Глава 12. Задача Римана

Вычислительный формализм математики – мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуждается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку этой временно отторгнутой мысли. Думать – значит вычислять, волнуясь.

Ю. И. Манин.

Математика и физика

Среди до сих пор не в полной мере нерешенных задач современной математики своим прикладным значением выделяется задача Римана о распаде произвольного разрыва. До сих пор она решена лишь в ограниченном круге частных случаев. Сюда, прежде всего, входят уравнения газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений для уравнений «теории мелкой воды».

Тривиальное решение задачи Римана обычно ищут в одномерной задаче о распаде разрыва, полагая, что до некоторого начального момента времени две произвольные области пространства с различными значениями термодинамических и газодинамических параметров, таких как плотность, скорость и давление газовой среды, были разделены тонкой перегородкой, которая снимается в начальный момент времени. При этом требуется построить решение, включающее зависимость всех термодинамических параметров от времени и координат при произвольных начальных значениях переменных.

Таким образом, решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при ненулевых значениях темпоранты – временной переменной.

Сегодня решения задачи Римана находят широкое применение в численных методах теоретической и математической физики при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.

В космологическом аспекте решения задачи Римана особенно интересны для М-теории, где пространство изначально имеет одиннадцать размерностей, и внутри него скрываются многомерные мембраны – так называемые р-браны, обладающие р-размерностью. Так, 0-брана – это некая точка в пространстве, 1-брана – это знакомая нам струна, а 2-брана – некая плоскость, называемая обычно мембраной. Как же происходит переход от суперструн к мембранам? Вот здесь и требуются решения задачи Римана, показывающие, как разрыв протопространства бран приводит к сворачиванию многомерной суперструны в замкнутый контур многомерной браны.

Макет распада произвольного разрыва задачи Римана

Образ вибрирующей струны или мембраны как геометризованного базиса всех элементарных частиц в общем-то довольно ясен, если, конечно, опустить сверхсложный математический аппарат. Вообще же говоря, на момент написания книги, физики-теоретики еще далеко не полностью построили из стрингов и бран здание М-теории.

Нерешенная задача Римана сегодня все чаще сопоставляется с поиском адекватных сценариев для набора точек космологической сингулярности Большого взрыва, предстающем подобие центра симметрии, относительно которого Вселенная перед Большим взрывом была почти идеальным зеркальным изображением самой себя после него.

Если правы космологи, считающие, что расширение пространства-времени будет продолжаться неопределенно долго, до тех пор пока вся материя не превратится в разряженный атомарный газ, то она так же бескрайне простирается и в прошлое. Бесконечно давно она была почти пуста: ее заполнял лишь невероятно разреженный, хаотический газ из излучения и вещества. Силы взаимодействия между частицами этого газа практически не существовали, однако с течением времени силы возрастали и стягивали материю воедино.

Топология пространства-времени на фундаментальном субквантовом уровне сегодня доступна нашему восприятию только в математических или научно-художественных образах и в любом случае выглядит совершенно фантастично. Там, на самом донышке мироздания, она скачкообразно непредсказуема и переменчива, к тому же граница между непрерывным и дискретным размыта. Там в невообразимой внутренней глубине капли материи непрерывно переливаются в океан энергии и обратно…

Глава 13. Проблема Гильберта

Исходная гипотеза Давида Гильберта состояла в том, что эти абстракции, строго говоря, не нуждаются в такой «почти физической» и потому сомнительной интерпретации и что их можно считать чисто языковыми фактами. «Бесконечность» – это слово, а не явление, помогающее каким-то образом узнать истины о конечных вещах…

Ю. И. Манин.

Математика и физика

В 1900 году на Втором парижском конгрессе математиков Давид Гильберт в своем пленарном докладе сформулировал ныне знаменитый перечень кардинальных проблем, которые, по его мнению, должна решить математика в наступающем двадцатом столетии.

Эта грандиозная задача, охватывающая основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, теорию групп, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление, до сих пор не решена в полной мере.

Считается, что за прошедшее столетие шестнадцать проблем вплотную приблизились к своему окончательному решению, однако оставшиеся семь еще далеки даже от составления алгоритма поиска их решений.

Любопытно, что почти ровно через столетие, в 2000 году, в архивах Гильберта была обнаружена еще одна проблема, которую математик так и не решился сформулировать перед коллегами. Это была довольно интересная задача, связанная с методами анализа топологий многомерных пространств.

Вместе с континуум-гипотезой Кантора, анализом геодезических пространственных метрик, геометрией Шуберта и топологией алгебраических поверхностей 24-я проблема Гильберта входит в математическое обоснование парадоксальной теории омега-пространства. Эта топологическая конструкция включает модель гипотетической многоразмерной Вселенной с набором особых омега-точек, определяющих ее пространственно-временную эволюцию. В топологии многомерного пространства-времени омега-точки тесно связаны с понятием омега-континуума, некоего «вырожденного» топологического многообразия. Именно в подобных континуальных структурах омега-экстремум может интерпретироваться как узел геодезических линий «по ту сторону» бесконечности, представляя собой как бы «наивысшую» точку нашей псевдореальности, откуда «потустороннему» наблюдателю раскрывается вся условная перспектива Вселенной.

В ином «физическом» плане омега-точки гипотетически представляются компактифицированными узлами пространства-времени со скрытыми измерениями. В масштабированном гильбертовом пространстве омега-точки как бы связывают всю непрерывность физического континуума, представляя в едином соизмеримом масштабе как планковскую основу суперструнных ячеек пространства-времени, так и вселенские соты сверхскоплений галактик на метагалактическом горизонте.

Не менее любопытна и темпоральная составляющая этих топологических узлов многомерного пространства-времени, являющихся по своей сути полюсами атемпорального мультиверса из множества дискретных темпоральных локализаций миров, составляющих стрелу субстанционального времени.

Любопытно, что именно данный вариант гильбертова пространства современные каббалисты связывают с библейскими сказаниями о едином месте и времени «творения сущего» неким высшим разумом в мифической «точке Алеф» внутри омега-пространства с набором своеобразных омега-гиперузлов компактифицированных мировых линий «непроявленной» реальности.