Квадратно-кубические басни
Простые сказки о математическом масштабировании
У басен много общего с математикой. И те и другие пришли из пыльных, изъеденных молью книг. Их навязывают детям. И они пытаются объяснить мир с помощью радикальных упрощений.
Если вы хотите познакомиться со всей причудливостью и сложностью жизни, оглядитесь вокруг. Поговорите с биологом, или художником-реалистом, или с кем-нибудь, кто собирает документы для уплаты налогов. Баснописцы и математики скорее сродни карикатуристам. Педалируя одни черты и пренебрегая всеми остальными, они помогают объяснить, почему наш мир таков, каков он есть.
Эта глава — небольшое собрание математических басен. Они показывают, как разные области, от кулинарии до биологии и финансирования искусства, подчиняются законам геометрии. В основе этих басен лежит одна основная идея, мораль настолько простая, что даже Эзоп не проговаривал ее вслух: размер имеет значение.
Большая статуя — не просто увеличенная версия маленькой статуи. Это совершенно иной объект.
1. Почему шоколадные торты лучше печь в больших формах
Мы с вами любим печь торты. Мы с гордостью месим тесто, чтобы осчастливить человечество шоколадным чудом. Духовка уже нагревается, но когда мы открываем кухонный шкаф, то неожиданно обнаруживаем, что наша форма для выпечки в два раза длиннее и шире, чем указано в рецепте из поваренной книги.
Что же нам делать?
Для того чтобы заполнить эту удвоенную форму для выпечки, у нас есть искушение взять в два раза больше ингредиентов. Но на самом деле это полумера. Посмотрите внимательнее, и вы поймете: нам необходимо учетверить количество ингредиентов.
С какой стати? Но ведь у формы два измерения: длина и ширина. Удваивая длину, мы удваиваем площадь формы. Удваивая ширину, мы снова удваиваем площадь. Таким образом, площадь удваивается дважды. Иными словами, умножается на 4.
Так происходит всякий раз, когда вы увеличиваете прямоугольник. Утраиваете стороны? Площадь возрастает в девять раз. Упятеряете стороны? Площадь возрастает в 25 раз. Умножаете стороны на девять тыщмиллионов? Площадь увеличивается в 81 тыщмиллионов тыщмиллионов раз.
Или, говоря точнее: увеличивая стороны в r раз, вы увеличиваете площадь в r2 раз.
Так происходит не только с прямоугольниками. Тот же принцип работает для всех двумерных фигур: трапеций, треугольников, кругов и других емкостей, в которые вы укладываете заветное шоколадное тесто. Когда стороны увеличиваются, площадь увеличивается существенно больше.
Вернемся на кухню. Мы уже смешали вчетверо большее количество ингредиентов, когда на дальней полке обнаруживаются формы, которые мы искали все это время. Мы осыпаем друг друга упреками, но потом смеемся: кому охота пререкаться, когда скоро будет готово шоколадное великолепие?
Теперь перед нами встает выбор: готовить торт в одной большой форме или в четырех поменьше?
Это басня, поэтому мы пренебрегаем деталями. Забудьте о температуре, времени приготовления, теплопередаче и предстоящем мытье посуды. Сосредоточьтесь на одном параметре: размерах форм для выпечки.
Если форма для тортов стала больше, ее периметр (одномерная величина) увеличился. Но ее площадь (двумерная величина) увеличилась еще больше. Это означает, что у четырех форм поменьше общий периметр будет больше, хотя их площадь равна площади большой формы.
У маленьких форм на единицу периметра приходится меньше площади, а у большой формы — больше.
Как я ни пытаюсь, я не могу представить себе людей, которые любят обгорелые боковушки торта. Кто променяет шоколадное чудо на пытку для зубов, хрустящее недоразумение? Мне легче представить, что они предпочитают кости вместо мяса, сухари вместо крекеров, побочные эффекты вместо обезболивающего. Этим людям нет ни объяснения, ни оправдания. Берите большую форму или расходитесь по домам.
2. Почему честолюбивый скульптор разорился
Около 2300 лет назад жители греческого острова Родос отразили нападение Александра Македонского. В порыве самовосхваления они поручили местному скульптору Харесу построить грандиозную триумфальную статую. По легенде, вначале Харес планировал построить 15-метровую бронзовую скульптуру.
