Книга: Апология математики (сборник статей)
Назад: Приложение к главе 1 Мнение читателя
Дальше: О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'
Приложение к главе 3
К истории проблемы Гольдбаха
Проблема Гольдбаха известна как одна из самых знаменитых в теории чисел. Однако при внимательном взгляде на литературные источники обнаруживается, что некоторые сопутствующие ей исторические и литературные обстоятельства сами порождают проблемы. Прежде всего существует расхождение между тем, как ставил проблему сам Гольдбах, и тем, как она понимается сегодня.
Начнём с того, что процитируем статью «Гольдбаха проблема» из «Математического энциклопедического словаря» [1, с. 159]:
ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА в теории чисел: всякое ли целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел? Эту проблему выдвинул в 1742 г. Х. Гольдбах в письме к Л. Эйлеру. В ответ Л. Эйлер заметил, что для решения проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых.
Гипотезу о том, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел называют гипотезой Гольдбаха, а также тернарной гипотезой Гольдбаха. [Тернарная] проблема Гольдбаха, следовательно, состоит в требовании доказать или опровергнуть тернарную гипотезу. Слабой гипотезой (и, соответственно, проблемой) Гольдбаха называют тернарную гипотезу (и, соответственно, проблему), поставленную только для нечётных чисел. Гипотезу о том, что каждое чётное число, большее или равное четырём, есть сумма двух простых чисел, называют гипотезой Эйлера – Гольдбаха, а также бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарная проблема Гольдбаха, следовательно, состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть бинарную гипотезу.
В приведённой цитате из словаря содержатся, в частности, два заявления: о том, как формулируется проблема, и о том, кем, когда и как она выдвинута. Оба эти заявления присутствуют, как правило, и в иноязычных текстах, обсуждающих проблему Гольдбаха. Как выясняется, эти заявления противоречат друг другу. Словосочетание «проблема Гольдбаха» («the Goldbach problem») есть устойчивый математический термин, и его значение последние 100 лет, а то и больше, понимается всеми, в том числе и авторами словаря, одинаково. Но именно при таком понимании оказывается, что в известном письме Гольдбаха выдвинута сходная, но всё же другая проблема.
Переписка Леонарда Эйлера с Христианом Гольдбахом опубликована. Опубликовал её Павел Николаевич Фусс (Paul Heinrich von Fuss), правнук Эйлера по матери и непременный секретарь Императорской Санкт-Петербургской академии наук, в первом томе изданного им в 1843 г. в Санкт-Петербурге двухтомника Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII-ème siècle. Факсимильное воспроизведение страниц этого издания, содержащих указанную переписку, размещено на сайте http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ correspondence/correspondents/Goldbach.html.
Всё это даёт нам возможность ознакомиться с исходными текстами.
Вот что писал Гольдбах Эйлеру в своём письме от 7 июня 1742 г.:
Таким образом, я отваживаюсь выдвинуть гипотезу, что всякое число, которое составлено [сложено] из двух простых чисел, есть также соединение [сумма] произвольного количества простых чисел (к каковым причисляется и единица) вплоть до собрания [суммы] всех единиц; например:
К слову «единиц» Гольдбах делает подстрочное примечание, которое, как показывает факсимильное воспроизведение [2, с. 171], он не может уместить внизу страницы и потому располагает на левом поле поперёк основного текста. В заключительной фразе этого примечания и формулируется гипотеза, составившая содержание знаменитой проблемы:
После того как я это перечитал, я нахожу, что эту гипотезу [о возможности представления всякого числа в виде суммы произвольного количества простых чисел. – В. У.] можно доказать с полной строгостью для случая n + 1, если она выполняется для случая n и если n + 1 может быть разложено в сумму двух простых чисел. Доказательство очень легкое. Кажется по меньшей мере, что любое число, которое больше чем 1, есть соединение [сумма] трёх простых чисел.
