«Человек отличается от свиньи, в частности, тем, что ему иногда хочется поднять голову и посмотреть на звёзды». Это изречение принадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961–1964 гг. президенту Международного астрономического союза). А почти за 200 лет до него на ту же тему высказался Иммануил Кант, который поставил звёздное небо по силе производимого впечатления на один уровень с пребывающим внутри человека – и прежде всего внутри самого Канта – нравственным законом. Эти высказывания объявляют усеянное звёздами небо частью общечеловеческой духовной культуры, более того, частью, обязательной для всякого человека. Трудно представить индивидуума, не впечатлявшегося видами неба. Впрочем, воспоминания переносят меня в осень 1947 г., на лекцию по астрономии для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ. Лекцию читает профессор Куликов. Он делает нам назидание. «В прошлом веке профессор Киевского университета Митрофан Хандриков, – говорит он, – на экзамене спросил студента, каков видимый размер Луны во время полнолуния, и в ответ услышал, что студент не может этого знать, поскольку никогда не видал Луны».

Приведённые выше высказывания о роли звёздного неба в духовной культуре человека декларируют если не прямо, то косвенно, принадлежность к ней сведений об устройстве небесного свода. Неотъемлемой частью человеческого знания является то или иное представление об этом устройстве, хотя бы и признаваемое в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: «А Земля – это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды – это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной». Человек, вовсе не имеющий представления об устройстве мироздания, признаётся выпадающим из культуры. Вспомним, как изумился доктор Ватсон, когда вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит узнал: Холмс понятия не имеет, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже полагает это знание совершенно излишним. «Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, – возражал Холмс. – А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?» Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным только то знание, которое может быть использовано в практических целях. Ватсон считает – и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту точку зрения, – что некоторые знания обязательны независимо от того, имеют они практическое применение или нет. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.

Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека (выражение «культурный человек» в силу расхожести и затрёпанности отдает дурновкусием, но ради ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые математические представления, не нашедшие утилитарного использования. Это не только факты, но также понятия и методы оперирования с ними.

Роль математики в современной материальной культуре, как и роль её элементарных разделов в повседневном быту, достаточно известна, так что на ней можно не останавливаться. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.

Математические идеи способны вызывать эмоции, сравнимые с теми, что вызывают литературные произведения, музыка, архитектура. К сожалению, косные методы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы отчасти, не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова Николай Николаевич Лузин (1883–1950): «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. ‹…› Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. ‹…› Я говорю о красоте более глубокой [чем та, которая поражает наши чувства. – В. У.], проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?»

Являясь (через Колмогорова) научным «внуком» Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле «математика для математики», образованной по аналогии с известным слоганом «искусство для искусства». Однако всё не так просто. Следует огорчить поклонников чистого разума и утешить приверженцев практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX в. математическая логика рассматривалась как наука, занятая исключительно проблемами логического обоснования математики, своего рода философский анклав в математике; в СССР борцы со всевозможными «-измами» ставили её под подозрение, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 г. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (theoretical computer science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших в математике, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, равно как и другие важные направления, объединённые названием «защита информации». Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её (математики) абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, исследования которых составляют передовой край науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считалось, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем люди пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли эта мысль затеплилась бы в человеческом сознании, не обладай оно представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство, известное из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто, не владея учёной терминологией, ведать не ведал, что это за «евклидово пространство» такое. (Вспомним мольеровского Журдена, не подозревавшего, что он говорит прозой.) И действительно, а как же может быть иначе? Первыми прониклись сомнением в XIX в. независимо друг от друга в России великий геометр Лобачевский, а в Германии – великий математик Гаусс и, возможно, юрист и математик Швейкарт. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы ещё коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила неевклидовость мироздания, предсказав искривление пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым отклонением луча света вблизи таких объектов. Некоторые свойства пространства-времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять подобные свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены структуры, обладающие требуемыми свойствами.

В частности, математические модели позволяют понять два непривычных качества окружающего нас пространства – его признанную сообществом физиков кривизну и его возможную четырёхмерность (нельзя исключать, что измерений ещё больше). Говоря о четвёртом измерении, мы не имеем в виду время (которое иногда не без оснований так называют), а ведём речь об измерении в прямом, пространственно-геометрическом смысле. Не исключено, что в реальности пространство, в котором мы живём, четырёхмерно (или даже имеет пять, шесть, а то и больше измерений), хотя непосредственному наблюдению, по крайней мере до сих пор, было доступно лишь его трёхмерное подпространство. Осознание подлинной размерности пространства (оставим в стороне вопрос о смысле слова «подлинный») может оказаться важным для познания мира. Представим себе двумерную поверхность (например, плоскость или сферу), по которой ходит слон. Его следы на поверхности имеют вид пятен. Двумерным, не обладающим толщиной существам, живущим в (не на, а именно в!) поверхности, появление этих пятен покажется необъяснимым. Наиболее проницательные двумерные мудрецы предположат наличие третьего измерения и передвигающегося в нём «слона». Возможно – всего лишь возможно! – некоторые явления в доступном нашим чувствам трёхмерном пространстве получат аналогичное объяснение на основе представлений о «четырёхмерном слоне», т. е. как следы процессов, развивающихся в четырёхмерном пространстве.

Здесь мы прикоснулись к важной философской, а точнее, гносеологической теме. Выше говорилось, что мысль о шарообразности Земли не возникла бы в человеческом сознании, если бы ещё раньше в нем не появилось представление о шаре. Само же это представление, в свою очередь, опиралось на повседневный опыт, а именно на наблюдение шарообразных тел природного происхождения (плодов и ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.). И когда человек задумался над формой Земли, ему оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познать строение Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Но хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, оказалось, что этим формам отвечают уже обнаруженные математиками структуры. Поскольку указанные математические структуры точно описаны, при желании нетрудно понять, как в них реализуются предполагаемые свойства мироздания – даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно может быть, что не менее важно, ведь как оно есть, мы вряд ли когда-нибудь узнаем до конца. (Мы вернёмся к этой теме в главе 12.) И помощь, которую оказывает математика в познании мира, также следует вписать в перечень её практических приложений.

Как говорил один из самых крупных математиков XX в. Джон фон Нейман (1903–1957), «в конечном счёте современная математика находит применение. А ведь заранее и не скажешь, что так должно быть».

Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Взять, например, такое основное (и, может быть, самое главное) понятие математики, как понятие натурального числа, т. е. числа, являющегося одновременно и целым, и положительным (иногда к натуральным числам причисляют ещё и число ноль, для чего есть серьёзные основания). Ведь показать, скажем, число пять невозможно, можно только предъявить пять пальцев или пять иных предметов. Уже здесь не такая уж малая степень абстракции. Ещё более высокая степень абстракции в числе пять септиллионов: ясно, что предъявить столько предметов невозможно. И уж совсем высокая (и одновременно глубокая) абстракция заключена в понятии натурального числа вообще и натурального ряда как совокупности всех натуральных чисел. Здесь поле, которое психология только начала распахивать. Упоминавшийся уже Лузин, который был не только математиком, но и философом (и даже его избрание в 1929 г. в Академию наук СССР произошло «по кафедре философии»), так высказывался на эту тему: «По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет собой абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде».

Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя могут наблюдать числа никак не внешним зрением, а лишь зрением внутренним, мысленным. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога. (Как пишет Ю. И. Манин, «мы [математики. – В. У.] изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами». Весь вопрос в том, почему это возможно.)

Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый: математика – вне зависимости от того, находит ли она практическое использование, – принадлежит духовной культуре. Второй: отдельные разделы математики входят в общеобязательную часть этой культуры.

Задаваться же вопросом, что именно из математики, причём неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, вряд ли стоит, потому что однозначного ответа на него не найти. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества – предоставить каждому индивидууму ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, из которой можно было бы отобрать этот субъективный минимум. Вообще, приобретение знаний есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание Сухарто (второго президента Индонезии – не путать с первым её президентом Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Тем не менее дальше вам встретятся рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; это отнюдь не категорическое требование, а скорее, примеры и материал для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике – слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя она не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь тем, что скажу: хорошо бы в этой программе устранить перекос в сторону вычислений и уделить больше внимания качественным моментам, с вычислениями непосредственно не связанным.

Замечу в заключение, что математика составляет часть мировой культуры и благодаря своему этическому аспекту. Хотя существование такового может показаться странным, он есть. Математика не допускает лжи, т. е. ложных утверждений. Более того, математика требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но доказывались. Она учит задавать вопросы и требовать разъяснений, если ответ оказался тёмен. Она по природе демократична, её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает – академик или школьник. Вот поучительный эпизод из жизни механико-математического факультета (знаменитого мехмата) Московского университета, относящийся к концу 1940-х гг. Великий Колмогоров читает специальный (т. е. необязательный) курс по теории меры. Он объявляет некоторую теорему и говорит, что, поскольку дальнейшее изложение на неё не опирается, он её доказывать не будет, а просит поверить на слово. Один из слушателей, третьекурсник, строит опровергающую конструкцию и в перерыве показывает её лектору. Вторую половину лекции Колмогоров начинает с изложения этой конструкции, а третьекурсника приглашает к себе на дачу, где производит в ученики.

Здесь прошу читателя остановиться и подумать, следует ли ему читать дальше. А помочь в этом раздумье способно мнение другого читателя, содержащееся в приложении к этой главе, которое помещено в конце очерка. Того, кто решит продолжить чтение, прошу прочесть (или перечесть) тот абзац предисловия, где говорится о точности и понятности.