— А не сделать ли нам статую побольше? — сказали родосцы. — Знаешь что — удвоим высоту! Сколько это будет стоить?
— В два раза дороже, конечно, — сказал Харес.
— По рукам! — сказали родосцы.
В ходе строительства Харес увидел, что его средства иссякают. Материальные издержки ошеломили его; они намного превышали отпущенный бюджет. Впереди маячило банкротство. Говорят, что Харес расстался с жизнью, чтобы избежать финансового краха, и не увидел, как был завершен его шедевр. Но, возможно, перед тем как умереть, он осознал свою ошибку.
Он постеснялся взвинтить цену.
Для того чтобы понять, почему это так, забудьте все детали. Не обращайте внимания на рынок труда для греческих строителей или оптовые цены на бронзу. Черт возьми, забудьте даже об искусстве: представьте, что Харес просто строит исполинский бронзовый куб. Мы должны сосредоточиться на одном всепоглощающем вопросе: на размерах.
Что происходит, когда вы удваиваете размеры трехмерной геометрической фигуры?
Хорошо, вы удвоили длину; объем вырос в два раза. Вы удвоили ширину, и объем снова вырос в два раза. И вы удвоили высоту, удвоив объем в третий раз. Это тройной дубль, хотя не такой, как у Рассела Уэстбрука: в данном случае тройное удвоение означает умножение на 8.
Результат настолько же ясен, насколько поразителен: объем растет с огромной скоростью.
Утраиваем стороны куба? Объем вырастает в 27 раз. Умножаем стороны на 10? Объем абсурдным образом увеличивается в 1000 раз. И то, что верно для кубов, верно для всех трехмерных геометрических фигур: пирамид, шаров, призм и (к несчастью для Хареса) роскошных статуй бога солнца Гелиоса. В точных терминах: умножьте длины сторон на r, и объем вырастет в r3 раз.
Если бы Харес создавал одномерное произведение искусства (Колоссальную Родосскую Струну), эстетика, возможно, пострадала бы, но его ценовая политика отлично бы сработала: удваивая длину, необходимо взять в два раза больше бронзы. Или, предположим, ему было бы поручено создать двумерную картину (Колоссальный Родосский Портрет). Цена по-прежнему осталась бы заниженной, но все же не настолько: удваивая стороны холста, мы учетверяем его площадь, поэтому требуется в четыре раза больше краски. Увы, Харес имел несчастье работать во всех трех измерениях. Удвоение высоты статуи означало, что понадобится в восемь раз больше бронзы.
Когда длины сторон растут, площадь растет гораздо быстрее, а объем — еще быстрее. Колосс Родосский — одно из чудес древнего мира — обрек своего творца на муки по той простой причине, что был трехмерным.
3. Почему не существует великанов?
Кинг-Конг, горилла размером с трехэтажный дом. Поль Баньян, лесоруб, который мог перешагивать озера. Шакил О’Нил, легендарный баскетболист ростом 213 см и весом 147 кг, которому дается все, кроме штрафных бросков. Вы знаете эти истории, и вы прекрасно понимаете, что все это фантазии, легенды, наивные выдумки. Великанов не существует.
Почему? Потому что размер имеет значение.
Предположим, мы возьмем в качестве образцового человеческого экземпляра Дуэйна Джонсона и удвоим его размеры. Если мы удвоим его вдоль, поперек и в высоту, общая масса тела Дуэйна вырастет в восемь раз.
Пока все в порядке. Но взгляните на его ноги. Чтобы он не падал, кости должны быть в восемь раз сильнее. Могут ли они выдержать его вес?
Сомневаюсь. Два удвоения были полезны (вдоль и поперек), но одно бесполезно: в высоту. Вы не делаете колонну крепче, удваивая ее высоту, и точно так же нога не становится сильнее, если удлиняется. Дополнительная высота не дает дополнительной прочности, просто увеличивает нагрузку, и кости сломаются под весом гигантского тела.
Ноги Дуэйна не угонятся за предъявленными требованиями: умножение на 4 не соответствует умножению на 8. Если мы будем продолжать увеличивать Дуэйна Джонсона, удваивая, утраивая и учетверяя его размеры, в конце концов он достигнет критической точки. Кости ног согнутся и треснут под сокрушительным весом туловища.