Клаузулу «которое больше чем 1» мы прокомментируем позже. Пока же укажем, что наш русский перевод осуществлён по книге Фусса. Для полной объективности приведём оригинальный текст (немецкий, с латинскими вкраплениями):
Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren: dass jede Zahl, welche aus zweien numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatem*); zum Exempel
*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si succes serit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Простое число в современном понимании – это такое целое число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. При таком понимании сформулированная Гольдбахом в подстрочном примечании гипотеза немедленно опровергается: каждое из чисел 2, 3, 4, 5 больше единицы, но ни одно из них не разлагается в сумму трёх простых чисел. Поэтому в современной формулировке проблемы говорится о разложении на слагаемые чисел, начиная с 6.
Однако (хотя это чаще всего забывают) Гольдбах причислял к простым числам и 1, о чём он объявил с полной ясностью. А тогда числа 3, 4, 5 также разлагаются в сумму трёх простых чисел. Но число 2 не разлагается в сумму трёх простых слагаемых, даже если в качестве таковых может выступать 1. В книге [2, с. 170] дан следующий перевод цитаты из письма Гольдбаха: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение… каждое число, большее чем 2, есть сумма трёх простых чисел». Там указывается, что переписка Эйлера с Гольдбахом цитируется по новому изданию [3]. Надо полагать, следовательно, что в издании 1965 г. цифра 1 была заменена на цифру 2. Изучение факсимильного воспроизведения письма Гольдбаха в книге [2, с. 171] оправдывает эту замену. Видно, что оговорку «die grösser ist als 1» («которое больше чем 1») Гольдбах вставил в уже написанную строку примечания. Сначала он пытается записать её между строк, но не находит места и помещает её под последней строкой примечания, где места тоже не слишком много (вспомним, что само примечание написано на левом поле и поперёк). Конец этой новой записи оказывается смазанным, а последняя цифра, принятая в издании 1843 г. за цифру 1, сливается с той линией, которой вставляемая запись обведена, как это всегда делается при вставках. Более тщательное прочтение убеждает, что указанную цифру следует читать не как 1, а как 2. Изложенное в этом абзаце составляет проблему не столько историческую, сколько литературную, хотя, впрочем, книга Фусса занимает заметное место в истории математики.
Как уже говорилось, предположение, что всякое число, начиная с 3 (в первоначальном варианте) или 6 (в современном варианте), может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел, принято называть гипотезой Гольдбаха (the Goldbach conjecture). Таким образом, проблема Гольдбаха состоит в проверке гипотезы Гольдбаха. Часто проблему Гольдбаха понимают и так: доказать гипотезу Гольдбаха. Эти два понимания по существу не отличаются друг от друга, потому что в математике требование доказать почти всегда означает требование доказать или опровергнуть. Как мы видели, и гипотеза, и проблема Гольдбаха существуют в двух вариантах, различающихся смыслом слов. В исходном, Гольдбаховом, варианте 1 считается простым числом, и потому нижний рубеж равен 3. В современном варианте 1 простым числом не считается, и потому нижний рубеж равен 6. Ясно, что из современного варианта гипотезы вытекает исходный её вариант, и потому может оказаться, что исходная проблема несколько легче современной.
Из текста письма следует, что гипотеза о возможности представления чисел в виде суммы трёх простых – в каком бы из двух вариантов её ни понимать – трактуется Гольдбахом как частный случай более общей гипотезы о возможности представления чисел в виде суммы произвольного количества простых. Наверное, было бы терминологически правильным называть первую гипотезу Гольдбаха частной, а вторую – общей и различать общую и частную проблемы, состоящие в проверке соответствующих гипотез. Формулируя свою общую гипотезу, Гольдбах подразумевал, что число слагаемых, на которое разбивается число, больше 1 и не превосходит того числа, которое представляется в виде суммы. Напомним, что Гольдбах относил к простым числам и 1. При современном понимании термина «простое число» ограничения на число слагаемых усложняются, а потому усложняется и смысл общей гипотезы.
И в основном тексте письма, и в подстрочном примечании к нему упоминается разложение числа на сумму двух простых слагаемых (каждое из которых может быть и 1). Возможность такого разложения любого числа не утверждается и даже не предполагается в качестве гипотезы. Эта возможность фигурирует всего лишь в качестве условия того, что для данного числа выдвигается общая гипотеза Гольдбаха. Скажем, числа 11 и 35 не допускают разложения на два простых слагаемых (даже если допускать в качестве таковых 1), поэтому для них, как и для многих других, общая гипотеза не предлагается. Частная же гипотеза предлагается для всех чисел, начиная с 3.
