Глава 11. Математика космологии

Пуанкаре занимал по отношению к физическим теориям несколько скептическую позицию, считая, что вообще существует бесконечно много логически эквивалентных точек зрения и картин действительности, из которых ученый, руководствуясь исключительно соображениями удобства, выбирает какую-то одну. Вероятно, такой номинализм иной раз мешал ему признать тот факт, что среди логически возможных теорий есть такие, которые ближе к физической реальности, во всяком случае, лучше согласуются с интуицией физика и тем самым больше могут помочь ему… Философская склонность его ума к «номиналистическому удобству» помешала Пуанкаре понять значение идеи относительности во всей ее грандиозности.

Луи де Бройль.

По тропам науки

Среди окончательно нерешенных задач математики выделяется своим космологическим значением «проблема Пуанкаре».

Эта математическая гипотеза была сформулирована выдающимся французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре в 1904 году. Она является одной из наиглавнейших проблем топологии – науки о геометрических телах, свойства которых не меняются при различных мысленных операциях деформации кручения, растяжения и сжатия. Топологически двухмерную сферу можно сравнительно легко представить как планетарную поверхность, например, лунную или земную. Но трехмерный шар в четырехмерном пространстве вообразить уже довольно сложно. В 1904 году Пуанкаре принялся за создание математического фундамента топологии, что привело его в конечном итоге к довольно необычной гипотезе строения мироздания. В истории науки эту абстрактную математическую проблему, приводящую к важнейшим космологическим выводам, так часто и называют: топологическая гипотеза (теорема, задача, проблема) Пуанкаре.

Все началось в 1900 году с публикации статьи Пуанкаре из области алгебраической геометрии, где он доказывал, что если определенные математические качества трехмерной поверхности совпадают с подобными у сферы, то и сама поверхность является сферической.

Однако в 1904 году Пуанкаре нашел ошибку в своих рассуждениях и на ее основе выстроил правильную формулировку проблемы, которая и стала называться его именем. Довольно долго проблема Пуанкаре не привлекала к себе внимания, между тем она могла бы существенно дополнить космологическую составляющую общей теории относительности. Однако конфликт приоритетов открытия нового релятивизма Пуанкаре и Эйнштейна не способствовал соответствующим исследованиям теоретиков, в своем большинстве признававших определяющий вклад последнего.

Преобразования Пуанкаре

Почему же, согласно Пуанкаре, математика предсказывает существование именно двух типов пространственных континуумов – с «отверстиями или вырезами» и без них?

Как строится пространственно-временной континуум с отверстиями и как существует пространство в ином варианте?

Как представить в физическом плане содержание «вырезов пространства», не говоря уже об его эволюции и «растворении» в пространстве второго рода?

Эти вопросы принимают весьма любопытный вид, будучи приложены к нерешенной задаче науки о рождении нашего мира.

Ситуация несколько изменилась лишь после нескольких публикаций Джона Уайтхеда – выдающегося английского математика, основателя некоторых специальных разделов топологии. В конечном итоге его попытки решить проблему Пуанкаре были признаны неверными, однако сам процесс поиска решений вывел на открытие новых классов трехмерных поверхностей. Это значительно продвинуло теорию, названную топологией низших размерностей. За этим последовали аналогичные работы других математиков, к сожалению, также не достигших успеха, и интерес к проблеме Пуанкаре не ослабевал до наших дней.

Многочисленные популярные книги по геометрии рассказывают о топологии как о необычном разделе математической науки, в которой два предмета сравниваются только по количеству разрывов связей и отверстий, поэтому стакан ничем не отличается от гигантского бака, бублик – от циклопической шины карьерного самосвала, а мандарин – от солнца. Разумеется, при этом топология остается очень сложной наукой с глубоким содержимым, изучающей многочисленные объекты и их разнообразные свойства.

Гипотеза Пуанкаре считалась одной из величайших математических загадок, а ее решение – важнейшим достижением в математической науке: оно моментально продвинуло бы вперед исследования проблем физико-математических основ мироздания. Виднейшие умы планеты прогнозировали ее решение лишь через несколько десятилетий, а Институт математики Клея в Кембридже внес проблему Пуанкаре в число наиболее интересных нерешенных математической наукой задач тысячелетия, за решение каждой из которых была обещана премия в миллион долларов.

Сама проблема Пуанкаре относится к разделу топологии многообразий, который занимается свойствами поверхностей, не меняющихся при определенных деформациях. При этом существенным является то, что каждую изогнутую поверхность можно разрезать на такие мелкие участки, что каждый из них в некотором приближении будет казаться плоским «двумерным многообразием».

Главным математическим объектом проблемы Пуанкаре является некий сфероид в четырехмерном пространстве. Понять это сложно, но можно: на примере обычной трехмерной сферы – глобуса, где при переходе в четырехмерный мир можно представить как склеивание двух сфероидов на месте северной и южной полусфер глобуса. Тогда проблема Пуанкаре в упрощенном виде может звучать следующим образом.

Если некая трехмерная поверхность не содержит нестягиваемых отверстий, она может быть преобразована в сферу. Тут, конечно, следует упомянуть гомеоморфизм данной поверхности как некое непрерывное преобразование с самыми различными деформациями, сохраняющими его топологические свойства. К примеру, гомеоморфизм позволяет чашку с ручкой непрерывным преобразованием превратить в велосипедную шину, а шарик от пинг-понга в геоид. Таким образом, множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Согласно проблеме Пуанкаре, которую в данном случае лучше назвать гипотезой, каждая односвязная трехмерная поверхность может быть гомеоморфна соответствующей трехмерной сфере четырехмерного сфероида. При доказательстве гипотезы Пуанкаре выяснилось, что к ней примыкает много интересных задач из других областей математики, например из вычислительной топологии, важного раздела теоретической кибернетики. Так возникла алгоритмическая версия проблемы Пуанкаре, в которой каждая трехмерная поверхность задавалась неким дискретным кодом. Однако главным, конечно же, остается космологический аспект данной математической задачи. Очень кратко его можно было бы сформулировать как вложенную идею о том, что в структуре нашего мироздания возможны две подструктуры пространства-времени.