Этот процесс называется изометрическим масштабированием: увеличение фигуры при сохранении ее пропорций («изо-» означает «одинаковый»). Никудышный метод для создания больших животных. Вместо него нам нужно аллометрическое масштабирование: увеличение фигуры с изменением пропорций («алло-» означает «другой»).
Если мы увеличим рост животного на 50%, его ноги справятся с нагрузкой, только если станут на 83% толще. Вот почему кошки могут выжить со стройными лапами, а слонам нужны ноги-столбы, чтобы не упасть.
Ограничение, наложенное на рост Дуэйна Джонсона, распространяется на всех нас, поэтому великаны живут только в сказочных царствах. Берцовые кости Поля Баньяна трескались бы с каждым шагом через озеро. Мускулы Кинг-Конга никогда не смогли бы вынести его массу: сила мускулов была бы больше в r2 раз, чем у обычной гориллы, а масса — в r3 раз. Он бы так и не сдвинулся с места: гигантская горилла-размазня, страдающая сердечной недостаточностью. А как насчет Шакила О’Нила? Ну, его история настолько неправдоподобна, что, мне кажется, вряд ли кто-нибудь на самом деле в нее верит.
4. Почему муравьи не боятся высоты?
Муравьи вселяют ужас. Они поднимают предметы, в 50 раз превышающие массу их тельца, работают сообща с безукоризненной координацией действий и живут припеваючи во всех уголках нашей планеты.
Эта глобальная армия тяжелоатлетов-телепатов, вооруженных жвалами, превосходит человечество по численности в миллион раз. Фантомы их инопланетных морд мешали бы мне спать спокойно, если бы не один спасительный факт.
Муравьи очень, очень малы.
Пришло время закрепить материал, усвоенный в предыдущих баснях. Когда линейные размеры фигуры растут, площадь ее поверхности растет гораздо быстрее, а объем растет еще быстрее.
Это означает, что у больших тел (например, человеческих) больше объема на единицу площади поверхности. У маленьких тел (например, муравьиных) все наоборот. У наших заклятых врагов большая площадь поверхности на единицу объема.
Каково это — иметь меньше объема на единицу площади поверхности? Прежде всего это означает, что вам никогда не нужно бояться высоты.
Когда вы падаете с большой высоты, две силы играют в перетягивание каната: сила тяжести тянет вас вниз, сопротивление воздуха удерживает. Сила тяжести зависит от массы, поэтому ее величина зависит от вашей плотности и объема. Сопротивление воздуха зависит от площади поверхности вашего тела.
Короче говоря, ваша масса ускоряет падение, а площадь поверхности замедляет. Поэтому кирпичи стремительно падают вниз, а бумажные листы порхают; орлы парят, а пингвины не могут летать.
Мы с вами похожи на пингвинов: большая масса, небольшая площадь поверхности. В процессе падения мы разгоняемся до предельной скорости почти 193 км/ч, и соприкосновение с землей довольно неприятно.
Муравьи же похожи на орлов, только бумажных: большая площадь поверхности, небольшая масса. Их предельная скорость равна 6,4 км/ч. Теоретически муравей мог бы спрыгнуть с Эмпайр-стейт-билдинг, приземлиться на все свои шесть ножек на тротуар и пойти по своим делам, напевая «Муравьиный марш».
Итак, если у вас меньше объема на единицу площади поверхности, можно вволю предаваться играм, развлечениям и скайдайвингу без парашюта? Разумеется нет. У муравьев свои горести, и под горестями я имею в виду изнурительную и всецело оправданную водобоязнь.
Весь фокус в поверхностном натяжении. Молекулы воды любят слипаться, и ради этого они готовы бросить вызов силе тяжести, если она крохотная. Поэтому, когда вы вылезаете из ванны, на вашей коже остается небольшой слой воды, толщиной около полумиллиметра, и его удерживает поверхностное натяжение. Для нас это мелочь: пол-литра или около того, меньше 1% массы тела. Мы вытираемся полотенцем и живем дальше.
Сравните с пыткой, в которую превращается купание мыши. Толщина слоя воды остается такой же, около полумиллиметра, но нагрузка для нашей подруги-грызуньи гораздо больше. Мышь, у которой объем на единицу площади тела меньше, чем у нас, вылезает из ванночки со слоем воды настолько же тяжелым, как она сама.