Однако если не предполагать существования какого-то неизвестного нам сообщения Гольдбаха Эйлеру, то именно эти слова о разложении чисел на два простых слагаемых и явились причиной того замечания Эйлера в его ответном письме, в котором он приписывает Гольдбаху гипотезу о возможности такого разложения для чётных чисел.
Как подчёркивалось в предыдущем абзаце, в письме Гольдбаха такой гипотезы нет. Тем не менее Эйлер называет эту свою гипотезу «наблюдением» (eine Observation) Гольдбаха. Заметим также, что в письме Гольдбаха о чётности чисел ничего не говорится.
Ответное письмо Эйлера датировано 30 июня 1742 г. Вот что пишет в нём Эйлер на интересующую нас тему:
То, что любое число, разложимое на два простых числа, в то же время могло бы быть разбито и на любое число простых, может быть проиллюстрировано и подтверждено исходя из наблюдения, сообщённого мне Вами ранее, а именно: что каждое чётное число есть сумма двух простых чисел. В самом деле, если данное число n чётно, то оно есть сумма двух простых чисел, и так как n – 2 также является суммой двух простых чисел, то n также является суммой трёх, а также четырёх [простых] и т. д. Если же n нечётно, то оно же, разумеется, есть сумма трёх простых, потому что n – 1 есть сумма двух [простых], и может, следовательно, быть разложено на сколь угодно много [простых слагаемых]. А что каждое чётное число есть сумма двух простых, я почитаю вполне верной теоремой, хотя и не могу её доказать.
Текст оригинала (со с. 135 книги Фусса):
Dass eine jegliche Zahl, welche in zwei numeros primos resolubi lis ist, zugleich in quot, quis volueruit, numeros primos zertheilt wer den könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine sum ma duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n – 2 auch eine summa duo rum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quator u. s. f. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe ge wiss eine summa trium numerorum primorum, weil n – 1 eine sum ma duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.
Итак, в ответном письме Эйлера содержится гипотеза о возможности разложения каждого чётного числа на сумму двух простых чисел. При этом, как видим, вслед за Гольдбахом к простым числам Эйлер относит и 1, что забывают при обсуждении проблемы Гольдбаха едва ли не всегда. В своих публикациях (по крайней мере в тех, которые мне известны) Эйлер, однако, не считал 1 простым числом – достаточно взглянуть, например, на § 267 из первого тома его трактата «Введение в анализ бесконечно малых», где явно перечисляются «все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.». Таким образом, гипотеза Эйлера также существует в двух вариантах – первоначальном, сформулированном Эйлером, и современном. Разложение, скажем, числа 18 вида 18 = 17 + 1 годится для первоначального варианта и не годится для современного; здесь надо искать такие разложения, как 18 = 13 + 5 и 18 = 11 + 7. В современном варианте следует говорить о разложении каждого чётного числа, начиная с 4. Ясно, что 4 – единственное чётное число, разлагаемое на такие два простых слагаемых, из которых хотя бы одно чётно, так что все последующие чётные числа могут разлагаться только на два простых нечётных слагаемых. Ясно также, почему речь идёт о разложении только чётных чисел: ведь нечётное n можно разложить на два простых слагаемых тогда и только тогда, когда n − 2 является простым.
В письме Эйлера дано доказательство того, что подтверждение его гипотезы о возможности разложения чётных чисел на два простых слагаемых немедленно приводит к подтверждению общей (а значит, и частной) гипотезы Гольдбаха. Доказательство дано Эйлером для варианта, при котором 1 считается простым числом. Если исключить 1 из корпуса простых чисел, надо предложенный Эйлером переход от n к n – 1 поменять на переход от n к n – 3.
