим лишь ослабленный случай общего принципа, постулирующий существование требуемого множества в ситуации, когда рассматриваемая коллекция множеств счётна. Этот частный принцип носит название счётной аксиомы выбора; именно без этой счётной аксиомы и нельзя обойтись при изложении начальных глав анализа.

Приведём для контраста пример использования континуальной аксиомы выбора, когда выбор элементов осуществляется применительно к континуальной коллекции множеств. А именно с опорой на эту аксиому докажем такую теорему: если объединение двух множеств континуально, то хотя бы одно из этих множеств континуально. (Стандартное доказательство основано на наделении континуума порядком, превращающим его во вполне упорядоченное множество, что, в свою очередь, требует применения аксиомы выбора к коллекции, мощность которой превосходит континуальную.)

В силу теоремы Кантора – Бернштейна достаточно доказать, что если плоскость представлена как объединение двух множеств, то хотя бы одно из слагаемых содержит континуальное подмножество; это и будем доказывать. Если какая-то из вертикальных прямых целиком содержится в первом слагаемом, то она и образует искомое подмножество первого слагаемого. Если же это не так, то на каждой вертикали найдётся точка из второго слагаемого; континуальная аксиома выбора позволяет выбрать на каждой вертикали ровно по одной такой точке; выбранные точки образуют искомое подмножество второго слагаемого.

Рассмотрение счётных множеств и, в частности, натурального ряда требует менее высокого уровня абстракции, чем рассмотрение множеств континуальных. (Ведь даже представление о множестве всех точек прямой – это довольно сложная абстракция.) Поэтому счётная аксиома выбора вызывает меньше недоверия, нежели континуальная (и тем более нежели связанная с ещё более высокими мощностями). Вот что в 1905 г. писал Борель о несчётной аксиоме выбора в краткой заметке, давшей толчок к его упоминавшейся переписке с Адамаром и др.: «Возражения, которые можно выставить здесь, действительны и для всякого рассуждения, в котором предполагается произвольный выбор, совершённый несчётное множество раз; такие рассуждения находятся вне пределов математики» (Remarques sur les principes de la théorie des ensembles // Mathematische Annalen. 1905. B. 60. S. 194–195). При любом конкретном применении аксиомы выбора можно ограничиться её частным вариантом, связанным с конкретной мощностью соответствующей коллекции множеств. Иногда удаётся добиться понижения этой мощности, как это мы видели только что на примере континуальной аксиомы выбора.

В функциональном анализе используется и аксиома выбора в общем виде (т. е. в той формулировке, где на мощность рассматриваемой коллекции множеств не налагается никаких ограничений): она участвует, например, в доказательстве теоремы Хана – Банаха. С её помощью доказывается и теорема о том, что каждый фильтр на каком-либо множестве вкладывается в ультрафильтр на том же множестве и, как следствие, что на всяком бесконечном множестве существует нетривиальный (он же свободный) ультрафильтр, т. е. такой ультрафильтр, который не содержит конечных множеств. Аксиома выбора в общем виде эквивалентна известной лемме Цорна, широко используемой в абстрактной алгебре, а также теореме Цермело о том, что всякое множество можно вполне упорядочить. В вышеназванной краткой заметке Борель указывал, что в теореме Цермело фактически доказывается не утверждение о возможности полного упорядочения любого множества, а лишь эквивалентность этого утверждения аксиоме выбора.

18. Термин «неперечислимый» используется здесь в смысле 'несчётный'. В наши дни такая терминология не применяется, а указанный термин имеет другое значение. (Это другое значение связано с теорией алгоритмов. А именно: непустое множество конструктивных объектов называется перечислимым, коль скоро его можно расположить в вычислимую последовательность, и неперечислимым – в противном случае; пустое множество считается перечислимым по определению.)

19. Применительно к аксиоме Цермело обещание Гильберта было осуществлено Куртом Гёделем в 1938 г. Гёдель доказал, что добавление этой аксиомы к другим, «менее спорным», аксиомам теории множеств не в состоянии вызвать противоречия – при условии, правда, что совокупность этих других аксиом сама непротиворечива. При том же условии через четверть века было доказано (это сделал Коэн), что аксиома Цермело не выводима из других аксиом теории множеств. При этом непротиворечивость системы аксиом теории множеств (будь то с аксиомой Цермело или без оной) приходится принимать на веру, поскольку доказать её невозможно в принципе – по крайней мере с помощью тех средств, которые доступны современной математике; это вытекает из так называемой второй теоремы Гёделя.

20. Метаматематикой называют дисциплину, объектом которой являются математические теории (это, так сказать, «теория теорий»).

21. В 1930 г. надежда на то, что программа Гильберта в своём развитии способна охватить всю математику, была разрушена знаменитой теоремой Гёделя о неполноте (называемой также первой теоремой Гёделя). Согласно этой теореме, при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках избранной формализации. Такие утверждения называются неразрешимыми (в данной теории!). Ясно, что если утверждение неразрешимо, то неразрешимо и его отрицание. Каждое неразрешимое утверждение можно без появления противоречий присоединить к исходным аксиомам теории; в расширенной таким способом теории наше утверждение перестанет быть неразрешимым: оно станет доказуемым, а его отрицание – опровержимым. Однако для расширенной теории снова можно будет указать неразрешимое в ней утверждение и т. д.

Мы (и притом в приблизительном виде) привели здесь синтаксическую версию теоремы Гёделя, не апеллирующую к представлению об истинностном значении утверждения. (Подлинная формулировка самого Гёделя была именно синтаксической.) Придирчивый читатель справедливо заметит, что в таком случае сам термин «утверждение» не вполне уместен, ведь при его использовании обычно подразумевается, что всякое утверждение имеет истинностное значение в двузначной логике, т. е. является либо истинным, либо ложным. И действительно, для полной строгости следовало бы говорить не об утверждениях, а о формулах специального вида (иногда их называют предложениями), начинающих выражать утверждения после того, как формулы рассматриваемой теории наделяются семантикой, а точнее, истинностными значениями. Полезно понимать, что такое наделение формул семантикой не всегда возможно. Прежде всего это невозможно для теории множеств в её полном объёме. В самом деле, вряд ли уместно говорить об истинности или ложности, скажем, аксиомы выбора или гипотезы континуума. Для менее амбициозных теорий, не претендующих на то, чтобы сравняться глобальностью с теорией множеств, – в частности, для арифметики, – наполнение их формул двузначной семантикой оказывается возможным. А тогда при естественном предположении, что доказать можно лишь формулы, выражающие истинные утверждения, из синтаксической версии теоремы Гёделя легко получается её семантическая версия: при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые, будучи истинными, не допускают доказательства в рамках избранной формализации.

Отметим, что утверждения, о которых идёт речь в теореме Гёделя, отнюдь не следует искать в заоблачных математических высях. Нет, они суть утверждения об обычных натуральных числах. Теорема Гёделя о неполноте была первым строго установленным фактом той самой теории математического познания, о которой Колмогоров говорит выше, в разделе I своей статьи. Она явилась как гром среди ясного неба: никто и вообразить не мог, что подобные результаты вообще возможны. Тем более что она явилась на фоне другой теоремы, ненамного ранее также полученной Гёделем, но, напротив, вполне ожидаемой – теоремы о полноте, содержание коей состоит в подтверждении мощи той формализации процедуры логического доказывания, которую ещё в конце XIX в. предложил «отец математической логики» Готлоб Фреге. А именно: теорема о полноте утверждает, что любое предложение, которое логически не противоречит данной теории, истинно в некоторой модели этой теории.