Соответствие
Чтобы подойти к определению математического понятия соответствия, начнём с примеров употребления этого понятия.
Пример 1. Будем измерять рост людей в сантиметрах, а их вес – в килограммах. Каждому возможному для человека значению роста соответствуют некоторые значения веса – те значения, которые может иметь вес при данном значении роста.
Пример 2. С другой стороны, каждому возможному значению веса человеческого тела соответствуют определённые значения роста человека – те значения, которые рост может иметь при данном весе.
Пример 3. Каждому человеку либо соответствует некоторый цвет – цвет его волос, либо не соответствует ничего, если он лыс.
Пример 4. Каждому цвету либо соответствуют люди, чьи волосы имеют этот цвет, либо (как, например, зелёному цвету) не соответствует никто (если иметь в виду естественный цвет волос).
Пример 5. Каждому русскому существительному соответствуют окончания, возникающие при склонении этого существительного, а несклоняемому существительному не соответствует ничего (если не считать отсутствие окончания особым «нулевым» окончанием).
Пример 6. Каждому окончанию соответствуют некоторые существительные, а именно те, которые имеют хотя бы одну форму с данным окончанием, или ничего не соответствует, если такое окончание невозможно для существительных.
Пример 7. Каждому слову одного языка, если оно имеет аналоги (переводы) в другом языке, соответствуют эти аналоги.
Во всех этих примерах мы имеем дело с соответствиями (причём в примерах 2, 4, 6 – с соответствиями, обратными соответствиям из примеров 1, 3, 5). Соответствие, таким образом, предполагает наличие двух множеств (множества ростов и множества весов в примере 1, множества окончаний и множества существительных – в примере 6), причём для каждого элемента первого множества либо не указано соответствующих ему элементов второго множества (как для зелёного цвета в примере 4), либо такие элементы второго множества указаны (как для чёрного цвета в том же примере). Первое из этих множеств называется областью отправления, а второе – областью прибытия соответствия. Областями отправления в приведённых примерах служили последовательно множество возможных ростов, множество возможных весов, множество всех людей, множество всех цветов, множество всех существительных, множество всех окончаний, множество всех слов некоторого языка. А областями прибытия – множество возможных весов, множество возможных ростов, множество всех цветов, множество всех людей, множество всех окончаний, множество всех существительных, множество всех слов некоторого языка.
Чтобы задать соответствие, недостаточно, конечно, указать область отправления и область прибытия; надо ещё указать, какие элементы области прибытия каким элементам области отправления соответствуют. Если взять наугад какой-то элемент a из области отправления и какой-то элемент b из области прибытия, то элемент b, конечно, может и не соответствовать элементу a. Чтобы указать, какие элементы каким соответствуют, надо, следовательно, из всех пар <a, b>, где a – элемент области отправления, а b – элемент области прибытия, выделить такие, в которых b соответствует a. Для этого достаточно, очевидно, указать множество таких «хороших» пар. Заданием этого множества (вместе с заданием областей отправления и прибытия) соответствие полностью определяется. Поэтому соответствие естественно определить (как это и делается при уточнении этого понятия в математике) просто как тройку множеств: область отправления, область прибытия и некоторое множество пар элементов из этих областей (первый член пары должен быть из области отправления, а второй – из области прибытия). Поскольку пары и тройки суть просто частного вида кортежи, понятие соответствия оказывается выраженным через понятие множеств и понятие кортежа.
