Войти в систему
Войти с помощью соц. сетей:
Пример 6. В некоторой шахматной партии противники согласились на ничью после 15-го хода белых. Доказать, что какая-то из чёрных фигур ни разу не передвигалась с одного поля доски на другое. (Термин «фигура» понимается здесь в широком смысле, включающем и пешки.)Рассуждаем так. Передвижения чёрных фигур по доске происходят лишь при ходах чёрных. Если такой ход не есть рокировка, передвигается одна фигура; если же ход есть рокировка, передвигаются две фигуры. Чёрные успели сделать 14 ходов, и лишь один из них мог быть рокировкой. Поэтому самое большое количество чёрных фигур, затронутых ходами, есть 15. А всего чёрных фигур 16. Значит, по крайней мере одна из них не участвовала ни в каком ходе чёрных. Отметим, что здесь мы не указываем такую фигуру конкретно (мы могли бы это сделать лишь в том случае, если бы наблюдали шахматную партию или располагали её записью), а лишь доказываем, что она непременно существует.Пример 7. В самолёте летит 380 пассажиров. Доказать, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года.Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно должно быть так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с числа пассажиров, равного 367. А вот если это число равно 366, не исключено, что числа и месяцы их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них дни рождения будут совпадать, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)
Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности по меньшей мере n + 1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат по меньшей мере два предмета.
Пример 8. Докажите, что если прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника, то она не может пересекать все его стороны.Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости. А вершин три. По принципу Дирихле отыщется полуплоскость, в которой находятся по меньшей мере две вершины треугольника, причём, по предположению, обе располагаются внутри полуплоскости, а не на её границе, т. е. не на исходной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает указанную прямую.Пример 9. По условиям шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым другим одну партию. Докажите, что в любой момент турнира найдутся два шахматиста, сыгравшие к этому моменту одинаковое число партий.Решение. Пусть всего в турнире участвует n шахматистов. Не будем их беспокоить и заменим каждого игрока карточкой с его именем. Каждый игрок мог сыграть от 0 до n – 1 партий, так что для каждого игрока имеется n вариантов. Приготовим столько ящиков, сколько есть вариантов, и пронумеруем их от 0 до n – 1. В ящик с номером k положим карточки с именами тех игроков, которые к данному моменту сыграли k партий. Наша задача – доказать, что хотя бы в одном ящике лежит не менее двух карточек.Возможны два случая.Первый случай: каждый игрок сыграл хотя бы одну партию. Тогда ящик № 0 пустой и для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 1 до n – 1.Второй случай: есть игрок, не сыгравший ни одной партии. Его карточка попадает в ящик № 0, но зато ящик № n – 1 оказывается пустым, потому что нет игрока, сыгравшего со всеми другими игроками; для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 0 до n – 2.В обоих случаях число ящиков, в которые могут попасть карточки, меньше числа карточек, и по принципу Дирихле в одном из ящиков непременно окажется две карточки.
Войти с помощью соц. сетей: