Инспектор Лесли Крэг из Скотленд-Ярда любезно согласился предоставить мне записки о некоторых распутанных им делах, с тем чтобы я мог поведать о них для пользы и в назидание тем, кто интересуется применением логики к раскрытию уголовных преступлений.

Начнем с простого дела. На складе было совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников-рецидивистов А, В и С, которые были доставлены в Скотленд-Ярд для допроса. Было установлено следующее:

1) Никто, кроме А, В и С, не был замешан в хищении.

2) С никогда не ходит на дело без А (и, возможно, других соучастников).

3) В не умеет водить машину.

Виновен или невиновен А?

Другое, также несложное дело о хищении. Подозреваемые А, В и С были вызваны для допроса. Установлено следующее:

1) Никто, кроме А, В и С, в хищении не замешан.

2) А никогда не идет на дело без по крайней мере одного соучастника.

3) С невиновен.

Виновен или невиновен В?

Это дело поинтереснее предыдущих. В Лондоне совершено ограбление. Трое подозреваемых – рецидивисты А, В и С – вызваны на допрос. Подозреваемые А и В – близнецы и похожи друг на друга настолько, что мало кто умеет отличать одного из них от другого. В картотеке Скотленд-Ярда имеются подробные сведения о всех троих, в том числе об их характерах, наклонностях и привычках. В частности, известно, что оба близнеца по характеру робки, и ни один из них не отваживается идти на дело без соучастника. Подозреваемый С отличается большой дерзостью и терпеть не может ходить на дело с соучастником. Кроме того, несколько свидетелей показали, что во время ограбления одного из близнецов видели в баре в Дувре, но установить, о ком из двух близнецов шла речь, не удалось.

Предположим, что в ограблении не мог быть замешан никто, кроме А, В и С. Кто из них виновен и кто невиновен?

«Какие выводы вы сделали бы из следующих фактов?» – спросил инспектор Крэг у сержанта Макферсона:

1) Если А виновен и В невиновен, то С виновен.

2) С никогда не действует в одиночку.

3) А никогда не ходит на дело вместе с С.

4) Никто, кроме А, В и С, в преступлении не замешан, и по крайней мере один из этой тройки виновен.

Сержант почесал в затылке и сказал:

– Боюсь, что я смогу извлечь из этих фактов не слишком много, сэр. А вы можете, опираясь на них, доказать, кто из трех подозреваемых виновен и кто невиновен?

– Не могу, – признался Крэг, – но чтобы выдвинуть неопровержимое обвинение против одного из них, материала вполне достаточно.

Чья виновность не вызывает сомнений?

Мистер Макгрегор, владелец лавки из Лондона, сообщил по телефону в Скотленд-Ярд о том, что его ограбили. Трех преступников-рецидивистов А, В и С, подозреваемых в ограблении, вызвали на допрос. Установлено следующее:

1) Каждый из тройки подозреваемых А, В и С в день ограбления побывал в лавке, и никто больше в тот день в лавку не заходил.

2) Если А виновен, то у него был ровно один сообщник.

3) Если В невиновен, то С также невиновен.

4) Если виновны ровно двое подозреваемых, то А – один из них.

5) Если С невиновен, то В также невиновен.

Против кого инспектор Крэг выдвинул обвинение?

На этот раз на допрос были вызваны четверо подозреваемых в ограблении: А, В, С и D. Неопровержимыми уликами доказано, что по крайней мере один из них виновен и что никто, кроме А, В, С и D, в ограблении не участвовал. Кроме того, удалось установить следующее:

1) А безусловно невиновен.

2) Если В виновен, то у него был ровно один соучастник.

3) Если С виновен, то у него было ровно два соучастника.

Инспектору Крэгу было особенно важно узнать, виновен или невиновен D, так как D был опасным преступником. К счастью, приведенных выше фактов достаточно, чтобы установить виновность или невиновность подозреваемого D.

Итак, виновен или невиновен D?

Инспектора Крэга нередко можно видеть в зале суда, где он с неослабным вниманием следит за всеми перипетиями судебного разбирательства. Крэг интересуется не только теми делами, в расследовании которых он принимал участие. Слушание любого дела служит для него своеобразным упражнением по логике: выслушав доводы сторон, инспектор стремится при помощи логических рассуждений установить истину. Вот несколько любопытных казусов, свидетелем которых ему пришлось быть в зале судебных заседаний.

Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:

О б в и н и т е л ь. Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

З а щ и т н и к. Неверно!

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено следующее:

1) Если А невиновен или В виновен, то С виновен.

2) Если А невиновен, то С невиновен.

Можно ли на основании этих данных установить виновность каждого из трех подсудимых?

По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено следующее:

1) По крайней мере один из трех подсудимых виновен.

2) Если А виновен и В невиновен, то С невиновен.

Этих данных недостаточно, чтобы доказать виновность каждого из трех подсудимых в отдельности, но эти же данные позволяют отобрать двух подсудимых, о которых известно, что один из них заведомо виновен. О каких двух подсудимых идет речь?

Этот случай более интересен, чем предыдущие. Подсудимых четверо: А, В, С, D. Установлено следующее:

1) Если А и В оба виновны, то С был соучастником.

2) Если А виновен, то по крайней мере один из обвиняемых В, С был соучастником.

3) Если С виновен, то D был соучастником.

4) Если А невиновен, то D виновен.

Кто из четырех подсудимых виновен вне всякого сомнения и чья вина остается под сомнением?

И в этом случае подсудимых было четверо: А, В, С, D. Установлено следующее:

1) Если А виновен, то В был соучастником.

2) Если В виновен, то либо С был соучастником, либо А невиновен.

3) Если D невиновен, то А виновен и С невиновен.

4) Если D виновен, то А виновен.

Кто из подсудимых виновен и кто невиновен?

На небольшом островке одного человека судили за преступление. Суду было известно, что подсудимый родился и вырос на соседнем острове рыцарей и лжецов. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Подсудимому разрешалось произнести в свою защиту только одну фразу. Поразмыслив, он заявил следующее: «Лицо, действительно совершившее преступление, в котором меня обвиняют, лжец». Разумно ли было с его стороны такое заявление? Помогло ли оно или только ухудшило его положение? Может быть, оно никак не повлияло на решение суда?

В другом случае на том же острове за совершение некоторого преступления судили двух местных жителей X и Y. Дело было в высшей степени необычно, так как об обвинителе было известно, что он либо рыцарь, либо лжец. На суде обвинитель сделал два следующих заявления:

1) X виновен.

2) X и Y не могут быть виновны оба.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений на месте присяжных? Можно ли утверждать что-нибудь относительно виновности X или Y? Кто, по-вашему, обвинитель: рыцарь или лжец?

Предположим, что обвинитель из предыдущей задачи сделал на суде два следующих заявления:

1) Либо X виновен, либо Y виновен.

2) X невиновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

Предположим, что обвинитель из задачи 83 сделал на суде два следующих заявления:

1) Либо X невиновен, либо Y виновен.

2) X виновен.

К какому заключению вы бы пришли на основании этих заявлений?

Этот случай произошел на острове рыцарей, лжецов и обычных людей. Напомним, что рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а обычные люди иногда говорят правду, а иногда – ложь.

Трое жителей острова А, В и С предстали перед судом. Известно, что преступление мог совершить только один из них. Известно также, что совершивший преступление был рыцарем и что других рыцарей среди трех подсудимых не было. На суде А, В и С сделали следующие заявления:

А: Я невиновен.

В: Это правда.

С: В – не обычный человек.

Кто из троих виновен в совершенном преступлении?

Этот случай, самый интересный из всех, внешне напоминает предыдущие, но в действительности в корне отличен от них. Он также произошел на острове рыцарей, лжецов и обычных людей.

Главными действующими лицами были подсудимый, обвинитель и защитник. Судебный процесс проходил весьма необычно. Начать хотя бы с того, что один из его трех главных участников был рыцарем, другой лжецом, а третий обычным человеком, но кто из них рыцарь, лжец или обычный человек, не было известно никому. Еще более странным было другое обстоятельство: суду достоверно было известно, что если подсудимый невиновен, то виновен либо защитник, либо обвинитель. Было известно также, что виновный не лжец. В ходе судебного заседания подсудимый, обвинитель и защитник сделали следующие заявления:

П о д с у д и м ы й. Я невиновен.

З а щ и т н и к. Мой подзащитный действительно не виновен.

О б в и н и т е л ь. Неправда, подсудимый виновен.

Их заявления прозвучали вполне естественно. Присяжные удалились на совещание, но не смогли вынести никакого решения: сведений, содержащихся в трех заявлениях, сделанных на суде, для этого оказалось недостаточно. В те времена, когда происходил суд, остров входил в британские владения, поэтому правительство острова направило в Скотленд-Ярд телеграмму с просьбой направить к ним инспектора Крэга, чтобы тот помог разрешить возникшее затруднение.

Через несколько недель инспектор Крэг прибыл на остров, и суд возобновил свои заседания. Крэг решил во что бы то ни стало досконально во всем разобраться. Он вознамерился не только установить, кто виновен в совершении преступления, но и определить, кто из трех участников процесса рыцарь, кто лжец и кто обычный человек. Выяснить интересующие его сведения инспектор Крэг решил за минимальное число вопросов. Сначала он спросил у обвинителя: «Вы, случайно, не виновны?» Обвинитель ответил. Поразмыслив, инспектор Крэг обратился с вопросом к подсудимому: «Виновен ли обвинитель?» Подсудимый ответил, и инспектор Крэг узнал все, что его интересовало.

Кто виновен? Кто был обычным человеком, кто рыцарем и кто лжецом?

71. Покажем прежде всего, что по крайней мере один из А, С виновен. Если В невиновен, то ясно, что виновен кто-то из А, С (или оба), так как из высказывания (1) следует, что никто, кроме А, В и С, не может быть виновен. Если В виновен, то у него должен быть соучастник (так как В не умеет водить машину). Следовательно, и в этом случае А или С должен быть виновен. Таким образом, кто-то из А и С (или оба) виновен. Если С невиновен, то А должен быть виновен. С другой стороны, если С виновен, то в силу высказывания (2) А также виновен. Следовательно, А виновен.

72. Этот случай еще проще. Если А невиновен, то (так как С невиновен) виновным должен быть В – в силу высказывания (1). Если А виновен, то в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник. Из высказывания (3) следует, что этим соучастником не мог быть С. Значит, им должен быть В. Итак, и в том и в другом случае В виновен.

73. Предположим, что В невиновен. Тогда должен быть виновен один из двух близнецов. У этого близнеца должен быть соучастник, а поскольку В не мог быть сообщником, то им должен быть другой близнец. Но это невозможно, так как одного из близнецов во время преступления видели в Дувре. Следовательно, В виновен. А поскольку В всегда «ходит на дело» в одиночку, то оба близнеца невиновны.

74. Не вызывает ни малейших сомнений виновность В. Доказать это можно при помощи любого из следующих рассуждений,

Рассуждение первое. Предположим, что В невиновен. Тогда если бы А был виновен, то С также был бы виновен в силу высказывания (1). Это означало бы, что вопреки высказыванию (3) А совершил преступление вместе с С. Следовательно, А должен быть невиновен. Но тогда вопреки высказыванию (2) С единственный, кто виновен. Значит, В виновен.

Рассуждение второе. Оно прямее приводит к ответу на вопрос задачи.

а) Предположим, что А виновен. Тогда в силу высказывания (1) В и С не могут быть оба невиновны, поэтому у А должен быть соучастник. Так как С в силу высказывания (3) не мог быть соучастником А, то им должен быть В. Следовательно, если А виновен, то В также виновен.

б) Предположим, что С виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник, которым в силу высказывания (3) не мог быть А. Следовательно, им должен быть В.

в) Если ни А, ни С невиновны, то В несомненно виновен!

75. Инспектор Крэг выдвинул против мистера Макгрегора обвинение в попытке ввести полицию в заблуждение: никакого ограбления в действительности не было. Вот как рассуждал инспектор Крэг.

Первый шаг. Предположим, что А был бы виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него был бы ровно один соучастник – не больше, не меньше. Следовательно, кто-то один из В, С виновен, а другой невиновен. Но это противоречит высказываниям (3) и (5), из которых, если взять их вместе, следует, что В, С либо оба виновны, либо оба невиновны. Значит, А должен быть невиновен.

Второй шаг. Из высказываний (3) и (5) следует, что В и С либо оба виновны, либо оба невиновны. Если бы они были оба виновны, то других виновных не было бы (так как А невиновен). Следовательно, виновных в этом случае было бы ровно двое. В силу высказывания (4) это означало бы, что А виновен. Тем самым мы пришли бы к противоречию, так как А невиновен. Следовательно, В и С оба невиновны.

Третий шаг. Итак, установлено, что А, В, С невиновны. Но, как следует из высказывания (1), в день ограбления никто, кроме А, В и С, в лавку не заходил и не мог совершить ограбления. Значит, никакого ограбления не было, и Макгрегор лгал.

Эпилог. Не устояв перед неопровержимыми доводами инспектора Крэга, Макгрегор признался в том, что он солгал в надежде получить страховку.

76. Если В виновен, то в силу высказывания (2) в преступлении замешаны ровно двое подозреваемых. Если же виновен С, то в силу высказывания (3) в преступлении замешаны трое подозреваемых. Поскольку ни того, ни другого быть не может, то по крайней мере один из В и С невиновен. Подозреваемый А также невиновен, поэтому виновных не может быть больше двух. Следовательно, у С не было ровно двух соучастников, и в силу высказывания (3) подозреваемый С должен быть невиновен. Если В виновен, то у него был ровно один соучастник. Им должен быть D (так как А и В оба невиновны). Если В невиновен, то А, В и С невиновны. Тогда D должен быть виновен. Итак, независимо от того, виновен или невиновен В, подсудимый D должен быть виновен. Следовательно, D виновен.

77. В действительности обвинитель сказал, что подсудимый не совершал преступления в одиночку. Защитник, отрицая высказывание обвинителя, тем самым утверждал, что подсудимый совершил преступление в одиночку.

78. Можно, причем очень просто. В силу высказывания (1), если А невиновен, то С виновен (поскольку если А невиновен, то дизъюнкция «либо А невиновен, либо В виновен» – истинна). В силу высказывания (2), если А невиновен, то С невиновен. Следовательно, если А невиновен, то С одновременно виновен и невиновен, что невозможно. Значит, А должен быть виновен.

79. Двое подсудимых, один из которых должен быть виновен, это А и С. Действительно, предположим, что В невиновен. Тогда в силу высказывания (1) А или С должен быть виновен. С другой стороны, предположим, что В виновен. Если А виновен, то по крайней мере кто-то один из А и С заведомо виновен. Но предположим, что А невиновен. Тогда В виновен, а А невиновен. Следовательно, в силу высказывания (2) С должен быть виновен, то есть и в этом случае либо В, либо С виновен.

80. Прежде всего докажем, что если А виновен, то С виновен. Предположим, что А виновен. Тогда в силу высказывания (2) либо В, либо С виновен. Если В невиновен, то виновен должен быть С. Но предположим, что В виновен. Тогда А и В оба виновны. Следовательно, в силу высказывания (1) С также виновен. Это доказывает, что если А виновен, то С виновен. Кроме того, в силу высказывания (3), если С виновен, то D виновен. Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что если А виновен, то D виновен. Но в силу высказывания (4), если А невиновен, то D виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен А, подсудимый D должен быть виновен. Таким образом, виновность D не вызывает сомнений. Виновность всех остальных подсудимых остается под сомнением.

81. Все подсудимые виновны. Действительно, в силу высказывания (3), если D невиновен, то А виновен. В силу высказывания (4), если D виновен, то А виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен D, подсудимый А должен быть виновен. Тогда в силу высказывания (1) В также виновен. Из высказывания (2) мы заключаем, что либо С виновен, либо А невиновен. Поскольку уже известно, что А не невиновен, то С должен быть виновен. Наконец, из высказывания (3) следует, что если D невиновен, то С невиновен. Но мы уже доказали, что С не невиновен, поэтому D должен быть виновен. Итак, все подсудимые виновны.

82. Вполне разумно: оно помогло подсудимому снять с себя все подозрения! Действительно, предположим, что подсудимый – рыцарь. Тогда его высказывание истинно, и виновный – лжец. Следовательно, подсудимый должен быть невиновен. С другой стороны, предположим, что подсудимый – лжец. Тогда его высказывание ложно, поэтому тот, кто совершил преступление, – рыцарь. Следовательно, и в этом случае подсудимый невиновен.

83. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывания (1) и (2) были бы ложными. Но если высказывание (1) ложно, то X невиновен, а если ложно высказывание (2), то X и Y оба виновны. Итак, X должен был быть виновным и невиновным одновременно, что невозможно. Следовательно, обвинитель должен быть рыцарем. Значит, X в действительности виновен, а поскольку X и Y не могут быть виновными одновременно, то Y должен быть невиновен. Следовательно, X виновен, Y невиновен, и обвинитель – рыцарь.

84. Если бы обвинитель был лжецом, то тогда:

1) X и Y оба были бы невиновны;

2) X был бы виновен.

И в этом случае мы бы опять пришли к противоречию. Следовательно, обвинитель – рыцарь, X неви новен, a Y виновен.

85. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывание (1) ложно, поэтому X виновен и Y невиновен. Следовательно, X виновен. Но высказывание (2) также ложно, поэтому X невиновен, и мы приходим к противоречию. Значит, в этой задаче, так же как и в предыдущей, обвинитель – рыцарь. Тогда в силу высказывания (2) X виновен. Из высказывания (1) (так как X не невиновен) мы заключаем, что Y виновен. Следовательно, в этом случае X и Y оба виновны.

86. Подсудимый А не может быть рыцарем, так как если бы он был рыцарем, то был бы виновен и не лгал бы, утверждая, что невиновен. Подсудимый А не может быть и лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложным, и он был бы виновен и, следовательно, был бы рыцарем. Значит, А – обычный человек и невиновен. Поскольку А невиновен, то высказывание островитянина В истинно. Следовательно, В не лжец: он либо рыцарь, либо обычный человек. Предположим, что В был бы обычным человеком. Тогда высказывание островитянина С было бы ложным, и С был бы либо лжецом, либо обычным человеком. Это означало бы, что среди трех островитян А, В, С нет ни одного рыцаря. Следовательно, вопреки условиям задачи ни один из них не виновен. Отсюда мы заключаем, что В не может быть обычным человеком. Он должен быть рыцарем и, следовательно, виновен.

87. Пока Крэг не прибыл. Прежде всего заметим, что А не может быть лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложно и, следовательно, он был бы виновен. Мы пришли бы к противоречию с тем условием задачи, в котором говорится, что лжец невиновен. Значит, А – либо рыцарь, либо обычный человек.

Первый случай: А – рыцарь. Поскольку его высказывание истинно, то он невиновен. Тогда высказывание защитника В также истинно. Следовательно, В – либо рыцарь, либо обычный человек. Но А – рыцарь; поэтому В – обычный человек. Значит, С может быть только лжецом. А поскольку известно, что лжец невиновен, то В виновен.

Второй случай: А – обычный человек и невиновен. Высказывание защитника В истинно и в этом случае, поэтому В – рыцарь (поскольку А – обычный человек). Так как А невиновен и С, будучи лжецом, невиновен, то виновен В.

Третий случай: А – обычный человек и виновен. В этом случае высказывание обвинителя истинно, поэтому обвинитель должен быть рыцарем (он не может быть обычным человеком, так как «вакансия» обычного человека занята А). Следовательно, В может быть только лжецом.

Итак, вот что мы выяснили, рассматривая три возможных случая:

Все три случая согласуются с заявлениями, сделанными тремя главными участниками судебного процесса до прибытия Крэга.

После прибытия Крэга. Крэг спросил у обвинителя, виновен ли тот. Задавая свой вопрос, инспектор Крэг уже знал, что обвинитель невиновен (так как во всех трех случаях обвинитель невиновен), поэтому ответ обвинителя был нужен Крэгу лишь для того, чтобы установить, кто такой обвинитель: рыцарь или лжец. Если бы обвинитель правдиво ответил «нет», то инспектор Крэг понял бы, что случаи (1) и (2) можно исключить, и не стал бы задавать новых вопросов. Но инспектору Крэгу, после того как обвинитель ответил, понадобилось задать еще несколько вопросов. Следовательно, обвинитель должен быть лжецом и на вопрос инспектора ответить «да». Такой ответ заставил инспектора Крэга (а вместе с ним и читателя) исключить из рассмотрения случай (3) и в дальнейшем рассматривать только случаи (1) и (2). Это означает, что в действительности виновен защитник, но относительно подсудимого и защитника неизвестно, кто из них рыцарь и кто обычный человек. Затем Крэг спросил у подсудимого, виновен ли обвинитель и, получив ответ, смог до конца разобраться в ситуации. На вопрос Крэга рыцарь ответил бы «нет», в то время как обычный человек ответил бы либо «да», либо «нет». Получив ответ «нет», Крэг не смог бы определить, был ли подсудимый рыцарем или обычным человеком. Но поскольку для Крэга после ответа все стало ясно, то подсудимый должен был ответить «да». Следовательно, подсудимый – обычный человек, а защитник – рыцарь (хотя он и виновен).