И наконец, последний комментарий к этому обмену письмами. Эйлер обосновывает достаточность своей гипотезы для подтверждения общей гипотезы Гольдбаха. Однако даже частной гипотезы Гольдбаха оказывается достаточно для подтверждения гипотезы Эйлера о том, что каждое чётное число n разлагается на два простых слагаемых.
Достаточно разложить на три простых слагаемых число n + 2 и заметить, что ввиду его чётности невозможно, чтобы все три слагаемых были нечётны. Значит, какое-то из этих слагаемых непременно чётно и, следовательно, равно 2. Оставшиеся два простых слагаемых в сумме дают число n. Поэтому все три рассмотренные гипотезы – гипотеза Эйлера, частная и общая гипотезы Гольдбаха – оказываются эквивалентными. А следовательно, эквивалентны и соответствующие проблемы. В наши дни все они объединяются терминами гипотеза Гольдбаха и проблема Гольдбаха.
Ещё в начале ХХ в. считалось допустимым включать 1 в объём понятия 'простое число'. Вот, например, что написано в знаменитой «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштайна [4]: «Это, конечно, только вопрос целесообразного соглашения; часто относят единицу к простым числам, как оно и кажется естественнее на первый взгляд. Мы предпочитаем, однако, отделять единицу от простых чисел, так как это даёт возможность короче выражать некоторые предложения». С тех пор понятие простого числа сделалось общепринятым и устойчивым, и оно не включает в свой объём 1. А потому гипотеза и проблема Гольдбаха всеми понимаются однозначно – в современном варианте, исключающем из числа допустимых слагаемых 1.
Пора, однако, переходить к современности. Но прежде – несколько замечаний, преимущественно терминологических.
Проблему Гольдбаха можно ставить отдельно для разложения чётных и нечётных чисел. Поскольку, как мы видели, чётное число n может быть разложено на три простых слагаемых тогда и только тогда, когда на два простых слагаемых может быть разложено число n – 2, то проблема Гольдбаха для чётных чисел равносильна проблеме Эйлера, состоящей в требовании доказать гипотезу Эйлера, а стало быть, и проблеме Гольдбаха в её полном объёме. Поэтому в попытках решить тернарную проблему часто ограничиваются разложением нечётных чисел. Такая ограниченная проблема Гольдбаха называется слабой и состоит в проверке слабой гипотезы Гольдбаха (Goldbach's weak conjecture): всякое нечётное число, начиная с 7, может быть разложено на три простых слагаемых. Нередко термин «слабая гипотеза Гольдбаха» понимают в усиленном варианте, требующем, чтобы все три слагаемых были нечётными, и тем самым исключающем разложения вида 2 + 2 + p, где p – простое число (нижний порог поднимается в этом случае с 7 до 9). Эта терминологическая путаница порождает свои проблемы: подчас без внимательного анализа доказательств непонятно, что, собственно, сделано (показательный пример будет приведён ниже, в последнем абзаце).
А теперь – последняя проблема этой статьи. Она состоит в выяснении того, решена проблема Гольдбаха или нет. В авторитетном словаре [1, с. 677], вышедшем в 1988 г., находим утверждение, что проблема Гольдбаха решена. Приведём соответствующую фразу полностью: «Другим следствием метода (1935–1937) было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха». Эта фраза содержится в статье «ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич». Итак, благодаря использованию некоего метода проблема Гольдбаха была решена. Осталось узнать, какой из возможных ответов был дан на вопрос, составляющий проблему Гольдбаха и сформулированный в цитате из того же словаря [1, с. 188]. Вот тут и возникают трудности: ответ получить не удаётся.
В первой декаде XXI в. автор этих строк опросил нескольких специалистов по теории чисел, решена ли проблема Гольдбаха. Они отвечали уклончиво. Но на прямой вопрос, верно ли, что каждое число, начиная с 6, может быть разложено на три простых слагаемых, единодушно отвечали, что это неизвестно.
Посмотрим, что сказано в статье «ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА» в том же словаре. Находим фрагмент:
В 1937 г. И. М. Виноградов доказал, что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, т. е., по существу, решил Г. п. для нечётных чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики.