А для муравья ситуация просто ужасающая. Масса прилипшей воды превышает массу его тельца на несколько порядков; стоит промокнуть — и тебе конец. Поэтому муравьи боятся воды так же сильно, как я боюсь их.
5. Почему младенцам нужны одеяльца?
Хотя советы молодым родителям ежеминутно совершенствуются, некоторые принципы остаются неизменными: объятья — это хорошо; черепно-мозговые травмы — это плохо; укутывать вашего малыша — это необходимо. Мы укутываем наших детей со времен палеолита и будем укутывать еще тысячи лет. Я уверен, что выжившие после зомби-апокалипсиса по-прежнему будут укутывать своих искалеченных младенцев.
Младенцам нужны одеяльца, потому что — простите мой технический жаргон — младенцы малы.
И снова забудьте про детали: крохотный беззубый ротик, махонькие ерзающие пальчики ног и головку с таким чудесным ароматом. Думайте о ребенке как о любом живом организме: это однородный сгусток химических реакций. Любая телесная активность строится на этих реакциях; в некотором смысле эти реакции и есть живое существо. Поэтому животные так чувствительны к температуре: если становится слишком холодно, реакции замедляются и останавливаются; если слишком жарко, химические вещества разрушаются, выключая ключевые реакции. Вы должны внимательно следить за термостатом.
Тепло создается реакциями в каждой клетке (т.е. важен объем тела). А уходит тепло через кожу (т.е. важна площадь поверхности тела). Так начинается знакомое перетягивание каната: объем против площади поверхности.
Большим животным, у которых больше объема на единицу площади тела, легко согреться. Маленькие животные, у которых меньше объема на единицу поверхности тела, испытывают сложности. Поэтому тонкие части вашего тела наиболее уязвимы для холода: пальцы рук и ног, уши. Также этим объясняется тот факт, что в холодном климате живут только крупные млекопитающие — полярные медведи, тюлени, яки, лоси и снежные люди (хотя ваш преподаватель зоологии может полагать иначе). У мышей с маленьким объемом на единицу площади тела нет шансов выжить в Арктике. Даже на умеренных широтах мыши справляются с потерей тепла, только если съедают пищи хотя бы на четверть собственного веса.
Младенец — не мышь, но совершенно точно и не як. Его крошечное тельце расходует тепло так же интенсивно, как правительство расходует деньги. И для того, чтобы сдержать эту потерю тепла, нет ничего приятней одеяльца.
6. Чем плоха идея о бесконечной вселенной?
Если вы начнете искать сюжеты для квадратно-кубических баек, они обнаружатся повсюду. Геометрия управляет каждым дизайнерским процессом, и никто не может поменять ее правила — ни скульпторы, ни шеф-повара, ни силы естественного отбора.
Ни даже сам космос.
Возможно, моя любимая квадратно-кубическая басня из всех — это парадокс темного ночного неба. Его можно датировать XVI веком. Коперник просто высказал мысль о том, что Земля не является центром всего сущего, это заурядная планета, которая вращается вокруг заурядной звезды. Томас Диггес, который развивал идеи Коперника в Англии, сделал еще один шаг. Он предположил, что Вселенная не должна иметь начала и конца — вневременное облако сияющих звезд, уходящих в бесконечность.
Затем Диггес осознал, что, если это действительно так, ночное небо должно быть сияющим, ослепительно белым.
Чтобы понять, почему это так, нам понадобятся магические солнцезащитные очки. Я назову их «затемнители Диггеса». Эти солнцезащитные очки обладают уникальным свойством: они перекрывают весь свет на определенном расстоянии. Например, настройте их на три метра, и большая часть мира погрузится во тьму. Солнечный свет, лунный свет, сияние уличных фонарей — все это исчезнет, и останутся только источники света на расстоянии не более трех метров от вас — настольная лампа, экран айфона и, возможно, больше ничего.
Перенастроим «затемнители Диггеса» на 100 световых лет. Глядя на ночное небо, мы распрощаемся с Ригелем, Бетельгейзе, Полярной звездой (она же альфа Малой Медведицы) и многими другими знакомыми небесными телами. Останутся звезды, которые находятся в сфере радиусом 100 световых лет. Их около 14 000. Оскудевшие, потускневшие небеса.