Если сопоставить данные топологические выводы из преобразований Пуанкаре с моделью вечной инфляции Вселенной, получается, что пространственно-временной континуум должен содержать разрывы как прообразы квантовых флуктуаций, рождающих новые миры мультивселенной. Ну и конечно, анализ проблемы Пуанкаре в очередной раз приводит к мысли о наличии у нашего мира дополнительных пространственно-временных измерений.

В контексте проблемы Пуанкаре это показывает, что главная космологическая сингулярность вырождается в точечный объект, подобный материальной частице, в то время как транссингулярная сущность Большого взрыва являет собой «вырез пространства» с непонятным содержимым без пространства и времени.

Американский математик, широко известный своими работами по философии и истории, Моррис Клайн в свое время подчеркивал, что хотя математика и является продуктом чисто человеческого разума, она открывает доступ ко многим, если не сказать – всем тайнам природы, превосходя возможные ожидания. Как это ни странно звучит, но именно весьма далекое от текущей реальности математическое абстрагирование так много дало различным прикладным дисциплинам. Для отвлеченных мыслителей вроде Пуанкаре математическое конструирование всегда было неиссякаемым источником восторга и удивления тем, что природа в полной мере соответствует умозрительным математическим формулам.

На протяжении XX века научные теории все больше концентрировались на прагматическом предсказании и управлении, а не на достоверном описании или объяснении природы. Практика внедрения результатов научных исследований показывает, что доминирующие теории могут изменяться самым непредсказуемым образом, а прошлые фундаментальные достижения науки нередко приходится отвергать как ложные. А значит, в любой момент надо быть готовым, что и на смену сегодняшней науке придет радикально новая, более плодотворная концепция.

И вот наступил судьбоносный для решения проблемы Пуанкаре ноябрь 2002 года, когда российский математик Григорий Перельман на протяжении восьми месяцев публиковал доказательство гипотезы в Интернете, выложив три оригинальные работы на сайте нерецензируемого, так называемого электронного архива. Подобно любой иной научной работе математическое доказательство должно иметь вполне определенную форму изложения, ограниченную целым рядом правил. Обычно оно начинается с аксиоматизации того или иного утверждения, а затем, путем ряда логических выкладок, подводит к конечному выводу, подтверждающему исходные предпосылки. В отличие от экспериментальных или прикладных научных результатов, основанных на опытных данных, доказательства математических теорем, как правило, не подвергаются ревизии и хотя бы частичному пересмотру, являясь окончательными. Однако все это в большей степени справедливо для рецензируемых изданий, досконально проверяющих логику доказательств и основывающих свое решение о публикации на авторитетных оценках экспертов-специалистов. К тому же солидные журналы во избежание предвзятости очень тщательно выбирают рецензентов, представляя им авторские материалы анонимным образом. Все эти традиции были нарушены в электронной публикации результатов феноменальных исследований Перельмана.

Конечно же, мимо феноменальных результатов теоремы Пуанкаре – Перельмана не могли пройти физики-теоретики и философы-метафизики. Они сразу же начали искать скрытый смысл в поражающих воображение топологических превращениях, так напоминающих «скручивание» пространства-времени в чудовищных гравитационных полях. И уже вскоре начали появляться первые гипотезы о том, что же реальное может отражать в данном случае чудесное зеркало математической абстракции…

Как же связаны сверхабстрактные построения российского математика с новым образом окружающей нас физической реальности?

Григорий Перельман, гениальный российский математик, доказавший теорему Пуанкаре

После получения Перельманом новых решений проблемы Пуанкаре их тут же стали «примеривать» к своим исследованиям физики-теоретики. Надо сказать, что теоретическая и математическая физика давно уже испытывает голод на новые математические аппараты, которые смогли бы описать физическую реальность в экстремальных условиях чудовищных гравитационных полей, неизведанных глубинах микромира и даже в момент рождения нашей вселенной. Именно последняя задача и заинтересовала в первую очередь ученых.

Исходя из предположения, что миры нашего типа являются своеобразными геометрическими аномалиями, выраженными в решениях теоремы Пуанкаре – Перельмана, можно сделать вывод, что внутри геометризированной оболочки аномалии пространство начинает изменять свои свойства, стремясь к новому устойчивому пределу. Этот процесс топологической перестройки пространственно-временного континуума, описываемый математической моделью Перельмана, должен по идее сопровождаться гигантским выделением энергии, в результате чего новообразованная Вселенная и начинает расширяться с колоссальной скоростью.

Нерешенной задачей науки является не столько сама топологическая проблема Пуанкаре, как ее интерпретация в эволюции нашего пространственно-временного континуума. Главное, что получил здесь Перельман, – это самодостаточный образ «гладко» расширяющегося мироздания, без разрывов пространства, воронок, уходящих в иные измерения, и «вздутий» «вырожденных» миров. Таким образом, похожие решения теоремы Пуанкаре – Перельмана будут описывать именно нашу вселенную как мир без трещин пространства-времени и лакун иных измерений.