Что касается признания того, что сделал И. М. Виноградов, одним из крупнейших достижений современной математики, то оно бесспорно и не вызывает вопросов. Их вызывают две детали в приведённой цитате. Первая деталь – бросающееся в глаза отличие от того, что написано на с. 677. Если там говорится о решении проблемы Гольдбаха, то здесь – о решении её частного случая для нечётных чисел, т. е. о слабой проблеме Гольдбаха. Вторая деталь состоит в том, что даже для этого частного случая говорится не обо всех нечётных числах, а лишь о «достаточно больших». Уклончивые ответы, упомянутые выше, объяснялись, по-видимому, словами «по существу» из цитаты. В самом деле, нужно ведь только проверить все нечётные числа, предшествующие «достаточно большим», на предмет возможности их разложения, и слабая проблема действительно будет решена, а разница между «решена» и «будет решена» не так уж и существенна. Но для этого нужно знать, где начинаются «достаточно большие числа». В теоремах Виноградова таких оценок не приводится.
По счастью, оказалось, однако, что указанные оценки можно извлечь из доказательства указанных теорем. И хотя сам Виноградов не указал нижнего рубежа «достаточно больших чисел», это сделал его ученик Константин Григорьевич Бороздин. Он установил, что методом Виноградова слабая гипотеза Гольдбаха подтверждается для всех чисел, начиная с числа 314348907 (это есть 3 в степени 315); десятичная запись этого числа занимает свыше 6,5 млн знаков. (Названное число приблизительно равно числу e, возведённому в степень e16,573. В публикации 1956 г. [6] Бороздин слегка уточнил свою оценку, заменив показатель 16,573 на 16,038.) Чтобы слабая проблема Гольдбаха была решена, остается перебрать все нечётные числа, которые меньше порога, указанного Бороздиным, и для каждого из них выяснить, можно или нет разложить его на три простых слагаемых. Пока это человечеству не под силу. В 1989 г. китайские математики Ван и Чен [7] понизили этот порог до числа, требующего всего лишь примерно 43 тысячи десятичных знаков для своей записи, а именно до числа e, возведённого в степень e11,503. Но и это число слишком велико для того, чтобы в наши дни – а возможно, и когда-либо в будущем – можно было перебрать и проверить все нечётные числа, меньшие указанного Ваном и Ченом рубежа.
Приходится признать, что сделанное в словаре [1, с. 677] заявление о решении проблемы Гольдбаха несколько преждевременно. В качестве одного из возможных объяснений того, почему оно вообще было сделано, можно предложить такое.
Статья об И. М. Виноградове в «Математическом энциклопедическом словаре» [1, с. 677] практически буквально повторяет одноимённую статью из 5-го тома 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Этот том вышел в 1971 г., при жизни Виноградова, скончавшегося в 1983 г. Директор Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (с 1932 г. и до конца жизни), дважды Герой Социалистического Труда (звание было присвоено ему в 1945 и 1971 гг.), академик И. М. Виноградов был всемогущ и мстителен. Вне сомнений, текст статьи в Большой Советской Энциклопедии с ним согласовывался, и утверждение о том, что им решена проблема Гольдбаха, соответствовало его желаниям. Вот что пишет о Виноградове Сергей Петрович Новиков [8, с. 57]:
У математиков большое моральное влияние приобрёл Иван Матвеевич Виноградов. Он встал на путь антиинтеллигентности и доносничества в интересах своей карьеры ещё в 1929–1932 гг., а после войны вдобавок пошёл работать идеологом-антисемитом.
Как это ни печально, но роль личности влияет и на формулировки о степени разрешённости математических проблем.
Чтобы убедиться, что изложенный казус не представляет собою случайного исключения, заглянем в § 1 обзора А. О. Гельфонда [9] в фундаментальной 1044-страничной монографии «Математика в СССР за тридцать лет». Читаем:
Этот же глубокий метод позволил И. М. Виноградову [5] доказать, что всякое нечётное число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить тем самым знаменитую проблему Гольдбаха. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечётное простое число может быть представлено в виде суммы трёх нечётных простых слагаемых. Все попытки доказать это предположение до работ И. М. Виноградова были безуспешны.