Все вместе эти звезды будут иметь суммарную яркость, которую мы можем выразить следующим уравнением:
Суммарная яркость = Количество звезд x Минимальная яркость
Перенастройте ваши «затемнители Диггеса» и удвойте радиус до 200 световых лет. Некоторые звезды появятся снова. Небо станет ярче. Но насколько?
Видимое небо представляет собой трехмерную полусферу над нами. Удваивая ее радиус, мы в восемь раз увеличиваем ее объем. Если предположить (как это сделал Диггес), что звезды распределены равномерно, как деревья в лесу, то получится, что мы увидим в восемь раз больше звезд, чем раньше. Их численность увеличится с 14 000 до более чем 100 000.
Но эти новые звезды находятся дальше от нас, и это означает, что они должны быть более тусклыми. Вопрос опять-таки: насколько?
Каждая звезда на ночном небе похожа на крохотный круг. Чем больше этот кружок, тем больше света поглощают наши глаза. Поскольку речь идет о басне, мы можем пренебречь персональными различиями звезд: их температурой, цветом, ласкающими слух именами наподобие Бетельгейзе и Полярной звезды. Мы предполагаем, вопреки апологетам звездного расизма, что все звезды одинаковы. Единственное, что имеет значение, — расстояние, на котором они находятся от Земли.
Если звезда A находится вдвое дальше от нас, чем звезда B, то диаметр ее кружка на ночном небе должен быть вдвое меньше. Это означает, что его площадь (и, таким образом, яркость) в четыре раза меньше.
Что мы можем сказать о нашем новом увеличенном ночном небе? Количество видимых звезд нужно умножить на 8, их минимальную яркость нужно поделить на 4, а (поправьте меня, если я ошибаюсь) 8, деленное на 4, дает 2. Это означает, что суммарная яркость, исходя из нашего простого уравнения, должна удвоиться.
Если вы удваиваете радиус «затемнителей Диггеса», вы удваиваете видимую яркость ночного неба.
Поскольку количество звезд определяется тремя измерениями, а минимальная яркость — двумя измерениями, небо становится тем ярче, чем больше мы увеличиваем дальность. Утройте радиус до 300 световых лет — изначальная яркость утроится. Умножьте радиус на тысячу — и наше ночное небо станет в тысячу раз ярче.
Вы видите, к чему это ведет? Вернее, вы не видите, потому что вскоре звезды ослепят вас в буквальном смысле слова. Ночное небо станет ярче в миллион, миллиард, триллион, даже гугол раз. Выберите достаточно большой радиус — и звезды затмят дневной свет, пересилят Солнце, небо будет испускать раскаленные миазмы беспредельной температуры. На фоне этого непрерывного излучения непостижимой яркости жалкий астероид, погубивший динозавров, покажется детской игрушкой.
Снимите ваши «затемнители Диггеса» — и небо засветит вас до смерти.
Если Вселенная бесконечно велика, почему ночное небо не бесконечно яркое? Этот парадокс оставался неразрешимым в течение нескольких веков. В XVII веке он изводил Иоганна Кеплера, в XVIII веке тревожил Эдмунда Галлея, а в XIX — вдохновил Эдгара Аллана По на поэму в прозе, которую он называл своим величайшим произведением. (Литературные критики придерживались иного мнения.)
И только в XX веке парадокс удалось разрешить. Решающий фактор — не размер Вселенной, а ее возраст. Вне зависимости от того, бесконечна или нет наша Вселенная в пространстве, мы знаем наверняка, что она конечна во времени и родилась около 14 млрд лет назад. Таким образом, любые настройки ваших «затемнителей Диггеса», превышающие расстояние в 14 млрд световых лет, бессмысленны. У света более далеких звезд было недостаточно времени, чтобы достичь нас, поэтому, начиная с этого расстояния, от блокировки ничего не изменится.
Эта квадратно-кубическая басня — не просто заумное рассуждение. Это одно из первых подтверждений теории Большого взрыва. На мой взгляд, это апофеоз квадратно-кубического мышления. Обдумывая простейшие свойства нашей Вселенной, — сравнивая двумерное с трехмерным, — мы можем достичь поразительного уровня познания. Иногда необходимо пойти на радикальное упрощение, чтобы увидеть, что на самом деле представляет собой наш мир.