Если, в угоду Виноградову формулировать высказанное Гольдбахом в 1742 г. предположение так, как оно сформулировано А. О. Гельфондом, тогда Виноградов действительно решил проблему Гольдбаха. Но, как мы знаем, Гольдбах высказывал другое предположение, в котором ни одно из указанных Гельфондом ограничений на число не фигурировало: не говорилось ни что оно должно быть нечётным, ни что оно должно быть достаточно большим. Подлинная формулировка Гольдбаха была мало доступна советскому читателю в 1948 г.
По-видимому, Виноградов и его окружение вообще считали искажение истины полезным рабочим приёмом. Свидетельствует С. П. Новиков [8, с. 60–61]:
В начале 1977 г. Виноградов в возрасте 85 лет (ещё редкостно здоровый) переизбирался директором на очередной пятилетний срок. Из Новосибирска мне позвонил А. Д. Александров и спросил: будем ли мы это терпеть? Нельзя ли привлечь Леонтовича и совместно выступить на Общем собрании [Академии наук]?‹…› Первой была речь Данилыча [Александра Даниловича Александрова. – В. У.]. Её содержание было для меня неожиданностью. Гениальное всегда просто. Он начал так: «Распространена официальная справка о Виноградове как директоре института. Она не соответствует действительности. В ней написано, что он бессменный директор с 1934 г. Все знают, что в годы войны директором был знаменитый математик – академик Соболев. Всё это – клевета на Соболева, попытка аннулировать его заслуги в трудные годы войны и т. д.».
О том, что Соболев какое-то время был директором Математического института, нет ни слова в статье «СОБОЛЕВ Сергей Львович» в Большой Советской Энциклопедии. В одноимённой статье «Математического энциклопедического словаря» [1], напротив, об этом сказано и названы годы его директорства: 1941–1943. Причины ясны: 1-й полутом 24-го тома 3-го издания Большой Советской Энциклопедии вышел в 1976 г., при жизни Виноградова, а «Математический энциклопедический словарь» – в 1988 г., после его смерти.
Объективность требует сказать, что И. М. Виноградов был очень крупный математик и что результаты, полученные им при исследовании проблемы Гольдбаха, являются выдающимися. А его «Основы теории чисел» пишущий эти строки читал с наслаждением.
Если результаты Виноградова и его последователей позволяют подтвердить слабую гипотезу Гольдбаха для некоторого «хвоста» натурального ряда, то современные компьютеры дают возможность подтвердить её для начальных отрезков натурального ряда – довольно длинных, но всё же очень далёких от того, чтобы сомкнуться с «хвостом». Эксперименты по подтверждению производятся для гипотезы Гольдбаха в формулировке Эйлера. Ясно, что если существование разложения на два простых слагаемых подтверждено для всех чётных чисел вплоть до числа n, то существование разложения на три простых слагаемых оказывается подтверждённым для всех чисел вплоть до числа n + 3. Сайт даёт сведения (и приводит соответствующую ссылку) о состоянии дел на конец 2005 г.: бинарная гипотеза подтверждена вплоть до числа 300 000 000 000 000 000 (17 нулей). Здесь 18 десятичных знаков, а начало «хвоста», как мы видели, – в районе 43 тысяч знаков.
Говоря об истории проблемы Гольдбаха, нельзя не упомянуть так называемую константу Шнирельмана. Для удобства изложения назовём числом Ландау всякое число N со следующим свойством: любое число, большее единицы, разлагается в сумму не более чем N простых слагаемых. Существование чисел Ландау не является очевидным. Как указано в работе [10], гипотезу об их существовании высказал в 1912 г. Эдмунд Ландау (Edmund Landau), отчего мы и решились назвать их здесь его именем. Ясно, что если какое-то число является числом Ландау, то таковым же является и любое большее число. Наименьшее из чисел Ландау принято называть константой Шнирельмана (Schnirelmann's constant или the Schnirelmann constant). Константа Шнирельмана не может быть меньше чем 3, так как, скажем, число 27 не разлагается на два простых слагаемых. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что константа Шнирельмана существует и равна 3. Существование чисел Ландау, а значит, и константы Шнирельмана в 1930-х гг. [11, 12] установил Лев Генрихович Шнирельман (разумеется, свою константу он так не называл), что явилось значительным событием. Он доказал, в частности, что константа Шнирельмана не превосходит 300 000. С тех пор она понижена, и притом весьма значительно. Последний результат в этой области [13]: константа Шнирельмана не превосходит числа 7.
Наконец в 2013 г. свершилось великое. Была решена слабая проблема Гольдбаха. Её решение анонсировал Харальд Хельфготт (Harald Helfgott), перуанец по происхождению и по гражданству. Хельфготт родился 27 ноября 1977 г. в Лиме. Ещё там, в школе, проявились его математические способности. В 1994 г. он поступил в Брандейский университет в США, который окончил в 1998 г. с отличием и со степенью бакалавра. По-видимому, из уважения к той части света, откуда он произошёл, темой своей дипломной работы Хельфготт выбрал изучение математических структур, называемых «ацтекскими алмазами». С 1998 по 2003 г. Хельфготт – в аспирантуре Принстонского университета. После защиты диссертации и преподавания в американских, канадском и британском университетах он оказывается в Париже. С 2010 г. он – исследователь 1-го разряда (researcher, 1st class) в Высшей нормальной школе, а после объявления своего выдающегося результата – с 2014 г. старший исследователь 2-го разряда (senior researcher, 2nd class) в одном из парижских университетов. Статья [14] с открытием Хельфготта выложена в интернет-хранилище arXiv.org (произносится [архив]) – крупнейшем бесплатном архиве электронных публикаций научных статей и препринтов по математике, информатике, физике, астрономии и биологии.
Открытие Хельфготта оказало решающее влияние на оценку константы Шнирельмана. Теперь можно утверждать, что она не превосходит числа 4. В самом деле, всякое нечётное число разлагается на три простых – это имеет место в силу теоремы Хельфготта. Ежели же число m чётно, то перейдём к нечётному числу m – 3; оно разлагается на три простых слагаемых, каковые вместе с числом 3 образуют четыре простых слагаемых, на которые разлагается m.
список литературы к приложению к главе 3
1. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1988.
2. Юшкевич А. П., Копелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах. 1690–1764. – М.: Наука, 1983.
3. Euler L., Goldbach Ch. Briefwechsel, 1729–1764 / A. P. Herausgeg, E. Juškevič, B. Winter. Berlin: Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin Kl. Philos., 1965.
4. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики / Пер. с нем., ред. и примеч. В. Кагана: В 3 т. Т. 1: Элементарная алгебра и анализ / Сост. Г. Вебер. – Одесса: Mathesis, 1906. – С. 50.
5. Виноградов И. М. Представление нечётного числа суммой трёх простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. С. 291–294.
6. Бороздин К. Г. К вопросу о постоянной И. М. Виноградова // Труды Третьего всесоюзного математического съезда. Т. 1. – М.: Изд-во АН СССР, 1956. – С. 3.
7. Chen J. R., Wang T.-Z. On the Goldbach problem // Acta mathematica sinica. 1989. Vol. 32. P. 702–718.
8. Новиков С. П. Математики и физики Академии 60–80-х годов // Вопросы истории естествознания и техники. – 1995. № 4. – С. 55–65.
9. Гельфонд А. О. Теория чисел // Математика в СССР за тридцать лет. 1917–1947. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. С. 53–81.
10. Iwaniec H., Kowalski E. Analytic number theory // Colloquium Publications. 2004. Vol. 53. P. 443.
11. Schnirelmann L. G. Über additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen. 1933. Vol. 107. S. 649–690.
12. Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. – 1939. – Т. 6. – С. 9–25.
13. Ramaré O. On Schnirelmann's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 1995. Vol. 22. № 4. P. 645–706.
14. Helfgott H. A. The ternary Goldbach conjecture is true // arxiv.org/abs/1312.7748 (Submitted on 30 Dec 2013, last revised 17 Jan 2014).
Назад: Приложение к главе 1 Мнение читателя
Дальше: О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'
